第2章 2.1.3 基本不等式的应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版2019）

2．1．3　基本不等式的应用 [课标解读]　结合具体实例，能用基本不等式的应用模型解决简单的最大值或最小值问题． 知识点　用基本不等式求最值 已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当a，b同号时，＋≥2．(　　) (2)函数y＝x＋的最小值为2．(　　) (3)不等式a2＋b2≥2ab与≤有相同的适用范围．(　　) (4)已知m>0，n>0，且mn＝81，则m＋n的最小值为18．(　　) 答案：　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若a，b∈R，判断大小关系：a2＋b2 2|ab|．(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．≥ B．＝ C．≤ D．> A　[由基本不等式得a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|＝2|ab|，当且仅当|a|＝|b|时，等号成立．] 3．(2021·聊城高一检测)设0<a<b且a＋b＝1，在下列四个数中最大的是(　　) A． B．b C．2ab D．a2＋b2 B　[因为0<a<b，且a＋b＝1， 所以ab<＝．所以2ab<． 因为 >＝， 所以a2＋b2>． 因为b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0， 所以b>a2＋b2，所以b最大．] 4．某公司一年购买某种货物400 t，每次都购买x t，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝ t． 解析：　每年购买次数为次． 所以总费用为·4＋4x≥2＝160， 当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立． 答案：　20 探究点一　利用基本不等式求函数和代数式的最值 角度1　配凑法求最值 (1)已知x<3，求y＝＋x的最大值； (2)已知x>－1，求函数y＝的最小值； (3)已知0<x<，求函数y＝x(1－3x)的最大值． 解析：　(1)∵x<3，∴x－3<0， ∴y＝＋x＝＋x－3＋3 ＝－＋3 ≤－2＋3＝－1， 当且仅当＝3－x，即x＝1时，取等号， ∴y的最大值为－1． (2)∵x>－1，∴x＋1>0， ∴y＝ ＝ ＝x＋1＋＋5≥2＋5＝9． 当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立． ∴当x＝1时，函数y＝(x>－1)取得最小值9． (3)∵0<x<，∴0<1－3x<1，∴y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x)≤×＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，y取最大值． 通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　　 即时练1．已知x<，则y＝4x－2＋的最大值为 ． 解析：　因为x<，所以5－4x>0， 则y＝4x－2＋＝－＋3 ≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立． 故y＝4x－2＋的最大值为1． 答案：　1 角度2　应用“1”的代换转化为基本不等式求最值 已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，则＋的最小值为(　　) A．1＋ B．3＋2 C．3 D．4 B　[∵x＋2y＝1，x>0，y>0， ∴＋＝(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，x＋2y＝1，即x＝－1，y＝1－时，等号成立．故当x＝－1，y＝1－时，＋有最小值，为3＋2．] “常量代换法”常用于“已知ax＋by＝m(a，b，x，y均为正数)，求＋的最小值”和“已知＋＝1(a，b，x，y均为正数)，求x＋y的最小值”两种类型．　　 基本步骤为： (1)将已知条件变形为“表达式＝常数”的形式； (2)把常数变形为1； (3)把等于1的表达式与要求最值的表达式相乘(除)，进而变形为“定积的和”或“定和的积”的形式； (4)利用基本不等式求最值． 即时练2．(2021·山西太原五中高一月考)已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为(　　) A．2 B．3 C．2＋ D．2＋ D　[根据题意，3a＋b＝2ab⇒＋＝1， ∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝2＋，当且仅当b＝a且3a＋b＝2ab时等号成立， ∴a＋b的最小值为2＋， 故选D．] 角度3　含有多个变量的条件的最值问题 已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为 ． 解析：　由2a＋b＝ab－1，得a＝， 因为a>0，b>0，所以a＝>0，又因为b＋1>0，所以b>2， 所以a＋2b＝＋2b＝＋2(b－2)＋4＝2(b－2)＋＋5≥2 ＋5＝5＋2， 当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时等号成立． 答案：　5＋2 含有多个变量的条件最值问题的解决方法 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题． 即时练3．已知a>b>0，求a2＋的最小值． 解析：　方法一：由于a2＋中有两个字母，并注意到b＋(a－b)＝a，则b(a－b)≤＝．这样就消去了字母b，因此a2＋≥a2＋≥4，当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时等号成立．故a2＋的最小值为4． 方法二：注意到b＋(a－b)＝a，则[b＋(a－b)]2＝a2，则a2＋＝[b＋(a－b)]2＋≥4b(a－b)＋≥4，当且仅当b＝a－b且4b(a－b)＝，即a＝，b＝时等号成立．故a2＋的最小值为4． 探究点二　利用基本不等式解决实际问题 为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y(单位：万元)与处理量x(单位：t)之间满足y＝x2－40x＋1 600，其中30≤x≤50．已知每处理1 t的二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品． (1)判断该技术改进能否获利．如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则政府至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？ (2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？ 解析：　(1)当30≤x≤50时，设该工厂获利S万元， 则S＝20x－(x2－40x＋1 600)＝－(x－30)2－700， 所以当x＝30时，Smax＝－700<0， 因此该工厂不会获利，政府至少需要补贴700万元该工厂才不会亏损． (2)由题易知，二氧化碳的平均处理成本P＝＝x＋－40， 因为当30≤x≤50时，P＝x＋－40≥ 2－40＝40，当且仅当x＝，即x＝40时等号成立， 所以当处理量为40 t时，每吨的平均处理成本最少． 应用基本不等式解决实际问题的方法 (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值，正确写出答案． 即时练4．某企业需要建造一个容积为8 m3，深度为2 m的无盖长方体畜水池，已知池壁的造价为每平方米100元，池底的造价为每平方米300元，设水池底面一边长为x m，水池总造价为y元，求y关于x的关系式，并求出水池的最低造价． 解析：　由于长方体蓄水池的容积为8 m3，深为2 m，因此其底面积为4 m2， 设底面一边长为x m，则另一边长为 m． 又池壁的造价为每平方米100元， 池壁的面积为2 m2， 所以池壁的总造价为200元． 池底的造价为每平方米300元，池底的面积为4 m2，所以池底的总造价为1 200元， 故蓄水池的总造价为y＝200＋1 200 ＝400＋1 200(x>0)． y＝400＋1 200≥400×2＋1 200＝1 600＋1 200＝2 800， 当且仅当x＝，即x＝2时，y有最小值，此时总造价最低为2 800元． 探究点三　利用基本不等式解决恒成立问题 设a>b>c，且＋≥恒成立，求m的取值范围． 解析：　由a>b>c，得a－b>0，b－c>0，a－c>0， ∴原不等式等价于＋≥m， 要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可， ∵＋＝＋ ＝2＋＋≥2＋2 ＝4，当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立， ∴m≤4，即m的取值范围为(－∞，4]． 解决此类问题的关键是将不等式的恒成立问题转化为最值问题．　　 即时练5．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　) A．9 B．12 C．18 D．24 B　[因为a>0，b>0，不等式＋≥恒成立，所以m≤． 因为(a＋3b)＝6＋＋≥6＋2＝12， 当且仅当a＝3b时取等号，所以m的最大值为12．故选B．] 1．已知函数y＝x＋(x>1)，则函数的最小值等于(　　) A．4 B．4＋1 C．5 D．9 C　[因为x>1，所以y＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝5． 当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立．故选C．] 2．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A． B． C． D． B　[因为0<x<1，所以3－3x>0，所以x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×()2＝×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时取等号．] 3．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是 ． 解析：　因为x>0，所以x＋≥2．当且仅当x＝1时取等号， 所以有＝≤＝， 即的最大值为，故a≥． 答案：　 4．已知正数a，b满足＋＝3，求a＋b的最小值． 解析：　方法一：由＋＝3，得＋＝1， ∴a＋b＝(a＋b)＝＋＋≥＋2＝， 当且仅当＝，即a＝b＝时取等号， ∴a＋b的最小值为． 方法二：由＋＝3，得a＋b＝3ab． ∵ab≤， ∴≤， 即4(a＋b)≤3(a＋b)2， ∴a＋b≥，当且仅当a＝b＝时等号成立， ∴a＋b的最小值为． 课时作业(十)　基本不等式的应用 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．3x2＋的最小值是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 D　[3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立，故选D．] 2．(2021·广东湛江高一期末)若0<x<，则x的最大值为(　　) A．1 B． C． D． C　[因为0<x<，所以1－4x2>0， 所以x＝×2x＝≤×＝， 当且仅当2x＝，即x＝时等号成立，故选C．] 3．已知a<0，b<0，a＋b＝－2，则y＝＋的最大值为(　　) A．－1 B．－ C．－4 D．－2 D　[∵a<0，b<0，a＋b＝－2， ∴＋＝－(a＋b)＝－·≤－＝－2，当且仅当a＝b＝－1时取等号，故y＝＋的最大值为－2，故选D．] 4．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 B　[∵不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立， ∴(x＋y)≥1＋a＋2＝(1＋)2≥9，∴≥2，即a≥4， 故正实数a的最小值为4．] 5．(2021·广东东莞高一期末)若实数x，y满足xy>0，则＋的最大值为(　　) A．2－ B．2＋ C．4＋2 D．4－2 D　[＋＝＝＝1＋＝1＋≤1＋＝4－2，当且仅当＝时等号成立．] 6．(2021·甘肃省天水市秦安县第一中学高一期中)已知x>－1，则y＝x＋的最小值为 ． 解析：　由题设，x＋1>0， ∴y＝x＋＝(x＋1)＋－1≥ 2 －1＝1，当且仅当x＝0时等号成立， ∴函数最小值为1． 答案：　1 7．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 元． 解析：　设底面矩形的一边长为x m，由容器的容积为4 m3，高为1 m，得另一边长为 m． 记容器的总造价为y元，则 y＝4×20＋2×1×10＝80＋20≥80＋20×2 ＝160， 当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立． 因此当x＝2时，y取得最小值为160， 即容器的最低总造价为160元． 答案：　160 8．设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为 ． 解析：　＝5＋＋4x2y2≥5＋2＝9，当且仅当x2y2＝时“＝”成立．故的最小值为9． 答案：　9 9．已知x，y都是正数． (1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值； (2)若x＋2y＝3，求＋的最小值． 解析：　(1)∵3x＋2y＝12， ∴xy＝·3x·2y≤×＝6， 当且仅当3x＝2y，即x＝2，y＝3时等号成立． ∴xy的最大值为6． (2)∵x＋2y＝3，∴1＝＋， ∴＋＝＝＋＋＋≥1＋2 ＝1＋， 当且仅当＝， 即x＝3－3，y＝3－时取等号， ∴＋的最小值为1＋． 10．(2021·甘肃省张掖市第一学期期末)某公司今年年初用81万元收购了一个项目，若该公司从第1年到第x(x∈N＋且x>1)年花在该项目的其他费用(不包括收购费用)为x(x＋20)万元，该项目每年运行的总收入为50万元． (1)试问该项目运行到第几年开始盈利？ (2)该项目运行若干年后，公司提出了两种方案： ①当盈利总额最大时，以56万元的价格卖出； ②当年平均盈利最大时，以92万元的价格卖出． 假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由． 解析：　(1)设项目运行到第x年的盈利为y万元， 则y＝50x－x(x＋20)－81＝－x2＋30x－81， 由y>0，得x2－30x＋81<0，解得3<x<27， 所以该项目运行到第4年开始盈利． (2)方案①y＝－x2＋30x－81＝－(x－15)2＋144， 当x＝15时，y有最大值144． 即项目运行到第15年，盈利最大，且此时公司的总盈利为144＋56＝200万元． 方案②＝－x＋30－＝30－≤30－2＝12， 当且仅当x＝，即x＝9时，等号成立． 即项目运行到第9年，年平均盈利最大，且此时公司的总盈利为12×9＋92＝200万元． 综上，两种方案获利相等，但方案②时间更短，所以选择方案②． [能力提升] 11．如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中错误的是(　　) A．(a＋b)2≥4ab B．当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合 C．(a－b)2≤4ab D．(a＋b)2>(a－b)2 C　[由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有(a＋b)2≥4ab；正方形A1B1C1D1的面积为(a－b)2，结合图形可知(a＋b)2>(a－b)2，且当a＝b时A1，B1，C1，D1四点重合，但是正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定．因此C选项错误．] 12．(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A．＋的最小值为4 B．的最大值为 C．＋的最大值为 D．a2＋b2的最小值为 ABCD　[对于A，＋＝(a＋b)＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确；对于B，0 <≤(a＋b)＝×1＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故B正确；对于C，∵(＋)2＝a＋b＋2＝2＋1≤a＋b＋1＝2，∴＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；对于D，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立．故D正确．故选ABCD．] 学科网（北京）股份有限公司 $$