2.1.3基本不等式的应用 课件-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

湘教版高中必修第一册 基本不等式及应用 教学课件 目 录 01 新课导入 02 新知探究 03 典型例题 04 拓展提高 05 课堂小结 06 作业布置 湘教版高中必修第一册 新 课 导 入 1 新课导入 左图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的“弦图”设计的。 你能在这个图中找出一些相等或者不等关系吗？ 新课导入 设直角三角形的两条直角边分别为，那么正方形的边长为. 4个直角三角形的面积之和为： 正方形的面积为： 由此，可以得到一个不等式： 新 知 探 究 2 新知探究| 一、基本不等式 通过著名的“赵爽弦图”提炼出如下不等关系： 当 而当 我们可用作差比较法给出如下证明： 想一想：据此，你能总结出什么结论呢？ 新知探究| 一、基本不等式 我们可以得到如下定理： 定理 对任意当且仅当时等号成立。 特别地，当 推论 对任意当且仅当时等号成立。 算术平均数 几何平均数 新知探究| 练一练 证明：对任意当且仅当时等号成立。 证明： ∴ 当且仅当时等号成立。 新知探究| 二、基本不等式的应用 生活与生产中，我们经常会遇到如何使材料最省、利润最高、成本最低等问题，这些问题通常可借助基本不等式来解决。在下面的例题中，来体会这种基本不等式的应用。 把12写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ 思考： 新知探究| 二、基本不等式的应用 【例题】把12写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ 解：设这两个正数为 由： 当且仅当 所以，把12写成两个的乘积时，它们的和最小，最小和为4 新知探究| 练一练 解：设两个正数为 由可得： 当且仅当时等号成立，此时 所以，把25写成两个的和时，它们的积最大，最大积为 把25写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大。 新知探究|归纳总结 已知都为正数，则： （1）如果积和有最小值； （2）如果和，那么当且仅当有最大值； 典 型 例 题 3 1、对任意三个正实数，求证： 当且仅当时等号成立。 典型例题 证明：因为由基本不等式，得： ， 把上述三个式子的两边分别相加，得： 即 当且仅当时等号成立 2、求函数的最大值。 典型例题 解：∵ ∴ ∴ 当且仅当时等号成立 因此，当时，函数取到最大值 3、设 （1）； （2）. 典型例题 证明：（1）由基本不等式，得： 当且仅当 （2）由基本不等式，得： 当且仅当 拓 展 提 高 4 拓展提高 某公司设计了如图所示的一块绿化景观地带，两条平行线段的两端用半圆弧相连接。已知这块绿景观地带的内圈周长为400m，当平行线段的长设计为多少时，中间矩形区域的面积最大？ 拓展提高 解：设平行线段长m，半圆形直径为m，中间矩形区域面积为 由题意可知： ∴ 当且仅当 ∴当平行线段的长设计为100m时，中间矩形区域的面积最大，最大值为 课 堂 小 结 5 课堂小结 定理 基本不等式 基本不等式的应用 推论 基本不等式及应用 作 业 布 置 6 完成课本P41习题2.1 作业布置 谢谢观看 $$