第1章 1.1.1 第2课时 表示集合的方法-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第1章 集合与逻辑 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 一一列举 逗号 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 共有的 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 [a，b] (a，b) [a，b) 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 (a，b] (－∞，＋∞) 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b) 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 合作探究 素能提升 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 随堂演练 对点落实 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 课 时 作 业(二) 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 谢谢观看！ 第1章　集合与逻辑 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2课时　表示集合的方法 知识点一　列举法 定义：把集合中的所有元素________出来，叫作列举法． 格式：在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用____分隔． [点拨]　用列举法表示集合时，应注意： (1)元素与元素之间需用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是确定的． (3)不必考虑元素出现的前后顺序，但不能重复． 知识点二　描述法 定义：把集合中元素______，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合，叫作描述法． 格式：在一个大括号里写出集合中元素的共有属性．或在大括号里先写出集合元素的一般属性或形式，再画一条竖线，然后在竖线后面列出这些元素要满足的相关条件． [点拨]　描述法表示集合时的3个关注点 (1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等． (2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． (3)不能出现未被说明的字母． 知识点三　区间及相关概念 1．区间的概念及记法 设a，b是两个实数，且a<b，我们规定： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 __________ {x|a<x<b} 开区间 __________ {x|a≤x<b} 左闭右 开区间 __________ 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a<x≤b} 左开右 闭区间 __________ 2．无穷大 实数集R可以用区间表示为______________，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3．特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 {x|x≥a} ____________ {x|x>a} ____________ {x|x≤b} ____________ {x|x<b} ____________ [点拨]　(1)区间左端点的值小于右端点的值． (2)区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“，”隔开． (3)“∞”是一个符号，而不是一个数． (4)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}．(　　 ) (2)集合{(1，2)}中的元素是1和2．(　　 ) (3)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合．(　　 ) 答案：　(1)×　(2)×　(3)√ 2．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　　) A．{1，1} B．{1} C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0} B　[由集合中元素的互异性知集合中只有1个元素．] 3．用描述法表示函数y＝x＋1图象上的点的集合是(　　) A．{x|y＝x＋1} B．{y|y＝x＋1} C．{(x，y)|y＝x＋1} D．{y＝x＋1} C　[因为集合是点集，所以代表元素是(x，y)．] 4．用区间表示下列数集： (1){x|x≥1}＝________________； (2){x|2<x≤3}＝________________． 答案：　(1)[1，＋∞)　(2)(2，3] 探究点一　用列举法表示集合 用列举法表示下列集合： (1)方程x2－1＝0的解组成的集合； (2)单词“see”中的字母组成的集合； (3)所有正整数组成的集合； (4)直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合． 解析：　(1)方程x2－1＝0的解为x＝－1或x＝1，所求集合用列举法表示为{－1，1}． (2)单词“see”中有两个互不相同的字母，分别为“s”“e”，所求集合用列举法表示为{s，e}． (3)正整数有1，2，3，…，所求集合用列举法表示为{1，2，3，…}． (4)方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝2x－1))的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))所求集合用列举法表示为{(1，1)}． eq \a\vs4\al(方法技巧) 用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来． 即时练1．用列举法表示集合{x|x－2<3，x∈N＋}为(　　) A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5} B　[∵x－2<3，∴x<5．又x∈N＋，∴x＝1，2，3，4．故选B．] 探究点二　用描述法表示集合 用描述法表示下列集合： (1){2，4，6，8，10，12}； (2)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,4)，\f(3,5)，\f(4,6)，\f(5,7)))； (3)正偶数集； (4)被3除余2的正整数组成的集合； (5)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合； (6){1，22，32，42，…}． 解析：　(1)可表示为{x|x＝2n，n∈N＋且n≤6}． (2)可表示为{x|x＝eq \f(n,n＋2)，n∈N＋且n≤5}． (3)可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}． 偶数用式子可表示为x＝2n，n∈Z，但此题要求x为正偶数，故x＝2n，n∈N＋ (4)可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}． 设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但此题要求x为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，也可以写成x＝3n－1，n∈N＋，注意此时n从1开始． (5)可表示为{(x，y)|xy＝0}． 此集合是点集，坐标轴上的点(x，y)的特征是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0． (6)可表示为{x|x＝n2，n∈N＋}． 集合中各元素为正整数的平方，故各元素可表示为x＝n2，n∈N＋，也可以写成x＝(n＋1)2，n∈N． eq \a\vs4\al(方法技巧) 描述法表示集合的2个步骤 即时练2．选择适当的方法表示下列集合： (1)大于1且小于8的有理数； (2)由eq \f(|a|,a)＋eq \f(b,|b|)(a，b∈R)所确定的实数集合； (3)不等式2x－3<5的解组成的集合． 解析：　(1)大于1且小于8的有理数有无数个， 用描述法表示为{x∈Q|1<x<8}． (2)关键是根据绝对值的意义化简，设x＝eq \f(|a|,a)＋eq \f(b,|b|)，当a>0，b>0时，x＝2；当a<0，b<0时，x＝－2；当a，b异号时，x＝0，故用列举法表示为{－2，0，2}． (3)不等式2x－3<5的解x<4组成的集合可用描述法表示为{x|x<4}． 探究点三　用区间表示集合 用区间表示下列数集： (1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1<x<1}； (4)R；(5){x|2≤x≤4}． 解析：　(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)． (2){x|x<0}＝(－∞，0)． (3){x|－1<x<1}＝(－1，1)． (4)R＝(－∞，＋∞)． (5){x|2≤x≤4}＝[2，4]． eq \a\vs4\al(方法技巧) 用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值； (2)区间两端点之间用“，”隔开； (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； (4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．　　 即时练3．已知区间(4p－1，2p＋1)，则p的取值范围为________________． 解析：　由题意，得4p－1<2p＋1，所以p<1． 答案：　(－∞，1) 即时练4．我们一般称b－a(b>a)为{x|a≤x≤b}所表示的区间长度，则{x|－2≤x≤4}所表示的区间长度为________________． 解析：　由题意得，所求区间长度为4－(－2)＝6． 答案：　6 探究点四　集合表示法的综合应用 若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A． 解析：　若集合A只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0， 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2． 此时集合A＝{2}． 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1． 此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，实数k的值为0或1．当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}． eq \a\vs4\al(方法技巧) 集合与方程的综合问题的解题步骤 (1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根． (2)当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论． (3)求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性．　　 即时练5．(变条件)若集合A中有2个元素，求k的取值范围． 解析：　由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k≠0，,Δ＝（－8）2－4×k×16>0，)) 解得k<1，且k≠0． 综上，实数k的取值范围为{k|k<1且k≠0}． 即时练6．(变条件)若集合A中至多有一个元素，求k的取值范围． 解析：　①当集合A中含有1个元素时，由例4知，k＝0或k＝1；②当集合A中没有元素时，方程kx2－8x＋16＝0无解，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k≠0，,Δ＝（－8）2－4×k×16<0，))解得k>1． 综上，实数k的取值范围为{k|k＝0或k≥1}． 探究点五　集合的新定义问题(创新型) 定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B中元素的个数为(　　) A．0 B．2 C．3 D．6 C　[∵z＝xy，x∈A，y∈B，∴z的取值有1×0＝0，1×2＝2，2×0＝0，2×2＝4，∴A*B＝{0，2，4}，故集合A*B中元素的个数为3．] eq \a\vs4\al(方法技巧) 对于新定义集合计数问题，首先要准确理解新定义，其次通过列举(具体化)或图形(形象化)弄清集合中有哪些元素，最后数出集合中元素的个数．　　 即时练7．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|x1，y1∈A，x2，y2∈B}，则A⊕B中元素的个数为(　　) A．77 B．49 C．45 D．30 C　[当x1＝0时，y1∈{－1，0，1}，而x2，y2∈{－2，－1，0，1，2}， 此时x1＋x2∈{－2，－1，0，1，2}，y1＋y2∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}． 则A⊕B中元素的个数为5×7＝35． 当x1＝±1时，y1＝0，而x2，y2∈{－2，－1，0，1，2}，此时x1＋x2∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，y1＋y2∈{－2，－1，0，1，2}． 由于x1＋x2∈{－2，－1，0，1，2}，y1＋y2∈{－2，－1，0，1，2}时，存在A⊕B中的元素与前面重复，故此时与前面不重复的元素的个数为2×5＝10，所以A⊕B中元素的个数为35＋10＝45．] 1．方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x2－y2＝9，))的解集是(　　) A．(－5，4) B．(5，－4) C．{(－5，4)} D．{(5，－4)} D　[解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x2－y2＝9，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－4，))故解集为{(5，－4)}，选D．] 2．区间(－3，2]用集合可表示为(　　) A．{－2，－1，0，1，2} B．{x|－3<x<2} C．{x|－3<x≤2} D．{x|－3≤x≤2} C　[由区间和集合的关系，可得区间(－3，2]可表示为{x|－3<x≤2}，故选C．] 3．已知集合A＝{a∈Z|eq \f(6,5－a)∈N}，则A可用列举法表示为________________． 解析：　由eq \f(6,5－a)∈N，可知0<5－a≤6，即－1≤a<5，又a∈Z，所以当a＝－1时，eq \f(6,5－a)＝1∈N；当a＝0时，eq \f(6,5－a)＝eq \f(6,5)∉N；当a＝1时，eq \f(6,5－a)＝eq \f(3,2)∉N；当a＝2时，eq \f(6,5－a)＝2∈N；当a＝3时，eq \f(6,5－a)＝3∈N；当a＝4时，eq \f(6,5－a)＝6∈N．综上可得A＝{－1，2，3，4}． 答案：　{－1，2，3，4} 4．用适当的方法表示下列集合． (1)方程(x＋1)(x2－2)＝0的解集； (2)直线y＝x－1，y＝－x＋1的交点组成的集合； (3)直角坐标系内第二象限的点组成的集合． 解析：　(1)解方程(x＋1)(x2－2)＝0得x＝－1或x＝±eq \r(2)，故其解集用集合表示为{－1，－eq \r(2)，eq \r(2)}． (2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y＝－x＋1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0，)) 故两直线的交点为(1，0)．用集合表示为{(1，0)}． (3)代表元素是有序实数对(x，y)，用描述法表示为{(x，y)|x<0且y>0}． $$