第二节　与圆有关的位置关系 课件 2025年九年级中考数学人教版一轮复习（广西）

第二节　与圆有关的位置关系 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 1.如果直径为13 cm的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离d满足( ) A.d＝13 cm B．d＝6.5 cm C.0 cm≤d＜6.5 cm D．d＞6.5 cm C 2025版 数学 广西专版 2.在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为( ) A. B． C．a D．b B 2025版 数学 广西专版 3.如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC＝10，点P是Rt△ABC的内心，点P到边AB的距离为 . 2 2025版 数学 广西专版 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，点B(2，1)，点C(2，－3)． 则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是 ． (－2，－1) 2025版 数学 广西专版 5．如图，AD切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BD交⊙O于点C.已知AD ＝2，AB＝4，则弦BC的长为 . 2025版 数学 广西专版 6．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，则∠OPB＝ . 30° 2025版 数学 广西专版 7．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D.连接BD，若∠C＝50°，则∠DBE＝ . 65° 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 重难点：与切线相关的证明与计算 突破设问一　切线的判定 考向1：切点确定，连半径，证垂直 (1)如图①，AB是⊙O的直径，AB＝AC，点D在⊙O上，DE⊥AC于点E.求证：DE是⊙O的切线； 2025版 数学 广西专版 证明：连接OD， ∵OB＝OD，∴∠B＝∠1， ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， ∴∠1＝∠C，∴OD∥AC， ∵DE⊥AC，∴OD⊥DE， 又∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线． 2025版 数学 广西专版 (2)如图②，AB是⊙O的直径，AD平分∠CAB，点D在⊙O上，CD⊥AC于点C.求证：CD是⊙O的切线； 2025版 数学 广西专版 证明：连接OD， ∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD. 又∵OD＝OA，∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠ADO＝∠CAD，∴AC∥OD， ∵AC⊥CD，∴OD⊥CD， ∵点D在⊙O上， ∴CD是⊙O的切线． 2025版 数学 广西专版 (3)如图③，AC⊥BC于点C，BC是⊙O的直径，AB与⊙O相交于点D，EA＝EC，求证：ED是⊙O的切线； 2025版 数学 广西专版 证明：连接OD，CD，∵CB是直径， ∴∠CDB＝∠ADC＝90°，∵EA＝EC， ∴ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC. ∵OD＝CO，∴∠OCD＝∠CDO，∵AC⊥BC， ∴∠EDO＝∠ACB＝90°，即ED⊥DO，∵点D在⊙O上， ∴ED是⊙O的切线． 2025版 数学 广西专版 (4)如图④，BC是⊙O的直径，CB＝CE，BE交⊙O于点A，且∠DBE＝∠ECB.求证：DB是⊙O的切线． 2025版 数学 广西专版 证明：连接AC，∵BC是直径， ∴AB⊥AC，∠ABC＋∠ACB＝90°. ∵CB＝CE，∴∠ACB＝∠ECB. ∵∠DBE＝∠ECB，∴∠DBE＝∠ACB， ∴∠DBE＋∠ABC＝90°，∴DB⊥BC， ∵点B在⊙O上，∴DB是⊙O的切线． 2025版 数学 广西专版 【方法归纳】 当切点确定时，常连接圆心与切点，证所连半径与直线垂直 1．当图中有90°角时：①利用等角代换证得垂直；②利用平行线证得垂直；③利用三角形全等证得垂直． 2．当图中没有90°角时，需要构造：①若图中有已知直径，则利用直径所对的圆周角是90°，构造直角；②若图中有等腰三角形，则利用等腰三角形“三线合一”的性质构造直角． 2025版 数学 广西专版 考向2：切点不确定，作垂直，证半径 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC上一点，以点O为圆心，OC长为半径作圆，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，若∠ABD＝∠OAD.求证：AB为⊙O的切线． 2025版 数学 广西专版 证明：过点O作OE⊥AB于点E， ∵∠ACB＝90°，AD⊥BD，∠AOD＝∠BOC， ∴∠OAD＝∠OBC， ∵∠ABD＝∠OAD， ∴∠ABD＝∠OBC，即BD平分∠ABC， ∵OE⊥AB，∴EO＝CO.∵CO是⊙O的半径， ∴EO是⊙O的半径，∴AB为⊙O的切线． 2025版 数学 广西专版 【方法归纳】 当切点不确定，证切线时，涉及“垂直＋角平分线”的情况下，过圆心作待证切线的垂线，利用角平分线的性质定理证明即可． 2025版 数学 广西专版 突破设问二　切线的性质 考向3：证明线段数量关系 如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，连接OC与⊙O交于点D，连接AD，若D为OC的中点，求证：BC＝AD. 2025版 数学 广西专版 证明：连接BD， ∵BC为⊙O的切线，∴OB⊥BC，∠CBO＝90°， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， ∵D为OC的中点，∴CD＝OD＝BD， ∵OB＝OD，∴OB＝BD，CO＝2OB，∴AB＝CO， ∴Rt△COB≌Rt△ABD(HL)，∴BC＝AD. 2025版 数学 广西专版 【方法归纳】 证明线段相等的方法 1．若两条线段共线，则考虑用等腰三角形三线合一的性质或直角三角形斜边中线的性质解决． 2．若两条线段不共线，考虑将这两条线段转化到同一个三角形中，利用等腰三角形或等边三角形的性质求证． 3．若两条线段分别在两个三角形中，可考虑证明三角形全等解决． 4．若所证两条线段平行，可考虑利用特殊四边形对边相等的性质求证． 2025版 数学 广西专版 证明两条线段平行的方法 通过等角(同角)的余角(补角)相等及等边对等角等其他角度间的等量代换，得到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，从而证明两线段平行． 2025版 数学 广西专版 考向4：证明线段位置关系 如图，AB是⊙O的直径，AD，BC是⊙O的两条弦，∠ABC＝2∠A，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E.求证：CE⊥DE. 2025版 数学 广西专版 证明：连接OD，∵AO＝DO，∴∠A＝∠ADO， ∴∠BOD＝∠A＋∠ADO＝2∠A， 又∵∠ABC＝2∠A， ∴∠ABC＝∠DOB，∴OD∥CE， ∵DE是⊙O的切线， ∴OD⊥DE，∴CE⊥DE. 2025版 数学 广西专版 证明两条线段垂直的方法 要证两条线段垂直，即要证两条线段所夹的角为90°.常见的方法有两种： 1．当两条线段中的一条与第三条线段垂直时，只需证明另一条线段与第三条线段平行． 2．设法将两条线段构成的夹角放在一个三角形中，通过角度间的等量代换，证得其余两角之和为90°. 2025版 数学 广西专版 考向5：证明角度数量关系 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AC上一点，以CE为直径作⊙O，⊙O恰好与AB相切于点D，连接CD.求证：∠B＝2∠ACD. 2025版 数学 广西专版 证明：连接OD， ∵AB为⊙O的切线， ∴OD⊥AB，即∠ODA＝90°， ∴∠A＋∠AOD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B＋∠A＝90°，∴∠AOD＝∠B， ∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD， ∴∠AOD＝∠ODC＋∠OCD＝2∠ACD， ∴∠B＝2∠ACD. 2025版 数学 广西专版 圆中求角度或证明角度数量关系的方法 1．利用“圆周角定理”“弦、弧、圆心角”关系进行角度转化． 2．根据切线性质构造直角三角形，由两锐角之和等于90°进行角度转化求解． 3．根据两条半径构成的三角形为等腰三角形进行角度转化． 2025版 数学 广西专版 突破设问三　求线段长 方法一：利用勾股定理 如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上，若BC＝2，CD＝3，求⊙O的半径． 2025版 数学 广西专版 解：连接OD， ∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°， 设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r， OC＝OB＋BC＝r＋2， ∵在Rt△ODC中，OC2＝OD2＋CD2， ∴(2＋r)2＝r2＋32，解得r＝， 即⊙O的半径为. 2025版 数学 广西专版 【方法归纳】 在圆中求线段长的方法 1．若题干中作辅助线后有直角三角形存在，常运用勾股定理． 2．若题干中含有特殊角(如30°，45°，60°等角度)或出现三角函数sin， cos，tan等时，一般考虑用三角函数解题． 3．题目中无直角三角形时，一般考虑利用三角形相似计算线段长度． 4．运用等面积公式法也可求点到直线的距离． 2025版 数学 广西专版 方法二：利用三角函数 如图，OA，OC都是⊙O的半径，点B在OC的延长线上，BA与⊙O相切于点A，连接AC，若AC＝4，tan∠BAC＝，求⊙O的直径． 2025版 数学 广西专版 解：延长AO交⊙O于点D，连接CD， ∵BA与⊙O相切，∴DA⊥AB， ∴∠DAC＋∠BAC＝90°. ∵AD为⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°，∴∠DAC＋∠D＝90°， ∴∠D＝∠BAC，∴tan D＝tan∠BAC＝， ∵AC＝4，∴CD＝12. 在Rt△ACD中，AD＝＝4， 即⊙O的直径为4. 2025版 数学 广西专版 方法三：利用三角形相似 如图，在△ABC中，∠A＝30°，O是AB上一点，以点O为圆心，以OB长为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD，若BD平分∠ABC，AD＝2，求线段CD的长． 2025版 数学 广西专版 解：连接OD， ∵⊙O与AC相切于点D，∴∠ADO＝90°. ∵∠A＝30°，∴OD＝AD•tan A＝2×＝2，OA＝2OD＝4， ∴AB＝OA＋OB＝6， ∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD， ∵∠OBD＝∠ODB， ∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∴△ADO∽△ACB， ∴＝，即 ＝，解得AC＝3， ∴CD＝AC－AD＝3－2＝. 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 【考情分析】广西近6年主要考查切线的判定与性质．在选择题、填空题中常运用切线性质进行相关计算，涉及求角度或线段长；在解答题中常结合相似三角形、锐角三角函数、全等三角形的性质求线段、角度或判定四边形的形状． 2025版 数学 广西专版 命题点1：点与圆、直线与圆的位置关系(近6年考查1次) 1．(2016•梧州第6题3分)已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 C 2025版 数学 广西专版 命题点2：切线判定和性质的有关证明和计算(近6年考查3次) 2．(2023•桂林第10题3分)如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是( ) A．60° B．65° C．70° D．75° B 2025版 数学 广西专版 3．(2024•广西第24题10分)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC.D，E分别是BC，AC的中点，连接DE并延长至点F，使DE＝EF，连接AF. (1)求证：四边形ABDF是平行四边形； (2)求证：AF与⊙O相切； 2025版 数学 广西专版 (1)证明：∵D，E分别是BC，AC的中点， ∴BD＝CD，AE＝CE， 又∵∠AEF＝∠CED，DE＝EF， ∴△AEF≌△CED(SAS)， ∴AF＝CD，∠F＝∠EDC， ∴AF＝BD，AF∥BD， ∴四边形ABDF是平行四边形． 2025版 数学 广西专版 (2)证明：连接AD， ∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC， ∴AD过圆心O，∵AF∥BD，∴AF⊥AD， ∵OA为半径，∴AF与⊙O相切． 2025版 数学 广西专版 (3)若tan∠BAC＝，BC＝12，求⊙O的半径． 解：过点B作BQ⊥AC于点Q，连接OB， ∵tan∠BAC＝，∴＝， 设BQ＝3x，则AQ＝4x， ∴AC＝AB＝＝5x， ∴CQ＝AC－AQ＝x， ∴BC＝＝x， ∵BC＝12，∴x＝，∴AB＝5x＝6， 2025版 数学 广西专版 ∵D为BC中点，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝6，∴AD＝＝18， 设⊙O半径为r，则OD＝18－r， ∴r2＝(18－r)2＋62，解得r＝10， ∴⊙O的半径为10. 2025版 数学 广西专版 4．(2024•福建)如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为AB的中点，则∠ACM的度数为( ) A．18° B．30° C．36° D．72° A 2025版 数学 广西专版 5．(2023•聊城)如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA.若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为( ) A．15° B．17.5° C．20° D．25° C 【解析】连接OC，根据点I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠CAI＝70°，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC＝140°，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 $$