第二节　矩　形 课件 2025年九年级中考数学人教版一轮复习（广西）

第二节　矩　形 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 【知识拓展】矩形中的特殊三角形与面积问题 图形 结论 一对全等的直角三角形；S1＝S2 两对全等的等腰三角形； S1＝S2＝S3＝S4 △AOB和△DOC是一对全等的等边三角形 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. (1)若四边形ABCD为平行四边形， (请添加一个条件)，则四边形ABCD是矩形； 【判定依据】 ． (2)若四边形ABCD为一般四边形， (请添加一个条件)，则四边形ABCD是矩形； 【判定依据】 ． AC＝BD(答案不唯一) 对角线相等的平行四边形是矩形 ∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° 有三个角是直角的四边形是矩形 2025版 数学 广西专版 2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O. (1)若AB＝2，AC＝4，则BC＝ ，∠AOB＝ ； (2)若AC＝4，则OC＝ ，BD＝ ； (3)若∠AOB＝60°，AB＝2，则AC＝ ； (4)若AC＝6，AB＝3，P是边AD上的动点，PG⊥AC于点G，PH⊥BD于 点H，则PG＋PH＝ . 2 60° 2 4 4 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 重难点：矩形性质的相关证明与计算 如图①，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB. (1)求证：BD⊥EC； 【思路点拨】证明△AEF≌△ADB(SAS)，则∠AEF＝∠ADB，∠GEB＋ ∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝90°，即可求解． 2025版 数学 广西专版 证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上， ∴∠EAF＝∠DAB＝90°， 又∵AE＝AD，AF＝AB， ∴△AEF≌△ADB(SAS)， ∴∠AEF＝∠ADB， ∴∠GEB＋∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝90°， 即∠EGB＝90°，∴BD⊥EC. 2025版 数学 广西专版 (2)若AE＝2，求AB的长； 【思路点拨】证明△AEF∽△DCF，则＝，设AB＝a(a＞0)，则有22－2a＝a2，即可求解． 2025版 数学 广西专版 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AE∥CD，∴△AEF∽△DCF， ∴＝，即AE•DF＝AF•DC， 设AF＝AB＝a(a＞0)，则有2×(2－a)＝a2， 解得a＝－1＋或－1－(舍去)， ∴AB＝－1＋. 2025版 数学 广西专版 (3)求证：＋＝； 证明：由(1)知，在Rt△BCE中，BG⊥EC， ∴BE•BC＝CE•BG， ∴＝，∴＝. 在Rt△BCE中，CE2＝BE2＋BC2， ∴＝＋. ∵BC＝AD＝AE，∴＋＝. 2025版 数学 广西专版 (4)如图②，连接AG，请探究线段EG，AG，DG之间的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】在线段EG上取点P，使得EP＝DG，则△AEP≌△ADG(SAS)，△PAG为等腰直角三角形，故EG－DG＝EG－EP＝PG＝AG. 2025版 数学 广西专版 解：EG－DG＝AG. 理由：在EG上取点P，使得EP＝DG， 在△AEP与△ADG中， AE＝AD， ∠AEP＝∠ADG， EP＝DG， ∴△AEP≌△ADG(SAS)，∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG， ∴∠PAG＝∠PAD＋∠DAG＝∠PAD＋∠EAP ＝∠DAE＝90°， ∴△PAG为等腰直角三角形， ∴EG－DG＝EG－EP＝PG＝AG. 2025版 数学 广西专版 方法归纳：第(4)小题关键是根据图形特征，作辅助线构造手拉手全等模型探求几何线段之间的关系．(注：方法探究详见P94微专题(八)中“模型4　‘手拉手’全等模型”) 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 命题点1：矩形的性质(近6年考查3次) 1．(2023•贺州第16题3分)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别为BC，DA的中点，以CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，连接GE，GF.若BC＝2GC，则∠EGF＝ . 45° 2025版 数学 广西专版 2．(2023•贵港第17题3分)如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB＝，则tan∠DEC＝ . 【解析】过点C作CF⊥BD于点F，易证△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，BE＝FD，设AB＝a，则AD＝2a，∴BD＝a，由等面积法得AE＝CF＝a，∴BE＝FD＝a，∴EF＝BD－2BE＝a，∴tan∠DEC＝＝. 2025版 数学 广西专版 3．(2017•南宁第22题8分)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF. (1)求证：AE＝CF； 2025版 数学 广西专版 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°， ∵BE＝DF，∴OE＝OF， 在△AOE和△COF中， OA＝OC， ∠AOE＝∠COF， OE＝OF， ∴△AOE≌△COF(SAS)， ∴AE＝CF. 2025版 数学 广西专版 (2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积． 解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB， ∵∠AOB＝∠COD＝60°， ∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝6， ∴AC＝2OA＝12， 在Rt△ABC中，BC＝＝6， ∴S矩形ABCD＝AB•BC＝6×6＝36. 2025版 数学 广西专版 命题点2：矩形的判定(近6年考查2次) 4．(2023•北部湾经济区Ⅱ卷第23题8分)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF＝DE.连接AF, BF，BE. (1)求证：△ADE≌△BDF； (2)若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE为矩形． 2025版 数学 广西专版 证明：(1)∵D是AB中点， ∴AD＝BD， 在△ADE和△BDF中， AD＝BD， ∠ADE＝∠BDF， DE＝DF， ∴△ADE≌△BDF(SAS)． 2025版 数学 广西专版 (2)∵△ADE≌△BDF， ∴AD＝BD，DE＝DF， ∴四边形AFBE是平行四边形， 在△ADE与△BDF中，D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE， ∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴DB＝DE，∴EF＝AB. ∴四边形AFBE是矩形． 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 $$