江西省新余市第一中学2024-2025学年高二上学期第二次段考数学试题

2024-2025学年上学期高二年级第二次段考数学试题 出卷人：邓伟南卷人：郭永平 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线4：ax+2y=0与直线2：2x+(2a+2)y+1=0垂直，则实数a的值为() A.-2 8、2 c.1 D.1或-2 3 2“m>4”是“方程十二-1表示双鱼线”的) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.经过原点和点(3，-1)且圆心在直线3x+y-5=0上的圆的方程为() A.(x-5)2+0y+10)2=125 B.(x+1)2+(y-2)2=5 C.(x-1)2+0y-2)2=5 D-+y=号 4.已知直线1过A(-2,1),并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线1的方程是() A.x-y-1=0或x+y-3=0 B.x-y-1=0或x-y+3=0 C.x+y+1=0或x-y+3=0 D.x+y+1=0或x+y-3=0 5.在空间直角坐标系Ooz中，点A(1,2,3),点C是点B(2,0,1)关于z轴的对称点，则AC=() A.√5 B.22 c.7 D.32· 6.若动圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是() A.x-y=0 B.x+y=0 C.x2+y2=0 D.x2-y2=0 7.设抛物线x2=4y上一点P到x轴的距离为d,点2为圆(x-4)?+(y+2)=1任一点，则d+P2的最小值为() A.2√5-1 B.2 C.3 D.4 &若椭圆C:荟+若-1e>b>0)的离心率为宁，两个焦点分别为(-60)，5(6,0(e>0,M为椭圆c上异于顶 P4-(） 点的任意一点，点P是△MEE,的内心，连接MP并延长交RB于点L,则P A.2 1 B.2 C.4 D 第1页，子 扫描全能王创建 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知圆0：x2+y2=4上到直线：x+y=a的距离等于1的点至少有2个，则实数a的值可以为() A.-5 B.-4 C.0 D.2 言+长=(a>b>》交于4，B两点，线段4B的中点为Pm》m>2),则c y2 10.已知直线y=-气x+【与椭圆c:上 的离心率可能是() A.33 8.34 c3⑩ 6 6 6 11.法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点2的轨迹是以坐 标原点为圆心，√a2+b2为半径的圆，这个圆称为蒙日圆若矩形G的四边均与椭圆 二：。+兰1相切，测下列说法正确的是() A.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=9 上.若G为正方形，·则G的边长为32 C.若H是椭圆C蒙日圆上一个动点，过H作椭圆C的两条切线，与该蒙日圆分别交于P,Q 两点，则aHP卫面积的最大值为18 D.若P是直线l:x+2y-3=0上的一点，过点P作椭圆C的两条切线与椭圆相切于M,N两点，O是坐标原点，连 接oR,当∠MPN为直角时，a=0或-号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.过点P(2,3)作圆(x-)2+y2=1的两条切线，与圆相切于A,B,则直线AB的方程为 13.过抛物线y2=2Px(p>0)的焦点F作圆G:(x+2)}+y2=4的两条切线，切点分别为P,Q,若aFP2为等边三角 形，则p的值为 4.已知椭圆+y=1的左、右项点分别为，B,动点P心%，)，，)均在椭圆上，0是坐标原点，记 和O2的斜率分别为(，与08P与。042的面积分别为S,及：若6，=子，则S码的最大值为 页，共2页 扫描全能王创建 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15,(本小题13分) 如图所示，在四面体ABCD中，G为△BCD的重心，E,F,H分别为边CD,AD和BC的中点，化简下列各表达式， (用图中给定的点表示) 6+号E+Ca: 2(+c-而)， 16.(本小题15分) 已知A(2,0),O为坐标原点，M是平面内的一个动点，且OM.M=3. (1)求动点M的轨迹方程E; (2)若圆C:x2+y2=2(心>0)与E只有一个公共点，求r的值. 17.(本小题15分) 已知双曲线女-y产 a一=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为R,B. ()该双曲线虚轴的一个端点为B,若直线F2B与它的一条渐近线垂直，求双曲线的离心率， (2)若右支上存在点P,满足IPF上41PFI,求双曲线的离心率的取值范田 第2页，共 扫描全能王创建 18.(本小题17分) 已知双曲线G:芳-卡=1a>0,b>0)的右焦点为FN6.0),双曲线G与抛物线Cy2pr交于点A2,2) 。 ()求C,C2的方程： (2)作直线1与C的两支分别交于点M,N,使得AM⊥AN,求证：直线MN过定点. 19.(本小题17分) 已知精国E:子+若-e>b0,离心审为兰，点w5,3在精上 (I)求E的方程； (2)过K(-1,0)作互相垂直的两条直线4与4，设4交E于A,B两点，4交E于C,D两点，AB,CD的中点分别为 M,N,O为原点探究：aOMN与△KMW的面积之比是否为定值？若是，请求出定值若不是，请说明理由. 页，共2页 扫描全能王创建2024-2025学年上学期高二年级第二次段考数学试题 1.已知直线l:ax+2y=0与直线l,:2x+(2a+2)y+1=0垂直，则实数a的值为() 2 A.-2 B.- C.1 D.1或-2【答案】B 3 2.“m>4”是“方程，。 2 =1表示双曲线”的() 4-mm-2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 3.经过原点和点(3，-1)且圆心在直线3x+y-5=0上的圆的方程为() A.(x-5)2+(0y+10)2=125 B.(x+1)2+(y-2)2=5 C.(x-1)2+0y-2)2=5 D.+- 5【答案】D 4.已知直线1过A(-2,1),并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线1的方程是() A.x-y-1=0或x+y-3=0 B.x-y-1=0或x-y+3=0 C.x+y+1=0或x-y+3=0 D.x+y+1=0或x+y-3=0【答案】C 5.在空间直角坐标系Oxz中，点A(1,2,3),点C是点B(2,0,)关于z轴的对称点，则AC=() A.5 B.2√2 c.√7 D.3√2【答案】C 解：因为点C是点B(2,0,1)关于z轴的对称点，所以C(-2,0,1), 所以4C=V-2-12+(0-2}+(1-3)=17 6.若动圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是() A.x-y=0 B.x+y=0 C.x2+y2=0 D.x2-y2=0【答案】D 解：设圆心M的坐标为(x,y),由题意知x=y|,所以圆心M的轨迹方程为x2-y2=0. 7.设抛物线x2=4y上一点P到x轴的距离为d,点Q为圆(x-4)2+(y+2)2=1任一点，则d+PQ的最小值为( A.2W5-1B.2C.3D.4【答案】C 【解答】解：抛物线x2=4y焦点F(0,1), 圆(x-4)2+(y+2)2=1的圆心为S(4,-2),半径r=1. 第 设P在准线上的射影为R,PQ≥PS-QS=PS-1,PR=PF,PQ+>PS+PF-1-1=PS+PF-2, PS+PF≥FS=V(0-4)2+(1+2)}2=5,.P0+d>5-2=3, 当且仅当F,P,Q,S共线且依序排列时取等号，故d+PQ的最小值为3 8.若椭圆C:。+片a>b>0的离心率为)，两个焦点分别为-c,0),(G0c>0,M为椭圆C上异于顶 点的任意一点，点P是△MEE的内心，连接MP并延长交FF于点Q,则 PM =() PO A.2 .2 C.4 【答案】A D.4 解：如图，连接PE,PE, 设P到x轴距离为dp,M到x轴距离为dw,则 Modu S.sr 02 PO dp S.PEE 设aMFR内切题的半径为r,则Sm=Fr=方2cr=g，Ss=5m%+5所+5m F6Ir+wr+M1r=克rEr+r0s+M2r+ r.2a=(c+a)r, 21 Mg_du_S5=c+ar_c+a,不妨设Pg=cm,则Mg=(c+am(m>0), PO dp S.PEF 图PMgP四Emm>0,因为圆CS+a>b>0的离心率为专，之PMmA卫 …pO cm c e 9.己知圆O:x2+y2=4上到直线：x+y=a的距离等于1的点至少有2个，则实数a的值可以为() A.-5 B.-4 C.0 D.2【答案】BCD 解：由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆上的点到直线1的距离等于1的点至少有2个， 所以圆心到直线1的距离d<r+1=3,即d=-a<3,解得-32<a<32,所以，C,D满足题意， √2 10.已知直线y=- 3x+1与椭圆c:女+上 1 3 :云+F=1a>b>0)交于A,B两点，线段B的中点为Pm2m>2),则C 的离心率可能是() V33 A. B.34 C,30 【答案】BD 6 6 6 6 1页，共4页 + 解：设4(y),8),则 631 ，从而2+二芝=0，故少2= a2 b2 x-x2 a2y+y2 62 由题意可得x+5=2m,y+为=1，故上-业=2mb a2，又因为-2.1 则、2b2 .b21 a2 3 从而。6m 因为m>2,所以-1<1 -6m12 椭圆C的离心率e= ，b2。 V33 6 11.法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以坐 标原点为圆心，√：+仔为半径的圆，这个圆称为蒙日圆若矩形G的四边均与椭圆C:。+上 5+4 =1相切，则下列说 法正确的是() A.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=9B.若G为正方形，则G的边长为32 C.若H是椭圆C蒙日圆上一个动点，过H作椭圆C的两条切线，与该蒙日圆分别交于P,Q两点，则△HP2面积 的最大值为18 D.若P是直线：x+2y-3=0上的一点，过点P作椭圆C的两条切线与椭圆相切于M,N两点，O是坐标原点，连 接OP,当∠MPV为直角时，am-0或-【答案】BD 3 解，对于太精因手+号=口>6>0的四个顶点处份切线，怡好目底长、宽分别为2如和2办的矩形. 蒙日圆为此矩形的外接圆，半径r三众+，故椭圆C:、+三1的蒙日圆方程为？+y=9,故A正确 对于B,由题意可知正方形G是圆x2+y2=9的内接正方形， 设正方形G的边长为m,可得m2+m2=(2×3),解得m=3√2，即正方形G的边长为3V2,故B正确： 对于C,由题意可得HP⊥HQ,则PQ为圆x2+y2=9的一条直径，则|PQ=2r=6, 由勾股定理可得|HP2+|HQ2PQ2=36, 第2页， 所以Sm=)HP-H01<HP+0=9当且仅当1HPHH0=35时，等号成立， 2 4 因此，△MPQ面积的最大值为9，故C错误；对于D,过直线：x+2y-3=0上一点P作椭圆C的两条切线，切点分 别为M,N,当∠MPN为直角时，点P在椭圆C的蒙日圆上， 9 x+2y-3=0 x=3 x=- 即为直线：x+2y-3=0与圆x+少=9的交点，由+护-9，解得 或 y=0 12 y=- =5 、912 即点P的坐标为3,0)或5)则直线OP(O为坐标原点)的斜率为0或 3’故D正确， 4 12.过点P(2,3)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线，与圆相切于A,B,则直线AB的方程为【答案】x+3y-2=0 +广1的圆心为C0,半径为1，PC=2-P+3=N10,PC的中点为MC,》 PA⊥AC,PB⊥BC,∴.A,B在以PC为直径的圆上， 以C为直径的圆的方程为6：-+0--即+2-3x-3y+2=0, 圆(x-1)2+y2=1的一般方程为x2+y2-2x=0,两圆方程相减得：x+3y-2=0,∴直线AB的方程为x+3y-2=0. 13.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作圆G:(x+2)2+y2=4的两条切线，切点分别为P,Q,若△FPQ为等边三角 形，则p的值为 .【答案】4 解：圆G:(x+2)2+y2=4的圆心G(-2,0),半径r=2,由FP,F2切圆G于点P,2,得FQ⊥GQ,且FG平分∠PFQ, 而△FPQ为等边三角形，即∠PFQ=60°，于是∠GFQ=30°，FG=2GQ=4,则点F(2,0), 又抛物线广=2m>0)的焦点F(兮，0，所以号=2，即n=4 14.己知椭圆+y2=1的左、右顶点分别为A,B,动点P(x,),Q(x2,y2)均在椭圆上，O是坐标原点，记OP 4 和OQ的斜率分别为k,k2aOBP与△OAQ的面积分别为S,S2.若kk2=- ，则S5的最大值为一【答案】子 解：设直线P0方程为x=my+n,与椭圆方程兰+y=1联立可得：(m+4)y2+2my+-4=0, 4 则△>0，即n2-m2-4<0,可得 4+少2m+4 -2mn 44,又 y=m2+4 (my +a)(m;+n)=myy+mn(n4m m2+4 共4页 n2-4 所以kk=上.业=m2+4」 22=2z4n2二422’U间可将：”三，t4 3 m2+4 1 1 S=)×2×y,S,=)×2×,因此SS,=42l= 2 2 故SS的最大值为子故答案为： 2 2 15.如图所示，在四面体ABCD中，G为△BCD的重心，E,F,H分别为边CD,AD和BC的中点，化简下 达式 ①AG+BE+Ca:(2)片(AB+AC-AD, 2 【答案】解：()=正+EF=A:(2)(AB+AC-AD)=丽-D=A丽-AF=P丽. 16.己知A(2,0),O为坐标原点，M是平面内的一个动点，且OM·AM=3. (I)求动点M的轨迹方程E;(x-1)2+y2=4. (2)若圆C:x2+y2=r2(r>0)与E只有一个公共点，求r的值，解得r=1或3 17已知双曲线-上 a京=1(a>0,6>0)的左、右焦点分别为F,5 (I)该双曲线虚轴的一个端点为B,若直线F,B与它的一条渐近线垂直，求双曲线的离心率 (2)若右支上存在点P,满足|PF=4|PF,|,求双曲线的离心率的取值范围. 【答案】解：(I)设双曲线的焦距为2c, 依题意由对称性不妨设B0,6),(c,0),则直线BF的斜率k=。 ~直线B那，与该双曲线的一条渐近线垂直，可知此渐近线斜率k-b,太k=-6。-1,:6=ac, b a c a 而b2=c2-a2,c2-a2-ac=0, e2-e-10,解得e-1生5.又e>1,所以e=1+5 (2)设∠EPE,=0,0∈(0，π]， 2 2 PF-PF =2a PF,长3 80+2ay-(2g 依题意 ，解得 PF =4PFI 由余弦定理得cos0= 2a PE= 2x 8a 2a 3 33 -17a-c_79,因为os0e1l,即-1ke<1,即1<e, 8a2 88 88 ,解得1< 3 列各表 数双曲线的离心率的取值范围为 18.己知双曲线C: 2y2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F(V6,0,双曲线C与抛物线C,:y2=2px交于点A(2,2): (I)求C,C,的方程：(2)作直线I与C的两支分别交于点M,N,使得AM⊥AN,求证：直线MN过定点. 【答案】解：CC的方程分别为号兰-1，广=2x: (2)证明：由于点M,N在双曲线C左右两支上，则直线1的斜率存在，设1的方程为：y=c+m,M(x,y),N(x2,2), 由芝41，消去y得：2-k2-2-m-4=0,A=4m-42-2Xm+4)>0, y=kx+m 2km m+4-2>0,+52-25=m 2-k2，片+乃=k(x+x)+2m=」 4m 2-k2, 2-0+2-在+m2-2m-4 y=(+mX+m）=x+m+x)+m2,即y=2.m=4+2m+W 2-k2Γ1 又A(2,2),故AM=(x,-2,y,-2),AN=(x2-2,y2-2),由AM⊥AN，得AM·AWN=0, 即AM·AN=(x1-2)(x2-2)+0y1-2)0y2-2)=xx2+yy2-2(x+x2)-20y+y2)+8 、士2"-)8+8=0，整理得：24m+m8m+2=0 即(2k+m-2)(6k-m+6)=0,显然A(2,2)不在直线MN上，即2k+m-2≠0，于是6k-m+6=0,满足△>0， 因此直线MN的方程为y=kc+6k+6,即y=k(x+6)+6,恒过定点P(-6,6),所以直线MN过定点P(-6,6). 第3页，共4页 19.(本小题12分) 已知椭圆E: 云+左=a>b>0,离心率为5，点(，在椭圆上 ,y2 (I)求E的方程； (2)过K(-1,O)作互相垂直的两条直线l与I2,设l交E于A,B两点，I交E于C,D两点，AB,CD的中点分别为 M,N,O为原点探究：△OMN与△KMN的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由. c_v3 a 2 【答案】解：()由题意 。+4你=1，解得a=2,b=1. 31 c2=a2-b2 则6的方程 +y2=1: (2)△OMN与△KMN面积之比为定值，定值为4，理由如下： y A M 0 D 因为当直线BA斜率为0时，则AB为x轴，可得 AB的中点M为原点O,不存在△OMN, 所以直线1,1的斜率存在，且不为0， 设直线AB:x=my-1,A(x,y),B(x2,y2), x=my-1 讨论：①当m≠0，且m≠±1时，联立 t 4 +y2=1 可得(m2+4)y2-2my-3=0, 2m △=16m2+48>0,则y+y2= m2+41 第4页， 所以yw=上+业=m 2m2+4’ Xy =myy -1=m.- m 1s4 m2+41m2+4’ 所以M4。m》, m2+4'm2+4 设CD:x=y-l,同理可得N4mm m 4m+行4m+ -mm 所以kw=4mm+4-xm -4m2--44xm2-1’(0m≠0，且m≠±1) X- 4m2+1m2+4 所以直线N:y-m，Xm+4 X- m2+44m2-1 ， 即y=m,+, m2-14 所以MW恒过定点T(4 0 ②当m=±1时，不妨设直线：y=x+l2:y=-x-1, 可发现W上x辅。且w过7手o) 综上，直线Mw恒过点7专0 设点O,K到直线MN的距离分别是d,d, S.=2 2路蛋 S.KMN 【解析】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定点、定值问题，属于难题. 0由9=5,3+1 a2’a+4h=1,求出a,b即可得： ②设直线B:,联立圆的方程，十，N4,进求甜直线断 4m2+1'4m2+1 ，Sow=2 MNI×d,_d-OT求解. 莲真0，利用点O,K到直酸N的距离分别是，·Sw44, 一三 共4页