精品解析：上海市长征中学2024-2025学年高三上学期期中测试数学试卷

2024学年第一学期高三期中测试 数学学科试卷 （时间120分钟，满分150分） 2024.11 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分 1. 已知集合，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用交集的定义求解即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故答案为：. 2. 若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为___． 【答案】 【解析】 【分析】设指数函数的解析式为（a＞0且a≠1）,代入计算即可得解. 【详解】解：设指数函数的解析式为（a＞0且a≠1）， ∴， 解得， ∴. 故答案为：. 3. 用函数的观点：不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】由不等式可得，令函数再根据函数单调性即可求解 【详解】由不等式可得， 令函数，定义域为， 由于，均为定义域内的增函数， 所以在定义域内单调递增，且， 对应不等式即为，解之得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 4. 在中，，，，则的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理可解得，再由面积公式即可求得结果. 【详解】由余弦定理可知， 即，解得； 所以的面积为. 故答案为： 5. 已知中，，，，则绕旋转一周形成的几何体的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得旋转体为一个圆锥，利用圆锥的体积公式可求体积. 【详解】因为，，，由勾股定理可得， 绕旋转一周形成的几何体为圆锥，且底面圆的半径为，高为， 所以该圆锥的体积为. 故答案为： 6. 已知集合，，若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先解方程得集合A，再根据集合的基本关系计算即可. 【详解】解方程得或，即， 又，所以，即的取值范围是. 故答案为： 7. 若双曲线的一条渐近线与直线平行，则________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用双曲线的性质及两直线平行的充要条件计算即可. 【详解】易知的渐近线为， 又一条渐近线与直线平行，所以. 故答案为：3 8. 在空间直角坐标系中，点关于平面xOz的对称点为B，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，求得，结合空间向量的数量积的坐标运算公式，即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中，可得点关于平面xOz的对称点为， 则，所以. 故答案为：. 9. 在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点所处位置的坐标是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，结合三角函数的定义计算点所处位置的坐标． 【详解】解：由题意可得图： 每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为； 点的初始位置坐标为，若角的始边为轴的非负半轴，此时角终边所在直线为，则 运动到3分钟时，形成的角度为， 所以 动点所处位置的坐标是． 故答案为：． 10. 已知，，且，则的最小值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用消元法结合基本不等式计算即可. 【详解】由，即， 所以， 当且仅当时取得最小值. 故答案为：2 11. 已知实数、、、满足，，，记，则的最大值是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题目等式特征可知，实数对都在圆上，利用数形结合再根据可得，再利用不等式求出去掉绝对值后可得，求出的最小值即可求得w的最大值. 【详解】根据题意可设圆，， 显然两点在圆上，由可知， 可得；如图所示： 由不等式，可得，同理可得； 所以， 当取最小值时，的值最大， 由， 易知，所以，可得， 又， 所以，即， 当且仅当时取最小值， 此时， 即的最大值是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于根据题目信息和等式特点，将代数问题转化成几何图形，再利用向量和不等式即可求得结果. 12. 若存在实数，，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】不等式等价于， 原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立， 等价于存在实数，，不等式成立， 分别讨论，，，的情况，先求出， 再求出即可解决问题. 【详解】不等式等价于即， 原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立， 等价于存在实数，，不等式成立， 记，则， （1）当时，对任意，恒成立，即在上单调递减 ①当，即时，， ②当，即时，， 从而当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以； （2）当时，令，解得， 在区间上单调递增，在上单调递减， ，，， ①当时，此时， 当即时，， 当即时，， 从而当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增, 所以； 令，则，，记， 则， 当时，恒成立， 即在区间上单调递减，即， 即； ②当时，此时， 当即时，， 当即时，， 从而当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以； （3）当时，对任意，恒成立，即在上单调递增， ①当，即时，， ②当，即时，， 从而当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以； 综上所述，， 所以. 故答案为： 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14每题4分，15-16每题5分，选对得分，否则一律得零分. 13. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理，结合充分、必要条件的概念，即可得答案. 【详解】若，则或，故充分性不成立， 若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：D. 14. 已知函数在定义域上是增函数，且，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的单调性及定义域得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为函数在定义域上是增函数，且， 则有，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 15. 下列不等式中，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由特殊值法，可判断ABC错，根据不等式的性质，由作差法，可判断D正确. 【详解】A选项，若，则，故A错； B选项，若，则，故B错； C选项，若，，，则，，此时，故C错； D选项， 显然恒成立， 所以，即D选项正确. 故选：D. 16. 已知函数的定义域为，有下面两个命题， 命题：若存在且，对任意，均有恒成立，则函数在上为严格减函数； 命题：若函数在上为严格减函数，且恒成立，则存在且，对任意，均有恒成立.则下列说法正确的是（ ）. A. 命题是真命题，命题是真命题； B. 命题是假命题，命题是真命题； C. 命题是真命题，命题是假命题； D. 命题是假命题，命题是假命题. 【答案】B 【解析】 【分析】利用单调性的定义可判定q命题，结合反例可判定p命题. 【详解】对于命题p，不妨设， 则， 所以， 如图所示可知：满足，但在上不为严格减函数， 即p为假命题； 对于命题q，若函数在上为严格减函数，且恒成立， 不妨取，则对任意， 有恒成立，即q为真命题. 故选：B 【点睛】思路点睛：根据单调性的定义，结合反例数形结合即可判定命题. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 设常数，函数. （1）若为偶函数，求a的值； （2）若，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，其中，根据为偶函数，求出，从而求出； （2）代入求解得到，结合三角恒等变换求出. 【小问1详解】 ， 其中， 因为为偶函数，所以， 故，所以； 【小问2详解】 ， 故，解得， 故， 因为，所以. 18. 2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱．返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”．如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与． （1）写出图中“果圆”的方程； （2）直线交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确到0.01）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由焦点坐标和短轴的两个顶点坐标可得半个椭圆的方程，由圆弧经过的焦点坐标和短轴的两个顶点坐标，可求出圆弧方程，可得图中“果圆”的方程； （2）通过联立方程组求出A、B两点坐标，可求弦AB的长度. 【小问1详解】 因为椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与. 可得，即， 所以半个椭圆的方程为； 圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与， 设圆弧方程为， 利用，解得，所以， 得. 所以果圆方程为，. 【小问2详解】 由，解得，得， 由，解得，得， 所以. 19. 如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，，是的中点，是的中点. （1）求证：； （2）求证：平面平面. 【答案】（1） ∵点分别为中点， ∴， 由∵、都垂直于平面， ∴， ∴； （2） 如图，连接CG， ∵平面，且平面， ∴ 在正中，点为中点， ∴，且，平面，平面， ∴平面， ∵点分别为中点， ∴，所以四边形是平行四边形， ∴， ∴平面， 又因为平面， ∴平面平面. 【解析】 【分析】（1）由中位线得到线线平行，同时垂直于同一平面的两直线平行，两条线同时垂直与同一直线得到线线平行； （2）由线面垂直得到线线垂直，正三角形三线合一得到线线垂直，得到线面垂直，由平行四边形得到线线平行，从而得到平面内一条线垂直于平面，然后得到面面垂直. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 为研究一种浮游植物的生长规律，某科研团队在一个面积为8000平方米且保持各项指标均稳定的实验池塘中开展研究，一开始在此池塘投放了一定覆盖面积的该植物，观察实验得到该植物覆盖面积（单位：平方米）与所经过月数的下列数据： 0 2 3 4 4 25 63 156 为了描述该植物覆盖面积（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型可供选择：①；②；③. （1）试判断以上哪个函数模型更适合植物覆盖面积与经过的月数的关系，并求出该模型的函数解析式： （2）约经过几个月，该植物能覆盖整个池塘？ （3）经过4个月的研究，在掌握该植物生长规律后，科研小组开始改善池塘生态，现有两种方案： 方案一：加入能抑制该植物生长的某种物质，使其覆盖面积与经过的月数的关系变为； 方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4平方米，植物增长速度不变. 请比较这两种方案的植物覆盖面积增长状况，并说明理由. 【答案】（1）函数模型适合，，； （2）9个月； （3） 依题意，方案二的函数模型为， 当时， 方案二的函数模型对应的值依次为， 方案一的函数模型对应的值依次为， 方案一的增长速度比方案二的小，方案二在第5到9月生物量较方案一小，10月开始方案一生物量较小， 方案二再经过13个月此生物能覆盖整个池塘， 由，解得，方案一再经过15个月此生物能覆盖整个池塘. 【解析】 【分析】（1）根据图表可知随x增长函数值也增长，可确定函数模型，再根据给定数据计算结合误差大小判断选择函数模型. （2）由（1）中选择的函数模型，列式根据指数与对数的运算法则计算即得. （3）求出方案二在的函数模型，计算分析即可得解. 【小问1详解】 根据图表可知随x增长函数值增长越来越快， 而函数刻画的是增长速度越来越快的变化规律， 函数刻画的是增长速度越来越慢的变化规律，不符合题意； 若选择函数模型，则有，解得， 即，， 当时，，当时，， 所给数据均比较接近满足函数； 若选择函数模型，显然， 且，解得，即， 而当时，，与给定的数据相差太大，不符合题意， 所以函数模型更适合； 【小问2详解】 由（1）知，，， 设约经过个月，此生物能覆盖整个池塘， 则，解得 . 所以约经过9个月此生物能覆盖整个池塘； 【小问3详解】 略 21. 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.例如是区间上的“平均值函数”，0是它的均值点. （1）已知函数、，判断、是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由； （2）设是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的整数数对； （3）若是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点，求证：. 【答案】（1）函数是区间上的“平均值函数”， 不是区间上的“平均值函数”，理由如下： 由题题意，得，则，所以函数是区间上的“平均值函数”； ，即， 所以，无解，所以不是区间上的“平均值函数”； （2）或或或. （3）证明：由题意可得，则所证不等式为， 需证，令，则不等式为， 则不等式等价于， 令，求导得， 所以在上单调递减，所以， 即，即. 【解析】 【分析】（1）利用“平均值函数”的定义计算即可判断； （2）由平均值函数的定义可得，可求所有满足条件的整数数对； （3）所证不等式可变形为，利用换元法，令，可证结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点， 所以， 即，显然不成立， 所以，因为是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得， 又所求的为整数对，故或或或. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期高三期中测试 数学学科试卷 （时间120分钟，满分150分） 2024.11 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分 1. 已知集合，，则______. 2. 若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为___． 3. 用函数的观点：不等式的解集为______. 4. 在中，，，，则的面积为______. 5. 已知中，，，，则绕旋转一周形成的几何体的体积为______. 6. 已知集合，，若，则实数的取值范围是________. 7. 若双曲线的一条渐近线与直线平行，则________. 8. 在空间直角坐标系中，点关于平面xOz的对称点为B，则________． 9. 在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点所处位置的坐标是____________. 10. 已知，，且，则的最小值为________. 11. 已知实数、、、满足，，，记，则的最大值是________. 12. 若存在实数，，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是________. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14每题4分，15-16每题5分，选对得分，否则一律得零分. 13. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 14. 已知函数在定义域上是增函数，且，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 下列不等式中，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数的定义域为，有下面两个命题， 命题：若存在且，对任意，均有恒成立，则函数在上为严格减函数； 命题：若函数在上为严格减函数，且恒成立，则存在且，对任意，均有恒成立.则下列说法正确的是（ ）. A. 命题是真命题，命题是真命题； B. 命题是假命题，命题是真命题； C. 命题是真命题，命题是假命题； D. 命题是假命题，命题是假命题. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 设常数，函数. （1）若为偶函数，求a的值； （2）若，求函数的值域. 18. 2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱．返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”．如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与． （1）写出图中“果圆”的方程； （2）直线交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确到0.01）． 19. 如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，，是的中点，是的中点. （1）求证：； （2）求证：平面平面. 20. 为研究一种浮游植物的生长规律，某科研团队在一个面积为8000平方米且保持各项指标均稳定的实验池塘中开展研究，一开始在此池塘投放了一定覆盖面积的该植物，观察实验得到该植物覆盖面积（单位：平方米）与所经过月数的下列数据： 0 2 3 4 4 25 63 156 为了描述该植物覆盖面积（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型可供选择：①；②；③. （1）试判断以上哪个函数模型更适合植物覆盖面积与经过的月数的关系，并求出该模型的函数解析式： （2）约经过几个月，该植物能覆盖整个池塘？ （3）经过4个月的研究，在掌握该植物生长规律后，科研小组开始改善池塘生态，现有两种方案： 方案一：加入能抑制该植物生长的某种物质，使其覆盖面积与经过的月数的关系变为； 方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4平方米，植物增长速度不变. 请比较这两种方案的植物覆盖面积增长状况，并说明理由. 21. 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.例如是区间上的“平均值函数”，0是它的均值点. （1）已知函数、，判断、是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由； （2）设是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的整数数对； （3）若是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $