第3章 3.1.3 简单的分段函数-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第3章 函数的概念与性质 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 3．1．3　简单的分段函数 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 不同的解析式 分段函数 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 合作探究 素能提升 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 随堂演练 对点落实 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 课 时 作 业(十六) 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 谢谢观看！ 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 [课标解读]　1．理解分段函数的概念．2．会求分段函数的函数值．3．能画简单的分段函数的图象． 知识点　分段函数 1．分段函数 一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由____________给出，这种函数叫作________． 2．分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象． [点拨]　(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系． (2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围． (3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集．分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式． (4)分段函数的值域是各段函数在相应自变量的取值范围内值域的并集． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤1,－x＋3，x>0))是分段函数．(　　) (2)分段函数在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数．(　　) (3)分段函数各段上的函数值集合的交集为∅．(　　) (4)分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集．(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(多选)下列给出的函数是分段函数的是(　　) A．f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，1≤x≤5,2x，x＜1)) B．f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥4,x2，x≤4)) C．f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3，1≤x≤5,x2，x≤1)) D．f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋3，x＜0,x－1，x≥5)) AD　[对于B，取x＝4，得f(4)＝5或16，对于C，取x＝1，f(1)＝5或1，所以BC都不合题意．] 3．f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3，x＞10，,f（f（x＋5）），x≤10，))则f(5)的值是(　　) A．24 B．21 C．18 D．16 A　[f(5)＝f(f(10))， f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝18＋3＝21， ∴f(5)＝f(21)＝21＋3＝24．故选A．] 4．某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0．5元，如果超过100千米，超过部分按每千米0．4元定价，则客运票价y(元)与行程x(千米)之间的函数关系式是________________________________． 解析：　根据行程是否大于100千米来求出解析式． 答案：　y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5x，0≤x≤100，,10＋0.4x，x>100)) 探究点一　分段函数的求值问题 (2021·重庆市巴蜀中学检测)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)，x>1，,x2＋1，－1≤x≤1，,2x＋3，x<－1.)) (1)求f(f(f(－2)))的值； (2)若f(a)＝eq \f(3,2)，求a． 解析：　(1)∵－2<－1， ∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1， ∴f(f(－2))＝f(－1)＝2， ∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)． (2)当a>1时，f(a)＝1＋eq \f(1,a)＝eq \f(3,2)，∴a＝2>1； 当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝eq \f(3,2)，∴a＝±eq \f(\r(2),2)∈[－1，1]； 当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝eq \f(3,2)，∴a＝－eq \f(3,4)>－1(舍去)． 综上，a＝2或a＝±eq \f(\r(2),2)． eq \a\vs4\al(方法技巧) 1．分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知函数值求字母取值(范围)的步骤 (1)先将字母分情况代入解析式，列出方程(不等式)． (2)解方程(不等式)求字母的值(范围)，并检验是否符合字母的取值范围． (3)符合题意的所有值(范围的并集)即为所求．　　 即时练1．已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋4，x≤0,x2－2x，0<x≤4.,－x＋2，x>4)) (1)求f(f(f(5)))的值； (2)若f(a)＝－1，求实数a的值． 解析：　(1)∵5>4，∴f(5)＝－5＋2＝－3． ∵－3<0，∴f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1． 又0<1<4，∴f(f(f(5)))＝f(1)＝1－2＝－1． (2)当a＋4＝－1时，a＝－5<0， ∴a＝－5符合题意； 当a2－2a＝－1时，a＝1， ∵0<1<4，∴a＝1符合题意； 当－a＋2＝－1时，a＝3<4， ∴a＝3不符合题意． ∴a＝－5或a＝1． 探究点二　分段函数的定义域与值域 (1)已知函数f(x)＝eq \f(|x|,x)，则其定义域为(　　) A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) (2)函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋1，0<x<1，,0，x＝0，,x2－1，－1<x<0))的定义域为________________，值域为________________． 解析：　(1)要使f(x)有意义，需x≠0， 故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)由已知得，f(x)的定义域为{x|0<x<1}∪{0}∪{x|－1<x<0}＝{x|－1<x<1}，即(－1，1)．又0<x<1时，0<－x2＋1<1，－1<x<0时，－1<x2－1<0，x＝0时，f(x)＝0，故值域为(－1，0)∪{0}∪(0，1)＝(－1，1)． 答案：　(1)D　(2)(－1，1)　(－1，1) eq \a\vs4\al(方法技巧) 1．分段函数定义域、值域的求法 (1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集． 2．含绝对值的函数的定义域和值域通常要转化为分段函数来解决．　　 即时练2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,1，x>1或x<－1，))则函数f(x)的定义域为________________，值域为________________． 解析：　由已知得，f(x)的定义域为[－1，1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R，又x∈[－1，1]时，x2∈[0，1]，故函数的值域为[0，1]． 答案：　R　[0，1] 探究点三　分段函数的图象及应用 已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,1，x<－1或x>1.)) (1)画出函数f(x)的图象； (2)求f(x)的定义域和值域． 解析：　(1)作出f(x)的图象，如图所示． (2)观察函数图象可知，函数f(x)的定义域为R，值域为[0，1]． eq \a\vs4\al(方法技巧) 分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意分界点处点的虚实，保证不重不漏．　　 即时练3．设x∈R，则函数y＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))－3eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))的值域为________________． 解析：　当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当0≤x＜1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x＜0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2． 故y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x－2，x≥1，,－5x＋2，0≤x＜1，,x＋2，x＜0.)) 根据函数解析式作出函数图象，如图所示．由图象可以看出，函数的值域为(－∞，2]． 探究点四　分段函数的实际应用 某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时． (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x)与g(x)的解析式； (2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？ 解析：　(1)由题意f(x)＝6x，x∈[12，30]， g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(90，x∈[12，20]，,2x＋50，x∈（20，30].)) (2)①12≤x≤20时，令6x＝90，解得：x＝15， 即当12≤x<15时，f(x)<g(x)， 当x＝15时，f(x)＝g(x)， 当15<x≤20时，f(x)>g(x)． ②当20<x≤30时，f(x)>g(x)， 故当12≤x<15时，选A俱乐部合算， 当x＝15时，两家俱乐部一样合算， 当15<x≤30时，选B俱乐部合算． eq \a\vs4\al(方法技巧) 分段函数的实际应用 (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．　　 (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式． 即时练4．某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(min)与相应话费y(元)之间的函数图象如图所示． (1)当月通话时间为50 min时，应交话费多少元？ (2)求y与x之间的函数关系式． 解析：　(1)由题意，知当0≤x≤100时，可设函数的解析式为y＝k1x，由函数图象过点(100，40)，得100k1＝40，解得k1＝eq \f(2,5)， 所以当0≤x≤100时，y＝eq \f(2,5)x． 当月通话时间为50 min时，0<50<100， 所以应交话费y＝eq \f(2,5)×50＝20(元)． (2)当x≥100时，设y与x之间的函数关系式为y＝k2x＋b，由题图，知当x＝100时，y＝40；当x＝200时，y＝60， 则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40＝100k2＋b，,60＝200k2＋b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝\f(1,5)，,b＝20，)) 所以当x>100时，y＝eq \f(1,5)x＋20， 故所求函数关系式为y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x，0≤x≤100，,\f(1,5)x＋20，x>100.)) 1．(2021·辽宁省实验中学高一期中)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x>0，,－x2＋1，x≤0，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))))＝(　　) A．eq \f(25,16) B．eq \f(7,16) C．－eq \f(9,16) D．eq \f(9,16) A　[由x≤0可知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋1＝eq \f(3,4)>0，结合x>0的解析式可知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up12(2)＋1＝eq \f(25,16)．故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))))＝eq \f(25,16)．] 2．某单位为鼓励职工节约用水，规定：每位职工每月用水量不超过10 m3的，按t元/m3(t>0)收费；用水量超过10 m3的，超过部分按2t元/m3收费．某职工每月缴水费16t元，则该职工这个月实际用水量为(　　) A．13 m3 B．14 m3 C．18 m3 D．26 m3 A　[该职工每月应缴水费y(单位：元)与实际用水量x(单位：m3)满足的关系式为y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tx，0≤x≤10，,2tx－10t，x>10.))由y＝16t，可知x>10．令2tx－10t＝16t，解得x＝13．] 3．(2021·甘肃省天水市秦安县第一中学高一期中)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x<4，,x－1，x≥4，))则f(f(3))＝____________． 解析：　因为3<4，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))＝9，因为9≥4，所以f(f(3))＝f(9)＝9－1＝8． 答案：　8 4．求函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋4x，x≤－2，,\f(x,2)，x>－2))的值域． 解析：　当x≤－2时，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4， ∴y≥－4； 当x>－2时，y＝eq \f(x,2)，∴y>eq \f(－2,2)＝－1． ∴函数f(x)的值域是[－4，＋∞)． $$