精品解析：福建省厦门市第九中学 2024-2025学年上学期八年级期中适应性练习

厦门市第九中学2024—2025学年第一学期初二年期中适应性练习数学 （试卷总分：150分 答卷时间：120分钟） 注意事项：全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卷，认清题号把答案写在答题卷上相应区域，否则不得分，可以直接使用2B铅笔作图 一、选择题（本大题有10小题，每题4分，共40分） 1. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“小满”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两直线平行，内错角相等 D. 三角形具有稳定性 3. 计算的结果是（ ） A. B. a C. D. 4. 以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是(　　) A. 3，6，9 B. 3，5，9 C. 2，6，4 D. 4，6，9 5. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的周长是，，于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3 8. 如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A. 105° B. 115° C. 120° D. 130° 10. 如图，中，、的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，于M，于N，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的个数是（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题有6小题，11题8分其余每题4分，共28分） 11. 计算：（1）_________，（2）________， （3）________，（4）________； 12. 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_____． 13. 如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则________． 14. 如图，已知，，，则的长等于______． 15. 如图，在中，，的平分线，交于点，为的外角的平分线，的延长线交于点，，则的大小为______ 16. 若是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若，，则在中，取值为2的个数为________． 三、解答题 17. （1）计算：； （2）简便计算： 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，在坐标系中，，． （1）在图中画出关于x轴的对称图形，并分别写出对应点，，的坐标． （2）求 20. 如图：若，，，求证：． 21. 已知，，． （1）尺规作图：请在边上作一点O，使点O到点B，C的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，求的度数． 22. 如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC是等边三角形． 23. 如图，，点A在上，点B、C在上．在中，，．点M、Q在直线上，在中，，． （1）将沿直线平移，当点N在上时，请画出示意图并求的度数； （2）将沿直线平移，当以A、Q、N为顶点的三角形中，有两个角相等时，求的度数． 24. 定义：是多项式A化简后的项数．例如多项式，则．一个多项式A乘以多项式B，化简得到多项式C（即），若，则称B是A的“郡园多项式”；若，则称B是A的“郡园志勤多项式”． （1）若，则B是不是A的“郡园多项式”？说明理由． （2）若是关于x的多项式且B是A的“郡园志勤多项式”，求a的值． 25. 如图，是等边三角形，以直线为x轴建立平面直角坐标系，若且a、b满足，D为y轴上一动点，以为边作等边，交y轴于E． （1）如图1，求A点坐标； （2）如图2，D为y轴正半轴上一点，C在第二象限，的延长线交x轴于M，当D点在y轴正半轴上运动时，M点坐标是否变化，若不变，求M点的坐标，若变化，说明理由； （3）如图3，D在y轴负半轴上，以为边向右构造等边，交y轴于E点，如果D点在y轴负半轴上运动时，仍保持为等边三角形，连，试求，，三者的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市第九中学2024—2025学年第一学期初二年期中适应性练习数学 （试卷总分：150分 答卷时间：120分钟） 注意事项：全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卷，认清题号把答案写在答题卷上相应区域，否则不得分，可以直接使用2B铅笔作图 一、选择题（本大题有10小题，每题4分，共40分） 1. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“小满”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两直线平行，内错角相等 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答． 根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：D． 3. 计算的结果是（ ） A. B. a C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 4. 以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是(　　) A. 3，6，9 B. 3，5，9 C. 2，6，4 D. 4，6，9 【答案】D 【解析】 【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于第三边即可. 【详解】解：A.3+6=9，错误； B.3+5＜9，错误； C.2+4=6，错误； D.4+6＞9，正确. 故选D. 【点睛】本题考查了三角形三边关系. 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 5. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点坐标的关系，关于轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可解． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是， 故选A． 6. 如图，的周长是，，于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据“三线合一”可得，由题意求出的长，即可求解． 【详解】解：∵，于点D， ∴点D为的中点，， ∵的周长是20，， ∴， ∴， 故选：C． 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方，同底数幂相乘，解题的关键是积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用．先将转化为，再逆用同底数幂相乘化成，再逆用积的乘方法则计算，即可求解． 【详解】解： ， 故选：D． 8. 如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的知识，理解三角形中线的定义是解题关键．根据三角形中线的定义可得，结合题意可得，进而获得答案． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 9. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A. 105° B. 115° C. 120° D. 130° 【答案】B 【解析】 【分析】过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，证明AD垂直平分BB′，推出BE＝BE′，由三角形三边关系可知，，即BE+EF的值最小为，通过证明△ABE′≌△AB′E′，推出∠AE′B＝AE′B′，因此利用三角形外角的性质求出AE′B′即可． 【详解】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图： 此时BE+EF最小． ∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝50°， ∴∠BAD＝∠B′AD＝25°， ∵BB′⊥AD， ∴∠AGB＝∠AGB′＝90°， 在△ABG和△AB′G中， ， ∴△ABG≌△AB′G（ASA）， ∴BG＝B′G， AB＝AB′， ∴AD垂直平分BB′， ∴BE＝BE′， 在△ABE′和△AB′E′中， ， ∴△ABE′≌△AB′E′（SSS）， ∴∠AE′B＝AE′B′， ∵AE′B′＝∠BAD+ AF′E′＝25°+90°=115°， ∴∠AE′B＝115°． 即当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为115°． 故选B． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出BE+EF取最小值时点E的位置． 10. 如图，中，、的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，于M，于N，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的个数是（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明根据全等三角形的性质得出判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：①过点作于，如图： ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∵， ∴平分，故①符合题意； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ③∵平分，平分， ∴， ∴，故③不符合题意； ④由②可知，， 故④符合题意， ∴符合题意的有个， 故选：C． 二、填空题（本大题有6小题，11题8分其余每题4分，共28分） 11. 计算：（1）_________，（2）________， （3）________，（4）________； 【答案】 ①. ②. 1 ③. ④. 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，零次幂，积的乘方，多项式除以单项式，据此相关性质法则进行逐个计算，即可作答． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：，1，，． 12. 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_____． 【答案】6 【解析】 【详解】解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数为360°÷60°=6． 故答案为：6. 13. 如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 求出，由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：，， ， 在的垂直平分线上， ． 故答案为：3． 14. 如图，已知，，，则的长等于______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半；熟记性质是解题关键． 根据角所对的直角边等于斜边的一半的性质即可得答案． 【详解】解：∵， ， 故答案为：4． 15. 如图，在中，，的平分线，交于点，为的外角的平分线，的延长线交于点，，则的大小为______ 【答案】 【解析】 【分析】先证明，，再结合三角形的内角和定理可得答案． 本题考查的是角平分线的定义，三角形内角和定理，关键是证明，解答． 【详解】解：，的平分线，交于点， ， 为的外角的平分线， ， ，， ； 故答案为：． 16. 若是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若，，则在中，取值为2的个数为________． 【答案】506 【解析】 【分析】此题考查完全平方公式的应用．通过，是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，，可得1的个数，再由得到2的个数． 【详解】解：∵是从0，1，2这三个数中取值的一列数，且， ∴中为1的个数是， ∵， ∴2的个数为个． 故答案为：506． 三、解答题 17. （1）计算：； （2）简便计算： 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，利用平方差公式进行简便运算： （1）根据多项式乘多项式运算法则求解； （2）将原式变形为，利用平方差公式求解． 【详解】解：（1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值以及多项式与多项式相乘以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用平方差公式和单项式乘多项式法则计算，然后合并同类项，最后将a，b的值代入计算即可． 【详解】解： ． 把，代入中得： ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，在坐标系中，，． （1）在图中画出关于x轴的对称图形，并分别写出对应点，，的坐标． （2）求 【答案】（1） 解：如图1，即为所求； ，， （2）3.5 【解析】 【分析】本题考查轴对称作图，坐标与图形，割补法求面积，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据对称性质分别找出顶点关于x轴的对称的对应点，，，再依次连接对应点即可得到所求图形，再根据图形写出点的坐标即可； （2）利用割补法求出面积，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ． 20. 如图：若，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴ 在和中， ∴ ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，由，可得到，再利用证得，从而得到． 【详解】略 21. 已知，，． （1）尺规作图：请在边上作一点O，使点O到点B，C的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，求的度数． 【答案】（1） 如图，点即为所作； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，为线段的垂直平分线与的交点，然后作垂线即可； （2）由，，可得，则，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵点O到点B，C的距离相等， ∴为线段的垂直平分线与的交点， 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定与性质，作垂线，三角形内角和定理，等边对等角．熟练掌握垂直平分线的判定与性质，作垂线，三角形内角和定理，等边对等角是解题的关键． 22. 如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC是等边三角形． 【答案】 ∵DC＝DB， ∴∠B＝∠DCB＝30°， ∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°， 又∵AD＝DC， ∴△ADC是等边三角形 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质得到∠DCB=∠B=30°，求得∠ADC=60°，即可得到结论． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练性质定理是解题关键． 23. 如图，，点A在上，点B、C在上．在中，，．点M、Q在直线上，在中，，． （1）将沿直线平移，当点N在上时，请画出示意图并求的度数； （2）将沿直线平移，当以A、Q、N为顶点的三角形中，有两个角相等时，求的度数． 【答案】（1） 解：如图， （2）或或或 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和与外角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）先根据三角形的内角和得到，，然后利用平行线的性质得到，然后在中运用三角形的内角和解题即可； （2）分、、，三种情况分别画图计算即可解题． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，当， 则； 如图，当时，则； 如图，当时， ∵， ∴； 如图，当时， ∵， ∴； 综上所述，以A、Q、N为顶点的三角形中，有两个角相等时，为或或或． 24. 定义：是多项式A化简后的项数．例如多项式，则．一个多项式A乘以多项式B，化简得到多项式C（即），若，则称B是A的“郡园多项式”；若，则称B是A的“郡园志勤多项式”． （1）若，则B是不是A的“郡园多项式”？说明理由． （2）若是关于x的多项式且B是A的“郡园志勤多项式”，求a的值． 【答案】（1） B是A的“郡园多项式”，理由如下： ∵， 的项数比A的项数多1， ∴B是A的“郡园多项式”． （2）2 【解析】 【分析】题目主要考查多项式的乘法及项数的理解，熟练掌握多项式的乘法是解题关键． （1）根据多项式的乘法及项数依据新定义求解即可； （2）根据多项式的乘法及项数确定求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ∵B是A的“郡园志勤多项式”， ∴且，解得， ∴a的值是2． 25. 如图，是等边三角形，以直线为x轴建立平面直角坐标系，若且a、b满足，D为y轴上一动点，以为边作等边，交y轴于E． （1）如图1，求A点坐标； （2）如图2，D为y轴正半轴上一点，C在第二象限，的延长线交x轴于M，当D点在y轴正半轴上运动时，M点坐标是否变化，若不变，求M点的坐标，若变化，说明理由； （3）如图3，D在y轴负半轴上，以为边向右构造等边，交y轴于E点，如果D点在y轴负半轴上运动时，仍保持为等边三角形，连，试求，，三者的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）点的坐标不发生变化，且点M的坐标为 （3） 解：，证明如下： 同理可证明， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质，求得a和b得到点B的坐标，利用勾股定理求出的长，进而利用等边三角形的性质求出的长，据此可得答案； （2）证明，则有，在中得到，利用，可得点M的坐标； （3）同理可证明，得到，，再证明，得到，则，据此可推出． 【小问1详解】 解：，， ∴， ∴ ，， ， ∴， ∵是等边三角形， ， ． 【小问2详解】 解：点的坐标不发生变化，且点M的坐标为，理由如下： 如图中， 、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ∴， 在中，，，， ∴， ， ， ． 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，非负数的性质，坐标与图形，证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $