教材经典母题的变式 课件 2025年九年级中考数学人教版一轮复习（广西）

教材经典母题的变式 2025版 数学 广西专版 母题1　(人教八上P56T9)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5 cm，DE＝1.7 cm.求BE的长． 2025版 数学 广西专版 解：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°. ∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA. 在△CEB和△ADC中， ∠E＝∠ADC， ∠EBC＝∠DCA， BC＝AC， ∴△CEB≌△ADC(AAS)， ∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5 cm. ∴BE＝DC＝CE－DE＝0.8 cm. 2025版 数学 广西专版 在学习完人教版八上第十二章后，刘老师让同学们独立完成课本56页第9题：如图①，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E.AD＝2.5 cm，DE＝1.7 cm，求BE的长． 2025版 数学 广西专版 (1)待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在课本原题其他条件不变的前提下，将CE所在直线变换到△ABC的外部(如图②)，请猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系； (2)如图③，将原题中的条件改为：在△ABC中，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC＝∠ADC＝∠BCA＝α，其中α为任意钝角，那么(1)中猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 2025版 数学 广西专版 解：(1)DE＝BE＋AD. 证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＋∠ACD＝90°， ∵BE⊥CE，∴∠BCE＋∠EBC＝90°， ∴∠EBC＝∠ACD，∴△ACD≌△CBE(AAS)， ∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝CD＋CE＝BE＋AD. 2025版 数学 广西专版 (2)结论DE＝BE＋AD成立， 证明：∵∠BCE＝180°－∠ACB－∠ACD， ∠BCE＝180°－∠CBE－∠BEC，∠BEC＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠CBE， ∠ACD＝∠CBE， 在△ACD和△CBE中，∠ADC＝∠CEB， AC＝CB， ∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴CD＝BE，AD＝CE， ∴DE＝CD＋CE＝BE＋AD， 即结论DE＝BE＋AD成立． 2025版 数学 广西专版 (3)应用：如图④，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，D，A，E三点都在直线m上，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，m与BC的延长线交于点F，若BD＝4，DE＝6，EF＝2CE，则△ABD与△ABF的面积之比为 .(直接写出结论) 解：(3)由(2)得，△ABD≌△CAE， ∴AE＝BD＝4，AD＝CE， ∴AD＝DE－AE＝6－4＝2，∴EF＝2CE＝4， ∴AF＝EF＋AE＝4＋4＝8， ∴△ABD与△ABF的面积之比为AD∶AF＝2∶8＝1∶4. 1∶4 2025版 数学 广西专版 母题2　(人教八上P83T12)如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证：BE＝DC. 2025版 数学 广西专版 证明：∵△ABD，△AEC都是等边三角形， ∴AD＝AB，AE＝AC， ∠DAB＝∠CAE＝60°，∴∠DAC＝∠BAE， ∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE＝DC. 2025版 数学 广西专版 【问题情景】(1)如图①，△ABD，△AEC都是等边三角形． 【迁移拓展】(2)如图②，在△ABC中，∠ABC＝30°，分别以AB，AC为边在△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形AEC，连接CD，BE.求证：AB2＋BC2＝BE2； 【学以致用】(3)如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AB＝BC＝2，AC⊥AD.求BD的长． 2025版 数学 广西专版 (2)证明：∵△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB，∠ABD＝60°， ∵∠ABC＝30°，∴∠DBC＝∠ABD＋∠ABC＝90°， ∴DB2＋BC2＝DC2， 易证△CAD≌△BAE(SAS)，∴BE＝DC， ∴AB2＋BC2＝BE2. 2025版 数学 广西专版 (3)解：将线段AB绕点A按顺时针方向旋转 90° 得到线段AE，连接BE，CE. ∵AB＝AE，∠EAB＝90°，∴∠ABE＝∠AEB＝45°， ∵AB＝AE＝2，∴BE2＝AB2＋AE2＝8， ∵∠ABC＝45°，∴∠CBE＝∠ABC＋∠ABE＝90°， ∴BE2＋BC2＝CE2，∵AB＝BC＝2， ∴CE＝＝＝2， ∵AC⊥AD，∴∠CAD＝90°，∴∠CAE＝∠DAB， ∵∠ADC＝45°，∴∠ACD＝∠ADC＝45°， ∴AD＝AC，∵AB＝AE， ∴△CAE≌△DAB(SAS)，∴BD＝CE＝2. 2025版 数学 广西专版 母题3　(人教八上P93T15)如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 2025版 数学 广西专版 解：如图所示． 从A到C，再到D，再到B. 2025版 数学 广西专版 问题提出： 某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得PA＋PB的值最小． 解法：如图①，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA＋PB的最小值为A′B. 2025版 数学 广西专版 (1)如图②，在等边三角形ABC中，E是AB上的点，AD是∠BAC的平分线，P是AD上的点，若AD＝6，则PE＋PB的最小值为 ； 6 2025版 数学 广西专版 问题解决： (2)如图③，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成30°的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知OA＝5 km，请在图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 2025版 数学 广西专版 解：(2)分别作出点A关于OM，ON的对称点B，C，连接BC分别交OM，ON于点D，E，连接AD，AE，则线段AD，DE，EA之和即为所求的最短路径． 由题意得OB＝OA＝OC＝5，∠BOD＝∠AOD，∠COE＝∠AOE， ∵∠MON＝∠AOD＋∠AOE＝30°， ∴∠BOC＝∠BOD＋∠AOD＋∠COE＋∠AOE＝60°， ∴△OBC为等边三角形，∴BC＝OB＝5， ∴AD＋DE＋EA＝BD＋DE＋EC＝BC＝5 km， 故整个过程所行的路程为5 km. 2025版 数学 广西专版 母题4　(人教八年级下P29T14)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，求证：AE2＋AD2＝2AC2.(提示：连接BD) 2025版 数学 广西专版 证明：连接BD， ∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形， ∴∠ECD＝∠ACB＝90°，∠E＝∠ADC＝∠CAB＝45°，AC2＋BC2＝AB2， ∴2AC2＝AB2，∠ACE＝∠BCD. ∴△AEC≌△BDC(SAS)． ∴AE＝BD，∠E＝∠BDC， ∴∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°， ∴AD2＋BD2＝AB2， 即AE2＋AD2＝2AC2. 2025版 数学 广西专版 (2024•光海模拟)如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，AB，CD交于点F，连接BD.若AE＝2，AF∶CF＝∶3，求线段AB的长． 2025版 数学 广西专版 解：∵∠ADC＝∠ABC＝45°，∠AFD＝∠CFB， ∴△AFD∽△CFB， ∴＝＝， 设AD＝a，则BC＝3a， ∴AB＝3a，AC＝3a， 由母题3得22＋(a)2＝2×(3a)2， 解得a＝ (负值舍)，则AB＝3a＝. 2025版 数学 广西专版 △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，且CA＝CB，CE＝CD. 2025版 数学 广西专版 (1)如图①，若△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，请直接写出AE，AD，AC的数量关系： ； (2)将△ABC绕点C旋转到如图②所示位置，点B在AE上，连接AD，则(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请给出正确结论并说明理由； (3)在△ACB绕点C旋转过程中，当A，E，B三点在同一条直线上时，若AC＝3，CD＝，请直接写出AE的长． AD2＋AE2＝2AC2 2025版 数学 广西专版 解：(2)不成立，AD－AE＝AC. 理由：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∴∠ECD＝∠ACB＝90°，∠BAC＝∠ABC＝45°， ∴∠BCE＝∠ACD， ∵CA＝CB，CE＝CD，∴△BCE≌△ACD(SAS)， ∴AD＝BE，∴AD－AE＝BE－AE＝AB， ∵AC2＋BC2＝AB2，AC＝BC，∴AB＝AC， ∴AD－AE＝AC. 2025版 数学 广西专版 (3)如答图①，当点E在AB延长线上时，过点C作CF⊥AB于点F， ∵AC＝3，∴AF＝CF＝BF＝3， ∵CE＝CD＝，∴EF＝＝5， ∴AE＝AF＋EF＝3＋5＝8， 如答图②，当点E在BA延长线上时，过点C作CH⊥AB于点H， ∵AC＝3，∴AH＝CH＝3， ∵CE＝CD＝，∴EH＝＝5， ∴AE＝EH－AH＝5－3＝2. 综上所述，AE的长为8或2. 2025版 数学 广西专版 母题5　(人教八上P93T11)如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF.求证：△DEF是等边三角形． 2025版 数学 广西专版 证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC， ∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD， 在△ADF和△BED中， AD＝BE， ∠A＝∠B， AF＝BD， ∴△ADF≌△BED(SAS)，∴DF＝DE， 同理可证DE＝EF，∴DE＝DF＝EF. ∴△DEF是等边三角形． 2025版 数学 广西专版 如图，在等边三角形ABC的三边上分别取点D，E，F，使得AD＝BE＝CF，若DE⊥BC，则△ABC的周长是△DEF的周长的( ) A．2倍 B．3倍 C．倍 D．2倍 C 2025版 数学 广西专版 已知等边三角形ABC的边长为8. (1)如图①，在等边三角形ABC的三边上，分别取D，E，F，使得AD＝BE＝CF，则有△DEF是等边三角形； (2)如图②，在(1)的条件下，P为DE中点，连接BP交AC于点G， 求证：BP＝PG； 2025版 数学 广西专版 (2)证明：过点D作DG′∥BC，连接BG′交DE于点P′， ∴∠ADG′＝∠ABC＝60°，∠DG′P′＝∠EBP′， ∴△ADG′为等边三角形， ∴DG′＝AD＝BE， ∴△BEP′≌△G′DP′(AAS)， ∴DP′＝EP′，BP′＝P′G′，P′为DE的中点， 即P′与P重合，∴G′与G重合， ∴BP＝PG. 2025版 数学 广西专版 (3)如图③，D，F为等边三角形AB，AC上两点，且AF＝2BD，以DF为边作等边三角形DEF使A，E在DF的两侧，O为BC中点，连接OE，则OE的最小值为 . 2 2025版 数学 广西专版 (3)解：过点F作FM∥BC交AB于点M，连接ME，交BC于点N， ∠AMF＝∠B＝∠A＝60°， ∴△AMF为等边三角形，∴AF＝MF，∠AFM＝60°， ∵△DEF为等边三角形， ∴DF＝EF，∠DFE＝60°，∴∠AFD＝∠MFE， ∴△AFD≌△MFE(SAS)，∴∠A＝∠EMF＝60°，ME＝AD， ∴∠BMN＝180°－60°－60°＝60°， ∴△BMN是等边三角形，BM＝MN，∠BNM＝60°， 2025版 数学 广西专版 设BD＝x，则AF＝2x，AD＝8－x， ∴ME＝AD＝8－x，MN＝BM＝BN＝8－2x， ∴NE＝ME－MN＝x， 过E作EQ⊥BC于点Q. ∴QE＝ NE＝x，NQ＝NE＝ x. 2025版 数学 广西专版 ①若BN≥OB，即8－2x≥4，x≤2， 则ON＝BN－OB＝4－2x， ∴OE2＝QE2＋OQ2 ＝(x)2＋(4－2x＋ x)2 ＝3(x－2)2＋4. ∴当x＝2时，OE有最小值2； 2025版 数学 广西专版 ②若BN<OB，即8－2x<4，x>2. 则ON＝OB－BN＝2x－4. ∴OE2＝(x)2＋(2x－4－ x)2＝3(x－2)2＋4， ∴当x>2时，OE2>4. 综上所述，当x＝2时，OE有最小值2. 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 $$