第3章 3.1.2 表示函数的方法-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版2019）

3．1．2　表示函数的方法 [课标解读]　1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．2．理解函数图象的作用． 知识点　函数的表示方法 　 [点拨]　函数三种表示法的优缺点比较 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)解析法可以表示任意的函数．(　　) (2)列表法表示y＝f(x)，y对应的那一行数字可能出现相同的情况．(　　) (3)在坐标平面上，一个图形就是一个函数图象．(　　) (4)任何一个函数都可以用列表法表示．(　　) (5)函数的图象一定是一条连续不断的曲线．(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× 2．函数y＝f(x)的关系如下表，则f(11)＝(　　) x 0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20 y 2 3 4 5 A．2 B．3 C．4 D．5 C　[由题表可知f(11)＝4，故选C．] 3．购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为(　　) A．y＝2x B．y＝2x(x∈R) C．y＝2x(x∈{1，2，3，…}) D．y＝2x(x∈{1，2，3，4}) D　[题中已给出自变量的取值范围，x∈{1，2，3，4}，故选D．] 4．已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为 ． 解析：　因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4， 令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)， 所以f(x)＝x2－4(x≥2)． 答案：　f(x)＝x2－4(x≥2) 探究点一　函数的三种表示方法 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 解析：　(1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法： (3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}． 函数的三种表示法的选择 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．　　 即时练1.2018年以来，我国的年度GDP数据如下表： 时间(年) 2018 2019 2020 2021 2022 GDP (万亿元) 91.93 98.65 101.36 114.92 121.02 设时间为n，与其对应的年度GDP为f(n)，那么f(2021)＝(　　) A．91.93 B．98.65 C．101.36 D．114.92 D　[由题意可得f(2021)＝114.92，故选D.] 探究点二　函数图象的作法及应用 作出下列函数的图象并求出其值域： (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； (2)y＝，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]． 解析：　(1)当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5]． (2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]． (3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分． 由图可得函数的值域是[－1，8]． 画函数图象的两种常见方法 (1)描点法 一般步骤： ①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； ②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点；　　 ③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． (2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等． 即时练2．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)． (1)画出f(x)图象的简图； (2)根据图象写出f(x)的值域． 解析：　(1)f(x)图象的简图如图所示． (2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，即f(x)的值域是[－1，3]． 探究点三　求函数的解析式 求下列函数的解析式： (1)若f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求f(x)的解析式． 解析：　(1)方法一(换元法) 设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)． ∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 方法二(配凑法) ∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1， ∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)(待定系数法)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 所以有3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， 因此应有解得 故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7． (3)(解方程组法或消元法) 因为2f(x)＋f＝3x，① 将x用替换，得2f＋f(x)＝，② 由①②解得f(x)＝2x－(x≠0)，即f(x)的解析式是f(x)＝2x－(x≠0)． 求函数解析式的四种常用方法 (1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可． (2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． (3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可． (4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． [提醒]　应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性． 即时练3．求下列函数的解析式： (1)已知函数f(x＋1)＝3x＋2，求f(x)； (2)已知f＝x2＋，求f(x)； (3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)． 解析：　(1)方法一(换元法)　令x＋1＝t，∴x＝t－1， ∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1， ∴f(x)＝3x－1． 方法二(配凑法)　f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)－1， ∴f(x)＝3x－1． (2)∵f＝x2＋＝＋2， ∴f(x)＝x2＋2(x≠0)． (3)∵f(x)＋2f＝x， 用代替x得f＋2f(x)＝， 两式联立消去f得f(x)＝－(x≠0)， ∴函数f(x)的解析式为f(x)＝－(x≠0)． 1．已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f[f(0)]＝(　　) A．2 B．4 C．0 D．3 C　[结合题图可得f(0)＝3，则f[f(0)]＝f(3)＝0．] 2．已知f(x－1)＝，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝1＋x C　[令x－1＝t，则x＝t＋1， ∴f(t)＝＝， ∴f(x)＝．] 3．(2021·河南省实验中学高一检测)已知函数f(x)满足f(x)＋2f()＝＋2，则函数f(x)的解析式为 ． 解析：　已知f(x)＋2f()＝＋2， 将原式中的x替换为， 得f()＋2f(x)＝x＋2， 于是得关于f(x)与f()的方程组 解得f(x)＝x－＋(x≠0)． 答案：　f(x)＝x－＋(x≠0) 4．已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)的表达式． 解析：　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(x＋1)＋f(x－1) ＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c ＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x， 所以，解得 所以f(x)＝x2－2x－1． 课时作业(十五)　表示函数的方法 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是(　　) A．(－∞，1)∪(1，＋∞) B．R C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1，0) C　[由图象，知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选C．] 2．(2021·北京丰台高一上期中)某家庭利用十一长假外出自驾游，为保证行车顺利，每次加油都把油箱加满，下表记录了该家庭用车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米) 2020年10月1日 12 32 000 2020年10月6日 48 32 600 (注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程) 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 (　　) A．6升 B．8升 C．10升 D．12升 B　[由题表中的信息可知，2020年10月1日油箱加满了油，此时的累计里程为32 000千米，到2020年10月6日，油箱加满油需要48升，说明这段时间的耗油量为48升，累计里程为32 600千米，说明这段时间内汽车行驶了600千米，则在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为＝8升．故选B．] 3．已知函数f(x)＝2x＋3，若f(g(x))＝6x－7，则函数g(x)的解析式为(　　) A．g(x)＝4x－10 B．g(x)＝3x－5 C．g(x)＝3x－10 D．g(x)＝4x＋4 B　[因为函数f(x)＝2x＋3，f(g(x))＝6x－7，所以f(g(x))＝2g(x)＋3＝6x－7，解得函数g(x)＝3x－5．故选B．] 4．(2021·石嘴山高一检测)已知f(x)＋2f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝(　　) A．－3x＋ B．－3x C．－3x＋1 D．－x＋ A　[因为f(x)＋2f(－x)＝3x＋1，所以f(－x)＋2f(x)＝－3x＋1，则f(x)＝－3x＋ ．故选A．] 5．(多选)已知f(2x＋1)＝x2，则下列结论正确的是 (　　) A．f(－3)＝4 B．f(x)＝ C．f(x)＝x2 D．f(3)＝9 AB　[f(2x＋1)＝x2，令t＝2x＋1，则x＝，所以f(t)＝()2＝，则f(x)＝，故B正确，C错误； f(－3)＝＝4，故A正确；f(3)＝＝1，故D错误．故选AB．] 6．(2021·甘肃省天水市秦安县第一中学高一期中)已知函数f(x－1)＝x2－2x＋2，则f(x)＝ ﹒ 解析：　令x－1＝t，则x＝t＋1，则f＝t2＋1， ∴f(x)＝x2＋1， 故答案为：x2＋1． 答案：　x2＋1 7．某企业生产某种产品时的能耗y与所生产的产品件数x之间的关系式为y＝ax＋，其中，当x＝2时，y＝100；当x＝7时，y＝35，且此产品生产件数不超过20．则y关于x的解析式为 ． 解析：　由题意知即解得 所以所求函数的解析式为y＝x＋(0<x≤20，且x∈N＋)． 答案：　y＝x＋(0<x≤20，且x∈N＋) 8．(2021·山东滨州高一上期中)已知函数f(2x－1)＝3x－5，若f(x0)＝4，则x0＝ ． 解析：　f(2x－1)＝3x－5，令2x－1＝t，则x＝， 则f(t)＝－5＝，∴f(x)＝， ∵f(x0)＝4，∴＝4，解得x0＝5． 答案：　5 9．(2021·山东菏泽一中等六校高一上第一次联考)(1)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝2且f(x＋1)＝f(x)＋2x＋2，求f(x)的解析式； (2)已知f()＝x＋2，求f(x)的解析式． 解析：　(1)由f(0)＝2，得c＝2， ∴f(x)＝ax2＋bx＋2，又f(x＋1)＝f(x)＋2x＋2， ∴ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋2＝ax2＋(b＋2)x＋4， ∴解得 ∴f(x)＝x2＋x＋2． (2)令t＝，则t≥0，∴f(t)＝t2＋2t，t≥0， ∴f(x)＝x2＋2x，x≥0． 10．函数y＝f(x)的图象如图所示． (1)求函数y＝f(x)的定义域； (2)求函数y＝f(x)的值域； (3)y为何值时，只有唯一的x值与之对应？ 解析：　(1)由题图知函数y＝f(x)的定义域为[－3，0]∪[1，4]． (2)由题图知函数y＝f(x)的值域为[－2，2]． (3)由题图知，当y∈(0，2]时，只有唯一的x值与之对应． [能力提升] 11．设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R，都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(2 021)＝ (　　) A．2 020 B．2 019 C．2 021 D．2 022 D　[f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2, f(0)＝1，当x＝0时， f(1)＝f(0)f(y)－f(y)＋2＝2，当y＝0时， f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2＝2，因此f(x)＝x＋1，所以f(2 021)＝2 022，故选D．] 12．(多选)(2021·江苏南通如东高一上期中)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L．E．J．Brouwer)，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，如果存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是(　　) A．f(x)＝＋x B．g(x)＝x2－x－3 C．f(x)＝ D．f(x)＝－x BCD　[对于选项A，当＋x0＝x0时，＝0，方程无解，所以函数f(x)＝＋x不是“不动点”函数；对于选项B，当x－x0－3＝x0时，解得x0＝3或x0＝－1，所以函数g(x)＝x2－x－3是“不动点”函数；对于选项C，当x0≤1时，2x－1＝x0，解得x0＝1或x0＝－；当x0>1时，|2－x0|＝x0，解得x0＝1(舍去)，所以函数f(x)＝是“不动点”函数；对于选项D，当－x0＝x0时，解得x0＝±，所以函数f(x)＝－x是“不动点”函数．故选BCD．] 学科网（北京）股份有限公司 $$