精品解析：广东省广州市白云中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

广州市白云中学2024学年第一学期期中考试 高二 数学 命题人：许娜 审核人：罗欣琼 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系求得倾斜角. 【详解】直线的斜率为，对应倾斜角为， 故选：B 2. 已知平面的一个法向量，点在平面内；若点在平面内，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量垂直列方程，化简求得. 【详解】由题意，， 因为平面的一个法向量， 所以， 所以， 解得. 故选：A 3. 对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ）． A. 若，，则 B. C. 若，则，的夹角是钝角 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量的位置关系可得A错误；由数量积的运算律可得B正确，D错误；当两向量的夹角为时，也成立可得D错误； 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，由数量积的运算律可知，故B正确； 对于C，若，则，的夹角是钝角或反向共线，故C错误； 对于D，由数量积的运算律可知，等号左面与共线，等号右面与，两边不一定相等，故D错误； 故选：B. 4. “”是“直线与直线平行”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行得到方程和不等式，得到，求出答案. 【详解】由题意得且，解得. 故“”是“直线与直线平行”的充要条件. 故选：C 5. 在正三棱柱中，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正三棱柱的性质，可得，从而算出，然后在正中算出，进而利用向量的加法法则与数量积的运算性质，算出的值． 【详解】根据题意得，所以， 等边中，， 因此，． 故选：B． 6. 向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法表示即可. 【详解】依题意，事件表示两次点数和为6， 因此件用样本点表示为. 故选：A 7. 已知二面角的棱l上有A，B两点，直线BD，AC分别在平面内，且它们都垂直于l．若，则异面直线AC与BD所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，两边同时平方代入可得，即可得出答案. 【详解】因为，所以. 因为，，，，，， 所以， 所以． 因为异面直线AC与BD所成角为，， 所以，所以. 故选：B. 8. 甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：（1）累计负两场者被淘汰；（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签甲､乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，将丙最终获胜的可能情况进行分类，分别求出各类事件发生的概率，再由互斥事件概率公式计算可得． 【详解】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，注意丙轮空时， 甲乙比赛结果对下面丙获胜概率没有影响（或者用表示）， 若比赛4场，丙最终获胜，则丙3场全胜，概率为， 若比赛5场，丙最终获胜，则从第二场开始的4场比赛按照丙的胜负轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为， 所以丙获胜的概率为． 故选：B． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，少选得部分分，多选或错选不得分） 9. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则与相互独立 D. 若发生时一定发生，则 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A，利用互斥事件的概率公式，即可求解；选项B，利用，求得，即可求解；选项C，利用相互独立的判断方法，即可求解；选项D，由题知，即可求解. 【详解】对于选项A，因为与互斥，则，所以选项A错误， 对于选项B，与相互独立，则，所以选项B正确， 对于选项C，因为，所以，由相互独立的定义知与相互独立，所以选项C正确， 对于选项D，因为发生时一定发生，所以，则，所以选项D错误， 故选：BC. 10. 以下命题正确的是（ ） A. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 B. 若A，B，C三点不共线，对于空间任意一点，若，则P，A，B，C四点共面 C. 已知，，若与垂直，则 D. 已知的顶点坐标分别为，，，则AC边上的高BD的长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，利用投影向量的公式进行求解；B选项，变形得到，则P，A，B，C四点共面，B正确；C选项，利用得到方程，求出；D选项，利用点到直线的向量距离公式求出点到的距离，得到答案. 【详解】A选项，向量在向量上的投影向量的坐标是 ，A错误； B选项，因为， 所以， 即，， 则P，A，B，C四点共面，B正确； C选项，， ， 故， 解得，C正确； D选项，点到的距离 ， AC边上的高BD的长为，D正确. 故选：BCD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为面的中心，、分别为和的中点，则（ ） A. 平面 B. 若为上的动点，则的最小值为 C. 点到直线的距离为 D. 平面与平面相交 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到，故故与平面不平行，A错误；B选项，将两平面展开到一个平面内，利用勾股定理求出最小值；C选项，利用点到直线距离向量公式求出答案；D选项，求出平面的法向量，与平面的法向量不平行，得到两平行相交. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 所以， 故与平面不平行，A错误； B选项，把平面与平面以为公共边展开到同一平面内，如图， 连接与相交于点，此时最小， 最小值为，B正确； C选项，，，， ， 点到直线的距离为，C错误； D选项，，所以， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 显然与不平行，故平面与平面不平行， 又两平面不重合，故两平面相交，D正确. 故选：BD. 第二卷 非选择题 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，其中第13题第一空3分，第二空2分） 12. 某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有500名志愿者服用此药，结果如下 体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加 人数 276 144 80 如果另有一人服用此药，估计其体重减轻的概率为__________; 【答案】##0.552 【解析】 【分析】由表中数据，用频率估计概率求解. 【详解】由表中数据得：估计这个人体重减轻的概率约为 故答案为： 13. 已知两点，，直线为线段AB的垂直平分线，则直线的方程为________；直线与坐标轴所围成的三角形的面积为_____________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出AB的中点坐标和直线AB的斜率，从而得到直线的斜率为，利用点斜式写出直线的方程，化为一般式，再求出直线与两坐标轴的交点，得到三角形面积. 【详解】AB的中点坐标为， ，故直线的斜率为， 故直线的方程为，即； 中，令得，令得， 故与两坐标轴的交点坐标分别为和， 故线与坐标轴所围成的三角形的面积为. 故答案为：； 14. 在空间直角坐标系中，表示经过点，且法向量为的平面的方程，则点到平面的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合题意以及空间中点到平面的距离公式求解. 【详解】由题意，平面过点， 且其法向量为，则， 故点到平面的距离为 . 故答案为：. 四、解答题（共5题，共77分） 15. 甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张. （1）写出甲、乙抽到牌的所有情况； （2）设事件A=“乙抽到的牌的数字比3大”，求A的概率. （3）甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？ 【答案】（1）甲、乙抽到牌的所有情况为， 共12种不同的情况. （2） （3）游戏不公平，理由:甲抽到的牌的数字比乙的大，有，共5种情况， 因此甲胜的概率为，乙胜的概率为，因此，所以此游戏不公平. 【解析】 【分析】（1）分别用2，3，4，表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，列举法得到答案； （2）列举出事件，得到概率； （3）计算出甲胜的概率为，乙胜的概率为，因此游戏不公平. 【小问1详解】 分别用2，3，4，表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4， 则甲、乙抽到牌的所有情况为， 共12种不同的情况. 【小问2详解】 事件，故； 【小问3详解】 略 16. 如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点. （1）求证：是平面的一个法向量； （2）求点到平面的距离； （3）求与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明：如图，以为原点，建立空间直角坐标系D－xyz， 正方体的棱长为2，      则 ， ，  ， ，，  ，， 平面，则是平面的一个法向量. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，由，，得平面，可得是平面的一个法向量； （2）由点到平面的距离向量求法，可求得点到平面的距离； （3）求出平面的一个法向量，利用线面角的向量求法，即可求得与平面所成角的大小. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为是平面的一个法向量，又， 所以点到平面的距离是： . 【小问3详解】 因为点是的中点，则，， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 则平面的一个法向量， 设与平面所成角为 ，则 ＝， 所以与平面所成角的大小. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且与的夹角都等于在棱PD上，，设，. （1）试用表示向量； （2）求与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设条件，利用空间向量的线性运算表示向量即可； （2）根据（1）的结论，利用空间向量的模长公式，结合题设，求得和的值，最后代入空间向量的夹角公式计算可得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为，， ， 所以 ， 所以， 因为， 所以与的夹角为. 18. 三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，三人闯关都成功的概率是，三人闯关都不成功的概率是. （1）求两人各自闯关成功的概率； （2）求三人中恰有两人闯关成功的概率. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解， （2）分三种情况，结合相互独立事件的概率乘法公式求解. 【小问1详解】 设两人各自闯关成功的概率分别是. 由题意得 解得， 所以两人各自闯关成功的概率分别是，. 【小问2详解】 三人中只有闯关成功的概率， 三人中只有闯关成功的概率， 三人中只有闯关成功的概率， 故三人中恰有两人闯关成功的概率为. 19. 如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明:因为平面，平面，所以； 底面为菱形，所以； 又因为，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】由线面垂直性质定理得，菱形对角线垂直，可证； 建立空间直角坐标系，用平面与平面的法向量，求夹角余弦值，再转换为正弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图：  设，取的中点，连接，则 ，所以平面. 故可以以为原点，建立如图空间直角坐标系. 因为为直线与平面所成的角，所以. 又， 所以，，，，， 则，. 设平面的法向量为， 则， 取，则，则， 又为平面的法向量，设平面与平面所成的角为， ，则， ，即平面与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市白云中学2024学年第一学期期中考试 高二 数学 命题人：许娜 审核人：罗欣琼 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面的一个法向量，点在平面内；若点在平面内，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ）． A. 若，，则 B. C. 若，则，的夹角是钝角 D. 4. “”是“直线与直线平行”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在正三棱柱中，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二面角的棱l上有A，B两点，直线BD，AC分别在平面内，且它们都垂直于l．若，则异面直线AC与BD所成角为（ ） A. B. C. D. 8. 甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：（1）累计负两场者被淘汰；（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签甲､乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，少选得部分分，多选或错选不得分） 9. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则与相互独立 D. 若发生时一定发生，则 10. 以下命题正确的是（ ） A. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 B. 若A，B，C三点不共线，对于空间任意一点，若，则P，A，B，C四点共面 C. 已知，，若与垂直，则 D. 已知的顶点坐标分别为，，，则AC边上的高BD的长为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为面的中心，、分别为和的中点，则（ ） A. 平面 B. 若为上的动点，则的最小值为 C. 点到直线的距离为 D. 平面与平面相交 第二卷 非选择题 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，其中第13题第一空3分，第二空2分） 12. 某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有500名志愿者服用此药，结果如下 体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加 人数 276 144 80 如果另有一人服用此药，估计其体重减轻的概率为__________; 13. 已知两点，，直线为线段AB的垂直平分线，则直线的方程为________；直线与坐标轴所围成的三角形的面积为_____________ 14. 在空间直角坐标系中，表示经过点，且法向量为的平面的方程，则点到平面的距离为______. 四、解答题（共5题，共77分） 15. 甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张. （1）写出甲、乙抽到牌的所有情况； （2）设事件A=“乙抽到的牌的数字比3大”，求A的概率. （3）甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？ 16. 如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点. （1）求证：是平面的一个法向量； （2）求点到平面的距离； （3）求与平面所成角的大小. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且与的夹角都等于在棱PD上，，设，. （1）试用表示向量； （2）求与的夹角. 18. 三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，三人闯关都成功的概率是，三人闯关都不成功的概率是. （1）求两人各自闯关成功的概率； （2）求三人中恰有两人闯关成功的概率. 19. 如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $