第2章 2.1.2 基本不等式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第2章 一元二次函数、方程和不等式 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 2．1．2　基本不等式 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 2ab a＝b 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 合作探究 素能提升 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 随堂演练 对点落实 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 课 时 作 业(九) 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 谢谢观看！ 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 [课标解读]　1．掌握基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a>0，b>0)．2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 知识点　基本不等式 定理：对任意a，b∈R，必有a2＋b2≥______，当且仅当a＝b时等号成立． 推论：对任意a，b≥0，必有eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，当且仅当______时等号成立． 一般地，对于正数a，b，我们把______称为a，b的算术平均数，____称为a，b的几何平均数． 上述定理和推论中的不等式通常称为基本不等式． eq \f(a＋b,2) eq \r(ab) [点拨]　不等式a2＋b2≥2ab与eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的比较 (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)； (2)两个不等式a2＋b2≥2ab和eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab．(　　) (2)当a>0，b>0时，a＋b≥2eq \r(ab)．(　　) (3)当a>0，b>0时，ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)．(　　) (4)当n∈N＋时，n＋eq \f(2,n)>2eq \r(2)．(　　) 答案：　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．a2＋b2≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0 B．a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R C．a＋b≥2eq \r(ab)成立的条件是a≥0，b≥0 D．a＋b≥2eq \r(ab)成立的条件是ab>0 BC　[根据基本不等式成立的条件可知只有BC正确，故选BC．] 3．下列命题中正确的是(　　) A．若a，b∈R，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2 B．若x>0，则x＋eq \f(1,x)>2 C．若x<0，则x＋eq \f(4,x)≥－2 eq \r(x·\f(4,x))＝－4 D．若x∈R，则2x2＋eq \f(1,2x2)≥2 eq \r(2x2·\f(1,2x2))＝2 D　[A选项必须保证a，b同号，不等式才成立；B选项应含有等号，即若x>0，则x＋eq \f(1,x)≥2；C选项中，若x<0，则－x>0，－eq \f(4,x)>0，则－x－eq \f(4,x)≥2 eq \r(（－x）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x))))＝4，则x＋eq \f(4,x)≤－4；D选项正确．故选D．] 4．设a，b为非零实数，给出不等式： ①eq \f(a2＋b2,2)≥ab；②eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)； ③eq \f(a＋b,2)≥eq \f(ab,a＋b)；④eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2． 其中恒成立的不等式是________________．(填序号) 解析：　由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；由eq \f(a2＋b2,2)＝eq \f(2（a2＋b2）,4)＝eq \f(（a2＋b2）＋（a2＋b2）,4)≥eq \f(a2＋b2＋2ab,4)＝eq \f(（a＋b）2,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)，可知②正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为eq \f(a＋b,2)＝－1，右边为eq \f(ab,a＋b)＝－eq \f(1,2)，可知③不正确；当a＝1，b＝－1时，可知④不正确． 答案：　①② 探究点一　对基本不等式的理解 下列命题正确的是(　　) A．若x≠0，则x＋eq \f(4,x)≥4 B．若a，b∈R，且ab>0，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 C．eq \r(x2＋2)＋eq \f(1,\r(x2＋2))的最小值为2 D．y＝2－3x－eq \f(4,x)≥2－4eq \r(3)(x>0) B　[A选项，只有当x>0时，不等式才成立，A错误；B选项，因为ab>0，所以eq \f(b,a)>0，eq \f(a,b)>0，由基本不等式知B正确；C选项，若最小值为2，需(eq \r(x2＋2))2＝1，得x2＝－1，无实数解，C错误；D选项，x>0时，y＝2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(4,x)))≤2－4eq \r(3)，D错误．] eq \a\vs4\al(方法技巧) 运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2eq \r(ab)成立的条件是a≥0，b≥0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b．　　 即时练1．在a>0，b>0的条件下，给出三个结论：①eq \f(2ab,a＋b)≤eq \f(a＋b,2)；②eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))；③eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)≥a＋b．其中结论正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 D　[依题意，∵a>0，b>0，∴ eq \r(\f(a2＋b2,2))≥eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)≥eq \f(2ab,a＋b)，∴①②中的结论正确．∵eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)＝eq \f(a3＋b3,ab)＝eq \f(（a＋b）（a2－ab＋b2）,ab)＝(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)－1))≥(a＋b)(2－1)＝a＋b，当且仅当a＝b时，等号成立，∴③中的结论正确．故选D．] 探究点二　利用基本不等式直接求最值 (1)当x>0时，求eq \f(12,x)＋4x的最小值； (2)当x<0时，求eq \f(12,x)＋4x的最大值； (3)已知4x＋eq \f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值． 解析：　(1)∵x>0，∴eq \f(12,x)>0，4x>0． ∴eq \f(12,x)＋4x≥2 eq \r(\f(12,x)·4x)＝8eq \r(3)． 当且仅当eq \f(12,x)＝4x，即x＝eq \r(3)时取最小值8eq \r(3)， ∴当x>0时，eq \f(12,x)＋4x的最小值为8eq \r(3)． (2)∵x<0，∴－x>0． 则eq \f(12,－x)＋(－4x)≥2 eq \r(\f(12,－x)·（－4x）)＝8eq \r(3)， 当且仅当eq \f(12,－x)＝－4x时，即x＝－eq \r(3)时取等号． ∴eq \f(12,x)＋4x≤－8eq \r(3)． ∴当x<0时，eq \f(12,x)＋4x的最大值为－8eq \r(3)． (3)4x＋eq \f(a,x)≥2eq \r(4x·\f(a,x))＝4eq \r(a)， 当且仅当4x＝eq \f(a,x)，即a＝4x2＝36时取等号， ∴a＝36． eq \a\vs4\al(方法技巧) 应用基本不等式求最值的原则 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： (1)一正：符合基本不等式eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的前提条件，a≥0，b≥0； (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立，以上三点缺一不可．　　 即时练2．已知x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 C　[∵x>0，y>0，x＋y＝18， ∴x＋y≥2eq \r(xy)， ∴xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2))) eq \s\up12(2)＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立， ∴xy有最大值81．] 探究点三　用基本不等式证明不等式 已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,z)－1))>8． 证明：　因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1， 所以eq \f(1,x)－1＝eq \f(1－x,x)＝eq \f(y＋z,x)>eq \f(2\r(yz),x)，① eq \f(1,y)－1＝eq \f(1－y,y)＝eq \f(x＋z,y)>eq \f(2\r(xz),y)，② eq \f(1,z)－1＝eq \f(1－z,z)＝eq \f(x＋y,z)>eq \f(2\r(xy),z)，③ 又x，y，z为正数，由①×②×③， 得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,z)－1))>8． eq \a\vs4\al(方法技巧) 利用基本不等式证明不等式的注意事项 (1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有和式或积式，通过将和式转化为积式或将积式转化为和式，从而达到放缩的目的． (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到． (3)解题时要注意技巧，当不能直接利用基本不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式．　　 (4)在证明不等式的过程中，注意充分利用“1”的代换，即把常数1替换为已知的式子，然后经过整理后再利用基本不等式进行证明． 即时练3．设a，b，c都是正数，求证：eq \f(bc,a)＋eq \f(ca,b)＋eq \f(ab,c)≥a＋b＋c． 解析：　∵a，b，c都是正数， ∴eq \f(bc,a)，eq \f(ca,b)，eq \f(ab,c)也都是正数， ∴eq \f(bc,a)＋eq \f(ca,b)≥2c，eq \f(ca,b)＋eq \f(ab,c)≥2a，eq \f(bc,a)＋eq \f(ab,c)≥2b， 三式相加得2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bc,a)＋\f(ca,b)＋\f(ab,c)))≥2(a＋b＋c)， 即eq \f(bc,a)＋eq \f(ca,b)＋eq \f(ab,c)≥a＋b＋c， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 1．不等式(x－2y)＋eq \f(1,x－2y)≥2成立的前提条件为(　　) A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y B　[因为不等式成立的前提条件是各项均为正实数，所以x－2y>0，即x>2y，故选B．] 2．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是(　　) A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2eq \r(ab) C．eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)>eq \f(2,\r(ab)) D．eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 D　[对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，ab>0只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以eq \f(b,a)>0，eq \f(a,b)>0，所以eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))，即eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2恒成立．] 3．(2021·安徽合肥百花中学高一期末)已知a＋b＝4，则ab的最大值是____________________． 解析：　∵a2＋b2≥2ab， ∴(a＋b)2≥4ab，即ab≤(eq \f(a＋b,2))2， 又a＋b＝4， ∴ab≤(eq \f(a＋b,2))2＝4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立， ∴ab的最大值是4． 答案：　4 4．已知a>0，b>0，求证：a＋b＋1≥eq \r(ab) ＋eq \r(a) ＋eq \r(b) ． 证明：　因为a>0，b>0， 所以a＋b≥2eq \r(ab) ，a＋1≥2eq \r(a) ，b＋1≥2eq \r(b) ， 上面三式相加， 得2(a＋b＋1)≥2eq \r(ab) ＋2eq \r(a) ＋2eq \r(b) ， 所以a＋b＋1≥eq \r(ab) ＋eq \r(a) ＋eq \r(b) ． $$