第1章 1.2.2 充分条件和必要条件-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第1章 集合与逻辑 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 1．2　常用逻辑用语 1．2．1　命题 1．2．2　充分条件和必要条件 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 真命题 假命题 p的否定 ¬p 非p 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 p⇏q 逆命题 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 ⇒ ⇏ 充分 必要 充分 必要 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 p⇔q 充分必要 充要 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 合作探究 素能提升 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 随堂演练 对点落实 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 课 时 作 业(五) 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 谢谢观看！ 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 [课标解读]　1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．3．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 知识点一　命题 1．对于某些语句可以作出判断，这种判断可能成立，也可能不成立，两者必居其一且仅居其一的陈述句叫作命题，成立的命题叫作______，不成立的命题叫作______． 2．如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，叫作________，记作____，读作“____”． 3．命题都具有“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论． 当命题“若p，则q”为真，则记作p⇒q， 读作“p推出q”． 当命题“若p，则q”为假，则记作______， 读作“p推不出q”． 命题条件和结论互换了位置，这时称一个是另一个的______． [点拨]　因为p与¬p一真一假，即p与¬p真假相对，故判断它们的真假时，可只判断一者的真假，便知另一者的真假． 知识点二　充分条件与必要条件 1．定义 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p__q p__q 条件关系 p是q的____条件 q是p的____条件 p不是q的____条件 q不是p的____条件 2．本质：当命题p⇒q是真命题时，条件p与结论q之间的逻辑称谓． [点拨]　对充分条件与必要条件的理解 (1)p是q的充分条件，是指以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着由条件p只能推出结论q．一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论是不唯一的． (2)q是p的必要条件或p的必要条件是q． 显然，“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同． 知识点三　充要条件 1．定义 命题真假 “若p，则q”和它的逆命题都是真命题 推出关系 既有p⇒q，又有q⇒p，记作______ 条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件 名称 p是q的________条件，简称为____条件 2．本质：当原命题、逆命题都是真命题时，命题的条件和结论互为充要条件，是等价的． [点拨]　对充要条件的理解 (1)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”． (2)要判断p是否为q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p．若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形相似是三角形全等的必要条件．(　　 ) (2)“xy>0”是“x，y都大于0”成立的充分条件．(　　 ) (3)已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的充要条件．(　　 ) (4)x＝0的充分条件是(2x－1)x＝0．(　　 ) 答案：　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知命题p：x>1；q：x>2，则p是q的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分又不必要条件 D．以上答案均不正确 B　[由x>1推不出x>2，所以p不是q的充分条件；由x>2能推出x>1，所以p是q的必要条件．故选B．] 3．在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是(　　) A．四边形是平行四边形且对角线相等 B．四边形两组对边相等 C．四边形的对角线互相平分 D．四边形的对角线垂直 A　[因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以“四边形是平行四边形且对角线相等”是“四边形是矩形”的充分条件．] 4．已知集合A＝{2，a}，B＝{2，3，4}，则A⊆B的充要条件是________________． 解析：　若A⊆B，则a＝3或4；若a＝3或4，则A＝{2，3}或A＝{2，4}，所以A⊆B，所以A⊆B的充要条件是“a＝3或4”． 答案：　3或4 探究点一　判断命题的真假 判断下列命题的真假，并说明理由． (1)如果学好了数学，那么就会使用电脑； (2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0； (3)正方形既是矩形又是菱形； (4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数． 解析：　(1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，无法推出结论，故为假命题． (2)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0． (3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形． (4)是真命题， 令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)， 则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1， 显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数， 故ab是奇数． eq \a\vs4\al(方法技巧) 判断命题真假的策略 (1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证． (2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可．　　 即时练1．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d； (2)若x∈N，则x3>x2成立； (3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根； (4)存在一个三角形没有外接圆． 解析：　(1)假命题，反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2． (2)假命题，反例：当x＝0时，x3>x2不成立． (3)真命题，因为m>1⇒Δ＝4－4m<0，所以方程x2－2x＋m＝0无实数根． (4)假命题，因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆． 探究点二　充分条件的判断 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a∈Q，则a∈R； (2)若a<b，则eq \f(a,b)<1； (3)若x>1，则x2>1； (4)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3； (5)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC； (6)已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0． 解析：　(1)由于QR，所以p⇒q， 所以p是q的充分条件． (2)由于a<b，当b<0时，eq \f(a,b)>1；当b>0时，eq \f(a,b)<1， 因此p⇏q，所以p不是q的充分条件． (3)由x>1可以推出x2>1．因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此p⇏q，所以p不是q的充分条件． (5)由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B，则BC>AC．因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (6)因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0， 由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p⇒q， 所以p是q的充分条件． eq \a\vs4\al(方法技巧) 充分条件的两种判断方法 (1)定义法 (2)命题判断方法 如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件．　　 即时练2．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a<2b，则eq \f(a,2b)<1． (2)若x，y∈R，|x|＝|y|，则x2＝y2． (3)若(a＋2)(a＋3)＝0，则a＝－3． (4)若四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD是菱形． 解析：　(1)由于a<2b，当b<0时，eq \f(a,2b)>1； 当b>0时，eq \f(a,2b)<1， 因此p⇏q，所以p不是q的充分条件． (2)若|x|＝|y|，则|x|2＝|y|2，故x2＝y2，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (3)由(a＋2)(a＋3)＝0可以推出a＝－2或a＝－3，不一定有a＝－3，因此p⇏q，所以p不是q的充分条件． (4)由菱形和正方形的定义可知，所有的正方形都是菱形，p⇒q，所以p是q的充分条件． 探究点三　必要条件的判断 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形； (2)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形． 解析：　(1)直角三角形不一定是等腰三角形，因此p推不出q，所以q不是p的必要条件． (2)等边三角形一定是等腰三角形，所以p⇒q，所以q是p的必要条件． eq \a\vs4\al(方法技巧) 必要条件的两种判断方法 (1)定义法 (2)命题判断方法 如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件．　　 即时练3．(多选)下列命题中是真命题的是(　　) A．“x>2”是“x>3”的必要条件 B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件 C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件 D．p：a>b，q：ac>bc，p是q的必要条件 AC　[∵x>3⇒x>2，∴A是真命题；∵x＝2⇒x2＝4，x2＝4⇏x＝2，∴B是假命题；∵A∩B＝B⇒A∪B＝A，∴C是真命题；∵q⇏p，∴p不是q的必要条件，D是假命题．] 探究点四　充要条件的判断 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)． (1)p：数a能被10整除，q：数a能被5整除； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：|ab|＝ab，q：ab≥0． 解析：　(1)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (2)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (3)∵p不能推出q，q⇒p， ∴p是q的必要不充分条件． (4)∵|ab|＝ab，∴ab≥0， 又ab≥0，则|ab|＝ab， ∴p⇔q． ∴p是q的充要条件． eq \a\vs4\al(方法技巧) 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．　　 即时练4．(2021·广西河池高一月考)下列四个命题中正确命题的个数是(　　) ①“x>2”是“x<3”的既不充分也不必要条件； ②“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件； ③ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根⇔Δ＝b2－4ac≥0； ④若集合A⊆B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件． A．1 B．3 C．2 D．0 B　[对于①，x＝4时满足x>2但不满足x<3，∴“x>2”不是“x<3”的充分条件， x＝1时满足x<3，但不满足x>2， ∴x<3不是“x>2”的充分条件， 即“x>2”不是“x<3”的必要条件， ∴“x>2”是“x<3”的既不充分也不必要条件，∴①对； 对于②，正三角形可以推出该三角形为等腰三角形， 但等腰三角形不一定能推出该三角形为正三角形， ∴“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件， ∴②错； 对于③，若ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，则Δ＝b2－4ac≥0，反之也成立， 故③正确； 对于④，∵A⊆B，∴x∈A⇒x∈B，但x∈B时， ∵A⊆B，∴x不一定属于A， ∴A⊆B时，x∈A是x∈B的充分不必要条件， ∴④对．故选B．] 探究点五　利用充分、必要、充要条件求参数 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)， (1)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (3)是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 解析：　(1)p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2,1＋m<10))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m>－2，,1＋m≤10，)) 解得m≤3． 又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． (2)p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB． 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2,1＋m>10))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10.)) 解得m≥9， 即实数m的取值范围是{m|m≥9}． (3)因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 若p是q的充要条件，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2＝1－m，,10＝1＋m，))方程组无解． 故不存在实数m，使得p是q的充要条件． eq \a\vs4\al(方法技巧) 利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 (1)化简p，q两命题． (2)根据p与q的关系(充分、必要条件)转化为集合间的关系，依据如下： p是q的充分条件 p⇒q A⊆B p是q的必要条件 q⇒p B⊆A (3)根据集合间的关系，利用集合端点的大小建立不等式组． (4)求解参数范围．　　 即时练5．设p：eq \f(1,2)<x<1，q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________________． 解析：　因为p是q的充分不必要条件， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1≥1，,a≤\f(1,2).)) 解得0≤a≤eq \f(1,2)，所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤eq \f(1,2)}． 答案：　{a|0≤a≤eq \f(1,2)} 即时练6．已知集合A＝{x|a－2<x<a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是________________． 解析：　A∩B＝∅⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2≤4，,a－2≥－2))⇔0≤a≤2． 答案：　{a|0≤a≤2} 探究点六　充要条件的证明 已知a＋b≠0，证明：a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1． 证明：　充分性： 若a＋b＝1， 则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立． 必要性： 若a2＋b2－a－b＋2ab＝0， 则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0． ∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0， 即a＋b＝1，必要性成立． 综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1． eq \a\vs4\al(方法技巧) 充要条件的证明思路 (1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反． (2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立，若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明． [注意]　证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向． 即时练7．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：eq \f(1,x)<eq \f(1,y)的充要条件是xy>0． 证明：　①必要性：由eq \f(1,x)<eq \f(1,y)，得eq \f(1,x)－eq \f(1,y)<0，即eq \f(y－x,xy)<0，又由x>y，得y－x<0，所以xy>0． ②充分性：由xy>0及x>y， 得eq \f(x,xy)>eq \f(y,xy)，即eq \f(1,x)<eq \f(1,y)． 综上所述，eq \f(1,x)<eq \f(1,y)的充要条件是xy>0． 1．(多选)－eq \f(11,2)<5x－3<12的一个必要条件是(　　) A．－eq \f(1,2)<x<2 B．－eq \f(1,2)<x<4 C．－3<x<eq \f(1,2) D．－1<x<6 BD　[由－eq \f(11,2)<5x－3<12，得－eq \f(1,2)<x<3．当x满足－eq \f(1,2)<x<3时，必满足－eq \f(1,2)<x<4和－1<x<6，故选BD．] 2．已知p：“x＝2”，q：“x－2＝eq \r(2－x)”，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[由q：“x－2＝eq \r(2－x)”，解得x＝1(舍去)或x＝2，由p可推出q，充分性成立，反之，由q可推出p，即必要性成立． 所以p是q的充要条件，故选C．] 3．“x2＝2x”是“x＝0”的________________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________________条件(用“充分”“必要”填空)． 解析：　由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件． 答案：　必要　充分 4．集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝x2－\f(3,2)x＋1，\f(3,4)≤x≤2))))，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 解析：　A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝x2－\f(3,2)x＋1，\f(3,4)≤x≤2))))＝ {yeq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(7,16)≤y≤2))}，B＝{x|x＋m2≥1}＝{x|x≥1－m2}， ∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件， ∴AB，∴1－m2≤eq \f(7,16)， 解得m≥eq \f(3,4)或m≤－eq \f(3,4)， 故m的取值范围为m≤－eq \f(3,4)或m≥eq \f(3,4)． $$