第2章 2.1.2 基本不等式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版2019）

2．1．2　基本不等式 [课标解读]　1．掌握基本不等式≤(a>0，b>0)．2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 知识点　基本不等式 定理：对任意a，b∈R，必有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立． 推论：对任意a，b≥0，必有≥，当且仅当a＝b时等号成立． 一般地，对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数． 上述定理和推论中的不等式通常称为基本不等式． [点拨]　不等式a2＋b2≥2ab与≥的比较 (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)； (2)两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab．(　　) (2)当a>0，b>0时，a＋b≥2．(　　) (3)当a>0，b>0时，ab≤．(　　) (4)当n∈N＋时，n＋>2．(　　) 答案：　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．a2＋b2≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0 B．a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R C．a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0 D．a＋b≥2成立的条件是ab>0 BC　[根据基本不等式成立的条件可知只有BC正确，故选BC．] 3．下列命题中正确的是(　　) A．若a，b∈R，则＋≥2 ＝2 B．若x>0，则x＋>2 C．若x<0，则x＋≥－2 ＝－4 D．若x∈R，则2x2＋≥2 ＝2 D　[A选项必须保证a，b同号，不等式才成立；B选项应含有等号，即若x>0，则x＋≥2；C选项中，若x<0，则－x>0，－>0，则－x－≥2 ＝4，则x＋≤－4；D选项正确．故选D．] 4．设a，b为非零实数，给出不等式： ①≥ab；②≥； ③≥；④＋≥2． 其中恒成立的不等式是 ．(填序号) 解析：　由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；由＝＝≥＝＝，可知②正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；当a＝1，b＝－1时，可知④不正确． 答案：　①② 探究点一　对基本不等式的理解 下列命题正确的是(　　) A．若x≠0，则x＋≥4 B．若a，b∈R，且ab>0，则＋≥2 C．＋的最小值为2 D．y＝2－3x－≥2－4(x>0) B　[A选项，只有当x>0时，不等式才成立，A错误；B选项，因为ab>0，所以>0，>0，由基本不等式知B正确；C选项，若最小值为2，需()2＝1，得x2＝－1，无实数解，C错误；D选项，x>0时，y＝2－≤2－4，D错误．] 运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b．　　 即时练1．在a>0，b>0的条件下，给出三个结论：①≤；②≤ ；③＋≥a＋b．其中结论正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 D　[依题意，∵a>0，b>0，∴ ≥≥≥，∴①②中的结论正确．∵＋＝＝＝(a＋b)·≥(a＋b)(2－1)＝a＋b，当且仅当a＝b时，等号成立，∴③中的结论正确．故选D．] 探究点二　利用基本不等式直接求最值 (1)当x>0时，求＋4x的最小值； (2)当x<0时，求＋4x的最大值； (3)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值． 解析：　(1)∵x>0，∴>0，4x>0． ∴＋4x≥2 ＝8． 当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8， ∴当x>0时，＋4x的最小值为8． (2)∵x<0，∴－x>0． 则＋(－4x)≥2 ＝8， 当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号． ∴＋4x≤－8． ∴当x<0时，＋4x的最大值为－8． (3)4x＋≥2＝4， 当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号， ∴a＝36． 应用基本不等式求最值的原则 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： (1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，a≥0，b≥0； (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立，以上三点缺一不可．　　 即时练2．已知x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 C　[∵x>0，y>0，x＋y＝18， ∴x＋y≥2， ∴xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立， ∴xy有最大值81．] 探究点三　用基本不等式证明不等式 已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：>8． 证明：　因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1， 所以－1＝＝>，① －1＝＝>，② －1＝＝>，③ 又x，y，z为正数，由①×②×③， 得>8． 利用基本不等式证明不等式的注意事项 (1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有和式或积式，通过将和式转化为积式或将积式转化为和式，从而达到放缩的目的． (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到． (3)解题时要注意技巧，当不能直接利用基本不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式．　　 (4)在证明不等式的过程中，注意充分利用“1”的代换，即把常数1替换为已知的式子，然后经过整理后再利用基本不等式进行证明． 即时练3．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c． 解析：　∵a，b，c都是正数， ∴，，也都是正数， ∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b， 三式相加得2≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 1．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为(　　) A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y B　[因为不等式成立的前提条件是各项均为正实数，所以x－2y>0，即x>2y，故选B．] 2．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是(　　) A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C．＋> D．＋≥2 D　[对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，ab>0只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2，即＋≥2恒成立．] 3．(2021·安徽合肥百花中学高一期末)已知a＋b＝4，则ab的最大值是 ． 解析：　∵a2＋b2≥2ab， ∴(a＋b)2≥4ab，即ab≤()2， 又a＋b＝4， ∴ab≤()2＝4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立， ∴ab的最大值是4． 答案：　4 4．已知a>0，b>0，求证：a＋b＋1≥ ＋ ＋ ． 证明：　因为a>0，b>0， 所以a＋b≥2 ，a＋1≥2 ，b＋1≥2 ， 上面三式相加， 得2(a＋b＋1)≥2 ＋2 ＋2 ， 所以a＋b＋1≥ ＋ ＋ ． 课时作业(九)　基本不等式 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的是(　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b D　[法一：∵0<a<1，0<b<1，且a≠b，∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D． 法二：取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大，故选D．] 2．(2021·江苏高一课时练习)对于s<0，t<0，下列不等式中不成立的是(　　) A．＋≥ B．＋≥2 C．st≤ D．≤ A　[对于A，令a＝－， b＝－， 则＋＝－a－b＝－(a＋b)≤－2＝－，当且仅当s＝t取等号，不成立； 对于B， >0, >0，所以＋≥2，当且仅当s＝t取等号，成立； 对于C，st＝(－s)(－t)≤＝，当且仅当s＝t取等号，成立； 对于D，＝＝＋st≤，当且仅当s＝t取等号，成立． 故选A．] 3．(2021·广东广州高一期末)已知正实数x，y，满足4x＋3y＝4，则＋的最小值为(　　) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ A　[由正实数x，y满足4x＋3y＝4，可得2(2x＋1)＋(3y＋2)＝8．令a＝2x＋1，b＝3y＋2，可得2a＋b＝8． 所求＋＝＋＝(＋)×()＝×(2＋＋＋1)≥×(2＋2 ＋1)＝＋， 当且仅当＝，即a＝8－4，b＝8－8时取等号，所以答案为＋． 故选A．] 4．(多选)(2021·河北迁安高一期末)下列选项中正确的是(　　) A．不等式a＋b≥2恒成立 B．若a、b为正实数，则＋≥2 C．当a≠0，不等式a＋≥2恒成立 D．若正实数x，y满足x＋2y＝1，则＋≥8 BD　[取a＝－2，b＝－1，则a＋b＝－3，2＝2，A错； ∵a、b为正实数， ∴>0，>0， ∴＋≥2 ＝2，当且仅当a＝b时等号成立，B对； 取a＝－1，则a＋＝－2，C错； ∵正实数x，y满足x＋2y＝1， ∴＋＝(＋)(x＋2y)＝2＋＋＋2 ≥4＋2 ＝8， 当且仅当x＝，y＝时等号成立，D对，故选BD．] 5．(2021·四川成都高一期末)设a>2，b>1，若a＋b＝4，则＋的最小值为(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 C　[因为a>2，b>1，所以a－2>0，b－1>0， 所以(a－2)＋(b－1)＝a＋b－3＝4－3＝1， 所以(＋)[(a－2)＋(b－1)]＝5＋＋≥5＋2 ＝9， 当且仅当＝，即b－1＝2(a－2)＝时等号成立， 故选C．] 6．(2021·宁夏青铜峡市高级中学高一期末)函数y＝9x＋(x>0)的最小值是 ． 解析：　因为x>0， 所以y＝9x＋≥2＝3，当且仅当9x＝，即x＝时取等号， 所以函数y＝9x＋(x>0)的最小值是3． 答案：　3 7．(2021·云南丽江高一期末)若x>－1，则x＋的最小值是 ． 解析：　因为x>－1，所以x＋1>0， 所以x＋＝x＋1＋－1≥2－1， 当且仅当x＋1＝即x＝－1时，取等号成立． 故x＋的最小值为2－1． 答案：　2－1 8．(2021·重庆市清华中学校高一期末)已知x>0，y>0，x＋2y＝6，则＋的最小值为 ． 解析：　由x＋2y＝6，得＋＝1， 所以＋＝(＋)(＋) ＝＋＋＋ ＝＋＋≥＋2 ＝，当且仅当＝，即x＝3，y＝时取等号， 所以＋的最小值为． 答案：　 9．已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1．求证：a＋b＋c<＋＋． 证明：　因为a，b，c都是正实数，且abc＝1， 所以＋≥＝2c，＋≥＝2a， ＋≥＝2b， 以上三个不等式相加，得： 2≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c， 因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不能同时成立，所以a＋b＋c<＋＋． 10．设a>0，b>0，且a＋2b＝3． (1)求ab的最大值； (2)求＋的最小值． 解析：　(1)ab＝a×2b≤()2＝，当且仅当时等号成立． ∴当时，ab有最大值． (2)＋＝×3×(＋)＝(a＋2b)(＋)＝(14＋＋)≥(14＋4)，即b＝a取等号． ∴＋的最小值为． [能力提升] 11．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，因此这种方法也被称之为“无字证明”．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于点E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为(　　) A．≤(a>0，b>0) B．<(a>0，b>0，a≠b) C．≤(a>0，b>0) D．<<(a>0，b>0，a≠b) D　[由AC＝a，BC＝b，可得半圆O的半径DO＝， 易得DC＝＝，DE＝＝． ∵DE<DC<DO， ∴<<(a>0，b>0，a≠b)．故选D．] 12．规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊙k＝3，则k的值为 ，此时函数y＝的最小值为 ． 解析：　由题意得1⊙k＝＋1＋k＝3， 即k＋－2＝0，∴＝1或＝－2(舍去)， ∴k＝1，y＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3， 当且仅当＝，即x＝1时，等号成立． 答案：　1　3 学科网（北京）股份有限公司 $$