第2章 2.1.1 等式与不等式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第2章 一元二次函数、方程和不等式 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 2．1　相等关系与不等关系 2．1．1　等式与不等式 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 > ＝ < > ＝ < 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 b>a a>c a＋c>b＋c c－b 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 a＋c>b＋d ac>bc ac<bc 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 ac>bd 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 合作探究 素能提升 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 随堂演练 对点落实 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 课 时 作 业(八) 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 谢谢观看！ 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 [课标解读]　1．梳理等式的性质．2．掌握不等式的性质． 知识点一　实数比较大小的基本事实 1．基本事实 如果a－b>0，那么a__b；如果a－b＝0，那么a__b； 如果a－b<0，那么a__b，反过来也成立． 2．这个基本事实可以表示为 a－b>0⇔a__b；a－b＝0⇔a__b；a－b<0⇔a__b． 知识点二　不等式的性质 — 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a<b⇔______ 可逆 性质2 传递性 a>b，b>c⇒______ 同向 性质3 可加性 a>b⇔______________ 可逆 推论1 移项法则 a＋b>c⇔a>______ 可逆 — 别名 性质内容 注意 推论2 同向可加性 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒______________ 同向 性质4 可乘性 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒__________；eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒__________ c的符号 — 别名 性质内容 注意 推论3 同向同正可乘性 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒__________ 同向 同正 推论4 可乘方性 a>b>0⇒__________(n∈N＋) 同正 性质5 可开方性 a>b>0⇒________ (n∈N＋) 同正 an>bn eq \r(n,a)>eq \r(n,b) — 别名 性质内容 注意 性质6 倒数法则 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,ab>0))⇒______ 同号 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,ab<0))⇒______ 异号 eq \f(1,a)<eq \f(1,b) eq \f(1,a)>eq \f(1,b) [点拨]　对不等式性质的几点说明 (1)推论1(即移项的法则)，即不等式中任何一项可以改变符号后移到不等式的另一边． (2)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”． (3)推论2(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”． (4)推论3和推论4(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a>b，则a－c>b－c．(　　) (2)eq \f(a,b)>1⇒a>b．(　　) (3)同向不等式相加和相乘的条件是一致的．(　　) (4)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>b，,c>d))⇔a＋c>b＋d．(　　) 答案：　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　) A．eq \f(a,d)>eq \f(b,c) B．eq \f(a,d)<eq \f(b,c) C．eq \f(a,c)>eq \f(b,d) D．eq \f(a,c)<eq \f(b,d) B　[因为c<d<0，所以－c>－d>0，所以eq \f(1,－d)>eq \f(1,－c)>0． 又a>b>0，所以eq \f(a,－d)>eq \f(b,－c)，所以eq \f(a,d)<eq \f(b,c)．] 3．设实数x，y满足3<x<4，1<y<2，则M＝2x－y的取值范围是(　　) A．4<M<6 B．4<M<7 C．5<M<6 D．5<M<7 B　[由已知得6<2x<8，－2<－y<－1， 故4<2x－y<7．故选B．] 4．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为_________． 解析：　∵m3－(m2－m＋1) ＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1) ＝(m－1)(m2＋1)． 又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0． ∴m3－(m2－m＋1)>0， 即m3>m2－m＋1． 答案：　m3>m2－m＋1 探究点一　代数式的大小比较 (1)比较3x3与3x2－x＋1的大小； (2)已知a>0，试比较a与eq \f(1,a)的大小． 解析：　(1)因为3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．当x<1时，有x－1<0，而3x2＋1>0，所以(3x2＋1)(x－1)<0，所以3x3<3x2－x＋1；当x＝1时，(3x2＋1)(x－1)＝0，所以3x3＝3x2－x＋1；当x>1时，(3x2＋1)(x－1)>0，所以3x3>3x2－x＋1． 综上，当x<1时，3x3≤3x2－x＋1；当x＝1时，3x3＝3x2－x＋1；当x>1时，3x3>3x2－x＋1． (2)∵a－eq \f(1,a)＝eq \f(a2－1,a)＝eq \f(（a－1）（a＋1）,a)， 又∵a>0，∴当a>1时，eq \f(（a－1）（a＋1）,a)>0，有a>eq \f(1,a)； 当a＝1时，eq \f(（a－1）（a＋1）,a)＝0，有a＝eq \f(1,a)； 当0<a<1时，eq \f(（a－1）（a＋1）,a)<0，有a<eq \f(1,a)． 综上，当a>1时，a>eq \f(1,a)；当a＝1时，a＝eq \f(1,a)；当0<a<1时，a<eq \f(1,a)． eq \a\vs4\al(方法技巧) 作差法比较大小的步骤 [注意]　上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等． 即时练1．(2021·甘肃省张掖市第一学期期末)若a＝(x＋1)(x＋3)，b＝2(x＋2)2，则下列结论正确的是(　　 ) A．a>b B．a<b C．a≥b D．a，b大小不确定 B　[因为b－a＝2(x＋2)2－(x＋1)(x＋3)＝2x2＋8x＋8－(x2＋4x＋3)＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0． 所以a<b．故选B．] 探究点二　不等式的性质 (1)已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　) A．a>b⇒ac2>bc2 B．eq \f(a,c)>eq \f(b,c)⇒a>b C．eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,ab<0))⇒eq \f(1,a)>eq \f(1,b) D．eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(ab>0,a>b))⇒eq \f(1,a)>eq \f(1,b) (2)若c>a>b>0，求证：eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b)． 解析：　(1)当c＝0时，A不成立；当c<0时，B不成立；当ab<0时，a>b⇒eq \f(a,ab)<eq \f(b,ab)，即eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，C成立；同理可证D不成立． (2)证明：因为a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b． 因为c>a，所以c－a>0．所以0<c－a<c－b． 上式两边同乘eq \f(1,（c－a）（c－b）)，得eq \f(1,c－a)>eq \f(1,c－b)>0． 又因为a>b>0，所以eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b)． 答案：　(1)C eq \a\vs4\al(方法技巧) 利用不等式的性质判断正误的2种方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说明错误的只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．　　 即时练2．已知a<0<b，则下列不等式恒成立的是(　　) A．a＋b<0 B．eq \f(a,b)<1 C．eq \f(b,a)>1 D．eq \f(1,a)>eq \f(1,b) B　[因为a<0<b，所以eq \f(a,b)<0，所以eq \f(a,b)<1．故选B．] 即时练3．若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：eq \f(e,（a－c）2)>eq \f(e,（b－d）2)． 证明：　∵c<d<0，∴－c>－d>0． 又a>b>0，∴a－c>b－d>0， 则(a－c)2>(b－d)2>0，两边同乘eq \f(1,（a－c）2（b－d）2)， 得0<eq \f(1,（a－c）2)<eq \f(1,（b－d）2)． 又e<0，∴eq \f(e,（a－c）2)>eq \f(e,（b－d）2)． 探究点三　利用不等式性质求代数式的取值范围 (1)已知1<a<4，2<b<8，试求2a＋3b与a－b的取值范围； (2)已知1<a<4，2<b<8，求eq \f(a,b)的取值范围； (3)已知－6<a<8，2<b<3，求eq \f(a,b)的取值范围． 解析：　(1)∵1<a<4，2<b<8，∴2<2a<8，6<3b<24，∴8<2a＋3b<32． ∵2<b<8，∴－8<－b<－2． 又1<a<4， ∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)， 即－7<a－b<2． ∴2a＋3b的取值范围是8<2a＋3b<32，a－b的取值范围是－7<a－b<2． (2)∵2<b<8，∴eq \f(1,8)<eq \f(1,b)<eq \f(1,2)． 又1<a<4，∴1×eq \f(1,8)<a×eq \f(1,b)<4×eq \f(1,2)，即eq \f(1,8)<eq \f(a,b)<2． ∴eq \f(a,b)的取值范围是eq \f(1,8)<eq \f(a,b)<2． (3)∵2<b<3，∴eq \f(1,3)<eq \f(1,b)<eq \f(1,2)． ①当0≤a<8时，0≤eq \f(a,b)<4； ②当－6<a<0时，－3<eq \f(a,b)<0． 由①②得－3<eq \f(a,b)<4， 即eq \f(a,b)的取值范围是－3<eq \f(a,b)<4． eq \a\vs4\al(方法技巧) 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．　　 即时练4．已知实数x，y满足：1<x<2<y<3． (1)求xy的取值范围； (2)求x－2y的取值范围． 解析：　(1)∵1<x<2<y<3，∴1<x<2，2<y<3，则2<xy<6，即xy的取值范围是2<xy<6． (2)由(1)知1<x<2，2<y<3，从而－6<－2y<－4，则－5<x－2y<－2，即x－2y的取值范围是－5<x－2y<－2． 1．若x∈R，y∈R，则(　　) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1 A　[因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故选A．] 2．(多选)(2021·广东深圳高一期末)已知a>b>0，c>d>0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a＋c>b＋d B．a－c>b－d C．ac>bd D．eq \f(a,d)>eq \f(b,c) ACD　[对A，若a>b>0，c>d>0，则a＋c>b＋d，故A正确； 对B，若a>b>0，c>d>0，如a＝5，b＝3，c＝4，d＝2，则a－c＝b－d，故B错误； 对C，若a>b>0，c>d>0，则ac>bd，故C正确； 对D，若a>b>0，c>d>0，则eq \f(1,d)>eq \f(1,c)>0，则eq \f(a,d)>eq \f(b,c)，故D正确．故选ACD．] 3．给出四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出eq \f(1,a)<eq \f(1,b)成立的是________________(填序号)． 解析：　eq \f(1,a)<eq \f(1,b)⇔eq \f(b－a,ab)<0，所以①②④能使它成立． 答案：　①②④ 4．已知2<x<3，2<y<3．分别求 (1)z1＝2x＋y的取值范围； (2)z2＝x－y的取值范围； (3)z3＝xy的取值范围； (4)z4＝eq \f(x,y)的取值范围． 解析：　(1)∵2<x<3，2<y<3，∴4<2x<6，∴6<2x＋y<9，故z1＝2x＋y的取值范围为{z1|6<z1<9}． (2)∵2<x<3，2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－1<x－y<1，故z2＝x－y的取值范围为{z2|－1<z2<1}． (3)∵2<x<3，2<y<3，∴4<xy<9，故z3＝xy的取值范围为{z3|4<z3<9}． (4)∵2<x<3，2<y<3，∴eq \f(1,3)<eq \f(1,y)<eq \f(1,2)， ∴eq \f(2,3)<eq \f(x,y)<eq \f(3,2)， 故z4＝eq \f(x,y)的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(z4|\f(2,3)<z4<\f(3,2)))． $$