第2章 2.1.1 等式与不等式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版2019）

2．1　相等关系与不等关系 2．1．1　等式与不等式 [课标解读]　1．梳理等式的性质．2．掌握不等式的性质． 知识点一　实数比较大小的基本事实 1．基本事实 如果a－b>0，那么a>b；如果a－b＝0，那么a＝b； 如果a－b<0，那么a<b，反过来也成立． 2．这个基本事实可以表示为 a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b． 知识点二　不等式的性质 — 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a<b⇔b>a 可逆 性质2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 性质3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 推论1 移项法则 a＋b>c⇔a>c－b 可逆 推论2 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 性质4 可乘性 ⇒ac>bc；⇒ac<bc c的符号 推论3 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 同正 推论4 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N＋) 同正 性质5 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N＋) 同正 性质6 倒数法则 ⇒< 同号 ⇒> 异号 [点拨]　对不等式性质的几点说明 (1)推论1(即移项的法则)，即不等式中任何一项可以改变符号后移到不等式的另一边． (2)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”． (3)推论2(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”． (4)推论3和推论4(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a>b，则a－c>b－c．(　　) (2)>1⇒a>b．(　　) (3)同向不等式相加和相乘的条件是一致的．(　　) (4)⇔a＋c>b＋d．(　　) 答案：　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　) A．> B．< C．> D．< B　[因为c<d<0，所以－c>－d>0，所以>>0． 又a>b>0，所以>，所以<．] 3．设实数x，y满足3<x<4，1<y<2，则M＝2x－y的取值范围是(　　) A．4<M<6 B．4<M<7 C．5<M<6 D．5<M<7 B　[由已知得6<2x<8，－2<－y<－1， 故4<2x－y<7．故选B．] 4．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为 ． 解析：　∵m3－(m2－m＋1) ＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1) ＝(m－1)(m2＋1)． 又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0． ∴m3－(m2－m＋1)>0， 即m3>m2－m＋1． 答案：　m3>m2－m＋1 探究点一　代数式的大小比较 (1)比较3x3与3x2－x＋1的大小； (2)已知a>0，试比较a与的大小． 解析：　(1)因为3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．当x<1时，有x－1<0，而3x2＋1>0，所以(3x2＋1)(x－1)<0，所以3x3<3x2－x＋1；当x＝1时，(3x2＋1)(x－1)＝0，所以3x3＝3x2－x＋1；当x>1时，(3x2＋1)(x－1)>0，所以3x3>3x2－x＋1． 综上，当x<1时，3x3≤3x2－x＋1；当x＝1时，3x3＝3x2－x＋1；当x>1时，3x3>3x2－x＋1． (2)∵a－＝＝， 又∵a>0，∴当a>1时，>0，有a>； 当a＝1时，＝0，有a＝； 当0<a<1时，<0，有a<． 综上，当a>1时，a>；当a＝1时，a＝；当0<a<1时，a<． 作差法比较大小的步骤 [注意]　上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等． 即时练1．(2021·甘肃省张掖市第一学期期末)若a＝(x＋1)(x＋3)，b＝2(x＋2)2，则下列结论正确的是(　　 ) A．a>b B．a<b C．a≥b D．a，b大小不确定 B　[因为b－a＝2(x＋2)2－(x＋1)(x＋3)＝2x2＋8x＋8－(x2＋4x＋3)＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0． 所以a<b．故选B．] 探究点二　不等式的性质 (1)已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　) A．a>b⇒ac2>bc2 B．>⇒a>b C．⇒> D．⇒> (2)若c>a>b>0，求证：>． 解析：　(1)当c＝0时，A不成立；当c<0时，B不成立；当ab<0时，a>b⇒<，即>，C成立；同理可证D不成立． (2)证明：因为a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b． 因为c>a，所以c－a>0．所以0<c－a<c－b． 上式两边同乘，得>>0． 又因为a>b>0，所以>． 答案：　(1)C 利用不等式的性质判断正误的2种方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说明错误的只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．　　 即时练2．已知a<0<b，则下列不等式恒成立的是(　　) A．a＋b<0 B．<1 C．>1 D．> B　[因为a<0<b，所以<0，所以<1．故选B．] 即时练3．若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>． 证明：　∵c<d<0，∴－c>－d>0． 又a>b>0，∴a－c>b－d>0， 则(a－c)2>(b－d)2>0，两边同乘， 得0<<． 又e<0，∴>． 探究点三　利用不等式性质求代数式的取值范围 (1)已知1<a<4，2<b<8，试求2a＋3b与a－b的取值范围； (2)已知1<a<4，2<b<8，求的取值范围； (3)已知－6<a<8，2<b<3，求的取值范围． 解析：　(1)∵1<a<4，2<b<8，∴2<2a<8，6<3b<24，∴8<2a＋3b<32． ∵2<b<8，∴－8<－b<－2． 又1<a<4， ∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)， 即－7<a－b<2． ∴2a＋3b的取值范围是8<2a＋3b<32，a－b的取值范围是－7<a－b<2． (2)∵2<b<8，∴<<． 又1<a<4，∴1×<a×<4×，即<<2． ∴的取值范围是<<2． (3)∵2<b<3，∴<<． ①当0≤a<8时，0≤<4； ②当－6<a<0时，－3<<0． 由①②得－3<<4， 即的取值范围是－3<<4． 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．　　 即时练4．已知实数x，y满足：1<x<2<y<3． (1)求xy的取值范围； (2)求x－2y的取值范围． 解析：　(1)∵1<x<2<y<3，∴1<x<2，2<y<3，则2<xy<6，即xy的取值范围是2<xy<6． (2)由(1)知1<x<2，2<y<3，从而－6<－2y<－4，则－5<x－2y<－2，即x－2y的取值范围是－5<x－2y<－2． 1．若x∈R，y∈R，则(　　) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1 A　[因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故选A．] 2．(多选)(2021·广东深圳高一期末)已知a>b>0，c>d>0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a＋c>b＋d B．a－c>b－d C．ac>bd D．> ACD　[对A，若a>b>0，c>d>0，则a＋c>b＋d，故A正确； 对B，若a>b>0，c>d>0，如a＝5，b＝3，c＝4，d＝2，则a－c＝b－d，故B错误； 对C，若a>b>0，c>d>0，则ac>bd，故C正确； 对D，若a>b>0，c>d>0，则>>0，则>，故D正确．故选ACD．] 3．给出四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的是 (填序号)． 解析：　<⇔<0，所以①②④能使它成立． 答案：　①②④ 4．已知2<x<3，2<y<3．分别求 (1)z1＝2x＋y的取值范围； (2)z2＝x－y的取值范围； (3)z3＝xy的取值范围； (4)z4＝的取值范围． 解析：　(1)∵2<x<3，2<y<3，∴4<2x<6，∴6<2x＋y<9，故z1＝2x＋y的取值范围为{z1|6<z1<9}． (2)∵2<x<3，2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－1<x－y<1，故z2＝x－y的取值范围为{z2|－1<z2<1}． (3)∵2<x<3，2<y<3，∴4<xy<9，故z3＝xy的取值范围为{z3|4<z3<9}． (4)∵2<x<3，2<y<3，∴<<， ∴<<， 故z4＝的取值范围为． 课时作业(八)　等式与不等式 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．已知0<a1<1，0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M <N B．M >N C．M＝N D．M ≥N B　[∵0<a1<1，0<a2<1， ∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0， ∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1 ＝a1(a2－1)－(a2－1) ＝( a1－1)(a2－1)>0， ∴M >N．] 2．(2021·甘肃省会宁县第一中学高一期中)若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　 ) A．a＋c≥b＋c B．ac>bc C．>0 D．(a－b)c2≥0 D　[因为a>b，所以a＋c>b＋c，故A错误； 当c＝0时，ac＝bc＝0，故B错误； 对于C：当c＝0时，＝0，故C错误； 对于D：因为a>b，所以a－b>0，又c2≥0，所以c2≥0，故D正确．故选D．] 3．(2021·上海金山高一期末)已知a 、b 、c都是实数，则“a<b”是“ac2<bc2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[若a<b，当c＝0时，ac2＝bc2，故不充分； 当ac2<bc2时，则c2>0，所以a<b，故必要， 故选B．] 4．(2021·甘肃省天水市秦安县第一中学高一期中)若－1<a<1，0<b<2，则2a＋b的取值范围是(　　 ) A．(－2，4) B．(－1，1) C．(0，1) D．(0，2) A　[因为－1<a<1，所以－2<2a<2，又0<b<2，所以－2<2a＋b<4，故选A．] 5．“<”是“b<a<0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[取a＝2，b＝1，<成立，但b<a<0不成立，则“<”⇏“b<a<0”．若b<a<0，则－b>－a>0，由不等式的性质得－>－，∴<，即“b<a<0”⇒“<”．因此，“<”是“b<a<0”的必要不充分条件．故选B．] 6．若8<x<10，2<y<4，则的取值范围为 ． 解析：　∵2<y<4，∴<<． 又∵8<x<10，∴2<<5． 答案：　2<<5 7．已知三个不等式①ab>0；②>；③bc>ad．若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成 个真命题． 解析：　①②⇒③，③①⇒②．(证明略) 由②得>0，又由③得bc－ad>0， 所以ab>0，即②③⇒①． 所以可以组成3个真命题． 答案：　3 8．给出下列命题： ①若a<b，c<0，则<； ②若ac－3>bc－3，则a>b； ③若a>b且k∈N＋，则ak>bk； ④若t＝2a＋2b，s＝a2＋2b＋1，则t≤s． 其中正确命题的序号是 ． 解析：　①当ab<0时，<不成立，故①不正确； ②当c<0时，a<b，故②不正确； ③当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故③不正确； ④由t＝2a＋2b，s＝a2＋2b＋1， s－t＝a2－2a＋1＝(a－1)2≥0， ∴s≥t．故④正确． 答案：　④ 9．已知a>b>0，且c>d>0．求证： >． 证明：　因为c>d>0，所以>>0，因为a>b>0，所以>>0，所以 >． 10．(2021·广东清远高一月考)(1)已知1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围； (2)已知－1<a<b<1，求a－b的取值范围； (3)已知x，y∈R，且3≤xy2≤8，4≤≤9，求的取值范围． 解析：　(1)设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b，整理得(m＋n)a＋(m－n)b＝4a－2b， 则解得 ∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)． ∵3≤3(a－b)≤6，2≤a＋b≤4， ∴5≤4a－2b≤10． 故4a－2b的取值范围为5≤4a－2b≤10． (2)∵－1<b<1，∴－1<－b<1． 又－1<a<1，∴－2<a－b<2． 又∵a<b，∴a－b<0，∴－2<a－b<0． 故a－b的取值范围为－2<a－b<0． (3)设＝(xy2)n， 则x3y－4＝x2m＋ny2n－m， ∴解得 ∴＝(xy2)－1． ∵16≤≤81，≤≤， ∴2≤(xy2)－1≤27． 故的取值范围是2≤≤27． [能力提升] 11．(多选)设a，b为正实数，则下列命题中是真命题的是(　　) A．若a2－b2＝1，则a－b<1 B．若－＝1，则a－b<1 C．若|－|＝1，则|a－b|<1 D．若|a|≤1，|b|≤1，则|a－b|≤|1－ab| AD　[对于A选项，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1⇒a－b＝⇒a－b>0⇒a>b>0，故a＋b>a－b>0．若a－b≥1，则≥1⇒a＋b≤1，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立，所以A中命题为真命题；对于B选项，取a＝5，b＝，则－＝1，但a－b＝5－>1，所以B中命题为假命题；对于C选项，取a＝4，b＝1，则|－|＝1，但|a－b|＝3>1，所以C中命题为假命题；对于D选项，(a－b)2－(1－ab)2＝a2＋b2－1－a2b2＝(a2－1)(1－b2)≤0，即|a－b|≤|1－ab|，所以D中命题为真命题．] 12．若a>b>0，c<d<0，|b|>|c|． (1)求证：b＋c>0； (2)求证：<； (3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足<所求式<？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由． 解析：　(1)证明：因为|b|>|c|，且b>0，c<0， 所以b>－c，所以b＋c>0． (2)证明：因为c<d<0， 所以－c>－d>0．又a>b>0， 所以由同向不等式的可加性可得a－c>b－d>0， 所以(a－c)2>(b－d)2>0， 所以0<<，① 因为a>b，d>c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d>b＋c，所以a＋d>b＋c>0，② ①②相乘得，<． (3)因为a＋d>b＋c>0，0<<，所以<<或<<．(只要写出其中一个即可) 2．1．2　基本不等式 [课标解读]　1．掌握基本不等式≤(a>0，b>0)．2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 知识点　基本不等式 定理：对任意a，b∈R，必有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立． 推论：对任意a，b≥0，必有≥，当且仅当a＝b时等号成立． 一般地，对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数． 上述定理和推论中的不等式通常称为基本不等式． [点拨]　不等式a2＋b2≥2ab与≥的比较 (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)； (2)两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab．(　　) (2)当a>0，b>0时，a＋b≥2．(　　) (3)当a>0，b>0时，ab≤．(　　) (4)当n∈N＋时，n＋>2．(　　) 答案：　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．a2＋b2≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0 B．a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R C．a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0 D．a＋b≥2成立的条件是ab>0 BC　[根据基本不等式成立的条件可知只有BC正确，故选BC．] 3．下列命题中正确的是(　　) A．若a，b∈R，则＋≥2 ＝2 B．若x>0，则x＋>2 C．若x<0，则x＋≥－2 ＝－4 D．若x∈R，则2x2＋≥2 ＝2 D　[A选项必须保证a，b同号，不等式才成立；B选项应含有等号，即若x>0，则x＋≥2；C选项中，若x<0，则－x>0，－>0，则－x－≥2 ＝4，则x＋≤－4；D选项正确．故选D．] 4．设a，b为非零实数，给出不等式： ①≥ab；②≥； ③≥；④＋≥2． 其中恒成立的不等式是 ．(填序号) 解析：　由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；由＝＝≥＝＝，可知②正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；当a＝1，b＝－1时，可知④不正确． 答案：　①② 探究点一　对基本不等式的理解 下列命题正确的是(　　) A．若x≠0，则x＋≥4 B．若a，b∈R，且ab>0，则＋≥2 C．＋的最小值为2 D．y＝2－3x－≥2－4(x>0) B　[A选项，只有当x>0时，不等式才成立，A错误；B选项，因为ab>0，所以>0，>0，由基本不等式知B正确；C选项，若最小值为2，需()2＝1，得x2＝－1，无实数解，C错误；D选项，x>0时，y＝2－≤2－4，D错误．] 运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b．　　 即时练1．在a>0，b>0的条件下，给出三个结论：①≤；②≤ ；③＋≥a＋b．其中结论正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 D　[依题意，∵a>0，b>0，∴ ≥≥≥，∴①②中的结论正确．∵＋＝＝＝(a＋b)·≥(a＋b)(2－1)＝a＋b，当且仅当a＝b时，等号成立，∴③中的结论正确．故选D．] 探究点二　利用基本不等式直接求最值 (1)当x>0时，求＋4x的最小值； (2)当x<0时，求＋4x的最大值； (3)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值． 解析：　(1)∵x>0，∴>0，4x>0． ∴＋4x≥2 ＝8． 当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8， ∴当x>0时，＋4x的最小值为8． (2)∵x<0，∴－x>0． 则＋(－4x)≥2 ＝8， 当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号． ∴＋4x≤－8． ∴当x<0时，＋4x的最大值为－8． (3)4x＋≥2＝4， 当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号， ∴a＝36． 应用基本不等式求最值的原则 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： (1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，a≥0，b≥0； (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立，以上三点缺一不可．　　 即时练2．已知x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 C　[∵x>0，y>0，x＋y＝18， ∴x＋y≥2， ∴xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立， ∴xy有最大值81．] 探究点三　用基本不等式证明不等式 已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：>8． 证明：　因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1， 所以－1＝＝>，① －1＝＝>，② －1＝＝>，③ 又x，y，z为正数，由①×②×③， 得>8． 利用基本不等式证明不等式的注意事项 (1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有和式或积式，通过将和式转化为积式或将积式转化为和式，从而达到放缩的目的． (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到． (3)解题时要注意技巧，当不能直接利用基本不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式．　　 (4)在证明不等式的过程中，注意充分利用“1”的代换，即把常数1替换为已知的式子，然后经过整理后再利用基本不等式进行证明． 即时练3．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c． 解析：　∵a，b，c都是正数， ∴，，也都是正数， ∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b， 三式相加得2≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 1．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为(　　) A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y B　[因为不等式成立的前提条件是各项均为正实数，所以x－2y>0，即x>2y，故选B．] 2．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是(　　) A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C．＋> D．＋≥2 D　[对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，ab>0只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2，即＋≥2恒成立．] 3．(2021·安徽合肥百花中学高一期末)已知a＋b＝4，则ab的最大值是 ． 解析：　∵a2＋b2≥2ab， ∴(a＋b)2≥4ab，即ab≤()2， 又a＋b＝4， ∴ab≤()2＝4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立， ∴ab的最大值是4． 答案：　4 4．已知a>0，b>0，求证：a＋b＋1≥ ＋ ＋ ． 证明：　因为a>0，b>0， 所以a＋b≥2 ，a＋1≥2 ，b＋1≥2 ， 上面三式相加， 得2(a＋b＋1)≥2 ＋2 ＋2 ， 所以a＋b＋1≥ ＋ ＋ ． 课时作业(九)　基本不等式 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的是(　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b D　[法一：∵0<a<1，0<b<1，且a≠b，∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D． 法二：取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大，故选D．] 2．(2021·江苏高一课时练习)对于s<0，t<0，下列不等式中不成立的是(　　) A．＋≥ B．＋≥2 C．st≤ D．≤ A　[对于A，令a＝－， b＝－， 则＋＝－a－b＝－(a＋b)≤－2＝－，当且仅当s＝t取等号，不成立； 对于B， >0, >0，所以＋≥2，当且仅当s＝t取等号，成立； 对于C，st＝(－s)(－t)≤＝，当且仅当s＝t取等号，成立； 对于D，＝＝＋st≤，当且仅当s＝t取等号，成立． 故选A．] 3．(2021·广东广州高一期末)已知正实数x，y，满足4x＋3y＝4，则＋的最小值为(　　) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ A　[由正实数x，y满足4x＋3y＝4，可得2(2x＋1)＋(3y＋2)＝8．令a＝2x＋1，b＝3y＋2，可得2a＋b＝8． 所求＋＝＋＝(＋)×()＝×(2＋＋＋1)≥×(2＋2 ＋1)＝＋， 当且仅当＝，即a＝8－4，b＝8－8时取等号，所以答案为＋． 故选A．] 4．(多选)(2021·河北迁安高一期末)下列选项中正确的是(　　) A．不等式a＋b≥2恒成立 B．若a、b为正实数，则＋≥2 C．当a≠0，不等式a＋≥2恒成立 D．若正实数x，y满足x＋2y＝1，则＋≥8 BD　[取a＝－2，b＝－1，则a＋b＝－3，2＝2，A错； ∵a、b为正实数， ∴>0，>0， ∴＋≥2 ＝2，当且仅当a＝b时等号成立，B对； 取a＝－1，则a＋＝－2，C错； ∵正实数x，y满足x＋2y＝1， ∴＋＝(＋)(x＋2y)＝2＋＋＋2 ≥4＋2 ＝8， 当且仅当x＝，y＝时等号成立，D对，故选BD．] 5．(2021·四川成都高一期末)设a>2，b>1，若a＋b＝4，则＋的最小值为(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 C　[因为a>2，b>1，所以a－2>0，b－1>0， 所以(a－2)＋(b－1)＝a＋b－3＝4－3＝1， 所以(＋)[(a－2)＋(b－1)]＝5＋＋≥5＋2 ＝9， 当且仅当＝，即b－1＝2(a－2)＝时等号成立， 故选C．] 6．(2021·宁夏青铜峡市高级中学高一期末)函数y＝9x＋(x>0)的最小值是 ． 解析：　因为x>0， 所以y＝9x＋≥2＝3，当且仅当9x＝，即x＝时取等号， 所以函数y＝9x＋(x>0)的最小值是3． 答案：　3 7．(2021·云南丽江高一期末)若x>－1，则x＋的最小值是 ． 解析：　因为x>－1，所以x＋1>0， 所以x＋＝x＋1＋－1≥2－1， 当且仅当x＋1＝即x＝－1时，取等号成立． 故x＋的最小值为2－1． 答案：　2－1 8．(2021·重庆市清华中学校高一期末)已知x>0，y>0，x＋2y＝6，则＋的最小值为 ． 解析：　由x＋2y＝6，得＋＝1， 所以＋＝(＋)(＋) ＝＋＋＋ ＝＋＋≥＋2 ＝，当且仅当＝，即x＝3，y＝时取等号， 所以＋的最小值为． 答案：　 9．已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1．求证：a＋b＋c<＋＋． 证明：　因为a，b，c都是正实数，且abc＝1， 所以＋≥＝2c，＋≥＝2a， ＋≥＝2b， 以上三个不等式相加，得： 2≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c， 因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不能同时成立，所以a＋b＋c<＋＋． 10．设a>0，b>0，且a＋2b＝3． (1)求ab的最大值； (2)求＋的最小值． 解析：　(1)ab＝a×2b≤()2＝，当且仅当时等号成立． ∴当时，ab有最大值． (2)＋＝×3×(＋)＝(a＋2b)(＋)＝(14＋＋)≥(14＋4)，即b＝a取等号． ∴＋的最小值为． [能力提升] 11．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，因此这种方法也被称之为“无字证明”．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于点E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为(　　) A．≤(a>0，b>0) B．<(a>0，b>0，a≠b) C．≤(a>0，b>0) D．<<(a>0，b>0，a≠b) D　[由AC＝a，BC＝b，可得半圆O的半径DO＝， 易得DC＝＝，DE＝＝． ∵DE<DC<DO， ∴<<(a>0，b>0，a≠b)．故选D．] 12．规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊙k＝3，则k的值为 ，此时函数y＝的最小值为 ． 解析：　由题意得1⊙k＝＋1＋k＝3， 即k＋－2＝0，∴＝1或＝－2(舍去)， ∴k＝1，y＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3， 当且仅当＝，即x＝1时，等号成立． 答案：　1　3 2．1．3　基本不等式的应用 [课标解读]　结合具体实例，能用基本不等式的应用模型解决简单的最大值或最小值问题． 知识点　用基本不等式求最值 已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当a，b同号时，＋≥2．(　　) (2)函数y＝x＋的最小值为2．(　　) (3)不等式a2＋b2≥2ab与≤有相同的适用范围．(　　) (4)已知m>0，n>0，且mn＝81，则m＋n的最小值为18．(　　) 答案：　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若a，b∈R，判断大小关系：a2＋b2 2|ab|．(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．≥ B．＝ C．≤ D．> A　[由基本不等式得a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|＝2|ab|，当且仅当|a|＝|b|时，等号成立．] 3．(2021·聊城高一检测)设0<a<b且a＋b＝1，在下列四个数中最大的是(　　) A． B．b C．2ab D．a2＋b2 B　[因为0<a<b，且a＋b＝1， 所以ab<＝．所以2ab<． 因为 >＝， 所以a2＋b2>． 因为b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0， 所以b>a2＋b2，所以b最大．] 4．某公司一年购买某种货物400 t，每次都购买x t，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝ t． 解析：　每年购买次数为次． 所以总费用为·4＋4x≥2＝160， 当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立． 答案：　20 探究点一　利用基本不等式求函数和代数式的最值 角度1　配凑法求最值 (1)已知x<3，求y＝＋x的最大值； (2)已知x>－1，求函数y＝的最小值； (3)已知0<x<，求函数y＝x(1－3x)的最大值． 解析：　(1)∵x<3，∴x－3<0， ∴y＝＋x＝＋x－3＋3 ＝－＋3 ≤－2＋3＝－1， 当且仅当＝3－x，即x＝1时，取等号， ∴y的最大值为－1． (2)∵x>－1，∴x＋1>0， ∴y＝ ＝ ＝x＋1＋＋5≥2＋5＝9． 当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立． ∴当x＝1时，函数y＝(x>－1)取得最小值9． (3)∵0<x<，∴0<1－3x<1，∴y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x)≤×＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，y取最大值． 通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　　 即时练1．已知x<，则y＝4x－2＋的最大值为 ． 解析：　因为x<，所以5－4x>0， 则y＝4x－2＋＝－＋3 ≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立． 故y＝4x－2＋的最大值为1． 答案：　1 角度2　应用“1”的代换转化为基本不等式求最值 已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，则＋的最小值为(　　) A．1＋ B．3＋2 C．3 D．4 B　[∵x＋2y＝1，x>0，y>0， ∴＋＝(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，x＋2y＝1，即x＝－1，y＝1－时，等号成立．故当x＝－1，y＝1－时，＋有最小值，为3＋2．] “常量代换法”常用于“已知ax＋by＝m(a，b，x，y均为正数)，求＋的最小值”和“已知＋＝1(a，b，x，y均为正数)，求x＋y的最小值”两种类型．　　 基本步骤为： (1)将已知条件变形为“表达式＝常数”的形式； (2)把常数变形为1； (3)把等于1的表达式与要求最值的表达式相乘(除)，进而变形为“定积的和”或“定和的积”的形式； (4)利用基本不等式求最值． 即时练2．(2021·山西太原五中高一月考)已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为(　　) A．2 B．3 C．2＋ D．2＋ D　[根据题意，3a＋b＝2ab⇒＋＝1， ∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝2＋，当且仅当b＝a且3a＋b＝2ab时等号成立， ∴a＋b的最小值为2＋， 故选D．] 角度3　含有多个变量的条件的最值问题 已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为 ． 解析：　由2a＋b＝ab－1，得a＝， 因为a>0，b>0，所以a＝>0，又因为b＋1>0，所以b>2， 所以a＋2b＝＋2b＝＋2(b－2)＋4＝2(b－2)＋＋5≥2 ＋5＝5＋2， 当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时等号成立． 答案：　5＋2 含有多个变量的条件最值问题的解决方法 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题． 即时练3．已知a>b>0，求a2＋的最小值． 解析：　方法一：由于a2＋中有两个字母，并注意到b＋(a－b)＝a，则b(a－b)≤＝．这样就消去了字母b，因此a2＋≥a2＋≥4，当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时等号成立．故a2＋的最小值为4． 方法二：注意到b＋(a－b)＝a，则[b＋(a－b)]2＝a2，则a2＋＝[b＋(a－b)]2＋≥4b(a－b)＋≥4，当且仅当b＝a－b且4b(a－b)＝，即a＝，b＝时等号成立．故a2＋的最小值为4． 探究点二　利用基本不等式解决实际问题 为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y(单位：万元)与处理量x(单位：t)之间满足y＝x2－40x＋1 600，其中30≤x≤50．已知每处理1 t的二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品． (1)判断该技术改进能否获利．如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则政府至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？ (2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？ 解析：　(1)当30≤x≤50时，设该工厂获利S万元， 则S＝20x－(x2－40x＋1 600)＝－(x－30)2－700， 所以当x＝30时，Smax＝－700<0， 因此该工厂不会获利，政府至少需要补贴700万元该工厂才不会亏损． (2)由题易知，二氧化碳的平均处理成本P＝＝x＋－40， 因为当30≤x≤50时，P＝x＋－40≥ 2－40＝40，当且仅当x＝，即x＝40时等号成立， 所以当处理量为40 t时，每吨的平均处理成本最少． 应用基本不等式解决实际问题的方法 (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值，正确写出答案． 即时练4．某企业需要建造一个容积为8 m3，深度为2 m的无盖长方体畜水池，已知池壁的造价为每平方米100元，池底的造价为每平方米300元，设水池底面一边长为x m，水池总造价为y元，求y关于x的关系式，并求出水池的最低造价． 解析：　由于长方体蓄水池的容积为8 m3，深为2 m，因此其底面积为4 m2， 设底面一边长为x m，则另一边长为 m． 又池壁的造价为每平方米100元， 池壁的面积为2 m2， 所以池壁的总造价为200元． 池底的造价为每平方米300元，池底的面积为4 m2，所以池底的总造价为1 200元， 故蓄水池的总造价为y＝200＋1 200 ＝400＋1 200(x>0)． y＝400＋1 200≥400×2＋1 200＝1 600＋1 200＝2 800， 当且仅当x＝，即x＝2时，y有最小值，此时总造价最低为2 800元． 探究点三　利用基本不等式解决恒成立问题 设a>b>c，且＋≥恒成立，求m的取值范围． 解析：　由a>b>c，得a－b>0，b－c>0，a－c>0， ∴原不等式等价于＋≥m， 要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可， ∵＋＝＋ ＝2＋＋≥2＋2 ＝4，当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立， ∴m≤4，即m的取值范围为(－∞，4]． 解决此类问题的关键是将不等式的恒成立问题转化为最值问题．　　 即时练5．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　) A．9 B．12 C．18 D．24 B　[因为a>0，b>0，不等式＋≥恒成立，所以m≤． 因为(a＋3b)＝6＋＋≥6＋2＝12， 当且仅当a＝3b时取等号，所以m的最大值为12．故选B．] 1．已知函数y＝x＋(x>1)，则函数的最小值等于(　　) A．4 B．4＋1 C．5 D．9 C　[因为x>1，所以y＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝5． 当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立．故选C．] 2．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A． B． C． D． B　[因为0<x<1，所以3－3x>0，所以x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×()2＝×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时取等号．] 3．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是 ． 解析：　因为x>0，所以x＋≥2．当且仅当x＝1时取等号， 所以有＝≤＝， 即的最大值为，故a≥． 答案：　 4．已知正数a，b满足＋＝3，求a＋b的最小值． 解析：　方法一：由＋＝3，得＋＝1， ∴a＋b＝(a＋b)＝＋＋≥＋2＝， 当且仅当＝，即a＝b＝时取等号， ∴a＋b的最小值为． 方法二：由＋＝3，得a＋b＝3ab． ∵ab≤， ∴≤， 即4(a＋b)≤3(a＋b)2， ∴a＋b≥，当且仅当a＝b＝时等号成立， ∴a＋b的最小值为． 课时作业(十)　基本不等式的应用 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．3x2＋的最小值是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 D　[3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立，故选D．] 2．(2021·广东湛江高一期末)若0<x<，则x的最大值为(　　) A．1 B． C． D． C　[因为0<x<，所以1－4x2>0， 所以x＝×2x＝≤×＝， 当且仅当2x＝，即x＝时等号成立，故选C．] 3．已知a<0，b<0，a＋b＝－2，则y＝＋的最大值为(　　) A．－1 B．－ C．－4 D．－2 D　[∵a<0，b<0，a＋b＝－2， ∴＋＝－(a＋b)＝－·≤－＝－2，当且仅当a＝b＝－1时取等号，故y＝＋的最大值为－2，故选D．] 4．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 B　[∵不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立， ∴(x＋y)≥1＋a＋2＝(1＋)2≥9，∴≥2，即a≥4， 故正实数a的最小值为4．] 5．(2021·广东东莞高一期末)若实数x，y满足xy>0，则＋的最大值为(　　) A．2－ B．2＋ C．4＋2 D．4－2 D　[＋＝＝＝1＋＝1＋≤1＋＝4－2，当且仅当＝时等号成立．] 6．(2021·甘肃省天水市秦安县第一中学高一期中)已知x>－1，则y＝x＋的最小值为 ． 解析：　由题设，x＋1>0， ∴y＝x＋＝(x＋1)＋－1≥ 2 －1＝1，当且仅当x＝0时等号成立， ∴函数最小值为1． 答案：　1 7．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 元． 解析：　设底面矩形的一边长为x m，由容器的容积为4 m3，高为1 m，得另一边长为 m． 记容器的总造价为y元，则 y＝4×20＋2×1×10＝80＋20≥80＋20×2 ＝160， 当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立． 因此当x＝2时，y取得最小值为160， 即容器的最低总造价为160元． 答案：　160 8．设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为 ． 解析：　＝5＋＋4x2y2≥5＋2＝9，当且仅当x2y2＝时“＝”成立．故的最小值为9． 答案：　9 9．已知x，y都是正数． (1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值； (2)若x＋2y＝3，求＋的最小值． 解析：　(1)∵3x＋2y＝12， ∴xy＝·3x·2y≤×＝6， 当且仅当3x＝2y，即x＝2，y＝3时等号成立． ∴xy的最大值为6． (2)∵x＋2y＝3，∴1＝＋， ∴＋＝＝＋＋＋≥1＋2 ＝1＋， 当且仅当＝， 即x＝3－3，y＝3－时取等号， ∴＋的最小值为1＋． 10．(2021·甘肃省张掖市第一学期期末)某公司今年年初用81万元收购了一个项目，若该公司从第1年到第x(x∈N＋且x>1)年花在该项目的其他费用(不包括收购费用)为x(x＋20)万元，该项目每年运行的总收入为50万元． (1)试问该项目运行到第几年开始盈利？ (2)该项目运行若干年后，公司提出了两种方案： ①当盈利总额最大时，以56万元的价格卖出； ②当年平均盈利最大时，以92万元的价格卖出． 假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由． 解析：　(1)设项目运行到第x年的盈利为y万元， 则y＝50x－x(x＋20)－81＝－x2＋30x－81， 由y>0，得x2－30x＋81<0，解得3<x<27， 所以该项目运行到第4年开始盈利． (2)方案①y＝－x2＋30x－81＝－(x－15)2＋144， 当x＝15时，y有最大值144． 即项目运行到第15年，盈利最大，且此时公司的总盈利为144＋56＝200万元． 方案②＝－x＋30－＝30－≤30－2＝12， 当且仅当x＝，即x＝9时，等号成立． 即项目运行到第9年，年平均盈利最大，且此时公司的总盈利为12×9＋92＝200万元． 综上，两种方案获利相等，但方案②时间更短，所以选择方案②． [能力提升] 11．如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中错误的是(　　) A．(a＋b)2≥4ab B．当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合 C．(a－b)2≤4ab D．(a＋b)2>(a－b)2 C　[由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有(a＋b)2≥4ab；正方形A1B1C1D1的面积为(a－b)2，结合图形可知(a＋b)2>(a－b)2，且当a＝b时A1，B1，C1，D1四点重合，但是正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定．因此C选项错误．] 12．(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A．＋的最小值为4 B．的最大值为 C．＋的最大值为 D．a2＋b2的最小值为 ABCD　[对于A，＋＝(a＋b)＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确；对于B，0 <≤(a＋b)＝×1＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故B正确；对于C，∵(＋)2＝a＋b＋2＝2＋1≤a＋b＋1＝2，∴＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；对于D，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立．故D正确．故选ABCD．] 2．2　从函数观点看一元二次方程 [课标解读]　1．从实例中得出零点的概念．2．理解一元二次方程与二次函数的关系． 知识点一　一元二次方程与二次函数的关系 当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象之间的关系如下表所示： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实根 知识点二　二次函数的零点 一般地，我们把使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． [点拨]　函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标；也是函数值为零时自变量x的值，也是函数相应的方程的实数根． 1．函数y＝x2＋4x－5的零点为(　　) A．－5和1 B．(－5，0)和(1，0) C．－5 D．1 A　[由x2＋4x－5＝0得x1＝－5或x2＝1．] 2．函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为 ． 解析：　由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0．所以函数零点的个数为2． 答案：　2 3．若函数y＝x2＋2x－1的零点在区间(n，n＋1)(n∈Z)上，则n的取值集合为 ． 解析：　由x2＋2x－1＝0解得x1＝－1－，x2＝－1＋，因为－1－∈(－3，－2)，－1＋∈(0，1)，所以n的取值集合为{－3，0}． 答案：　{－3，0} 探究点一　求函数的零点 求下列函数的零点． (1)y＝3x2－2x－1； (2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)； (3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示． 解析：　(1)由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－． (2)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1． 当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0，得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝，x2＝－1． 又－(－1)＝， ①当a＝－时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1． ②当a≠－且a≠0时，x1≠x2，函数有两个零点－1和． 综上，当a＝0或a＝－时，函数有唯一的零点为－1． 当a≠－且a≠0时，函数有两个零点－1和． (3)因为函数的图象与x轴交点的横坐标为－1和3，所以该函数的零点为－1和3． 求函数零点的一般方法 (1)求函数的零点就是解相应的方程，相应方程的实数根就是函数的零点． (2)函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点． (3)求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点分类讨论的步骤： ①若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零； ②若二次项系数不是零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数根．若可以因式分解，则一定存在零点； ③若二次项系数不是零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等．　　 即时练1．求下列函数的零点． (1)y＝2x2－3x－2； (2)y＝ax2－x－1； (3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示． 解析：　(1)由2x2－3x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－，所以函数y＝2x2－3x－2的零点为2和－． (2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1． (ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－1＝0得Δ＝1＋4a， 当Δ<0，即a<－时，相应方程无实数根，函数无零点； 当Δ＝0，即a＝－时，x1＝x2＝－2，函数有唯一的零点－2． 当Δ>0时，即a>－且a≠0，x1＝，x2＝，函数有两个零点， (3)因为函数的图象与x轴交点的横坐标为－3，1，所以该函数的零点为－3，1． 探究点二　函数的零点个数的论证与探究 若a>2，求证：(1)函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点． (2)求函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件． 解析：　(1)证明：∵a>2，∴a－2>0， 对于一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0， Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 即函数有两个零点． (2)必要性：因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，当a＝2时，y＝－4，函数无零点． 当a≠2时，因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，所以方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有实数根．所以Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)·(a＋2)≥0， 即或，解得a≥2或a≤－2， 又a≠2，所以a>2或a≤－2， 所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点， 则a>2或a≤－2． 充分性：当a>2或a≤－2时，对于方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0， Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0， 所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点． 综上，a>2或a≤－2．故函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件是a>2或a≤－2． 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数的论证 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac． (1)Δ>0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个零点． (2)Δ＝0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点． (3)Δ<0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点．　　 即时练2．求证：函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点． 解析：　当a＝0时，y＝－x，该函数有零点0； 当a≠0时，对于一元二次方程ax2－x－a＝0，Δ＝1＋4a2>0，函数y＝ax2－x－a有两个零点． 综上，函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点． 探究点三　二次函数的零点分布探究 (1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)上是否存在零点． (2)若二次函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围． 解析：　(1)由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋，x2＝－1－，因为－3<－1－<－2， 所以二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)上存在零点． (2)因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4的两个零点均为正数，所以(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个不相等的正实数根，显然a≠2． 由一元二次方程的根与系数的关系得 即 所以a<－2． 即实数a的取值范围为(－∞，－2)． 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的分布探究 结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac和根与系数的关系处理． ①⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个正零点．　　 ②⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个负零点． ③x1x2<0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个异号零点． 即时练3．已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R)． (1)若该函数有两个正的零点，求a的取值范围； (2)若该函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，求a的取值范围． 解析：　由x2－x－a2＋a＝0得x1＝a，x2＝1－a， (1)因为该函数有两个正的零点，所以解得0<a<或<a<1． 所以a的取值范围为0<a<或<a<1． (2)因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1， 所以或，解得a>1或a<0． 所以a的取值范围是a>1或a<0． 1．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b．其中正确的结论是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ B　[因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确，故选B．] 2．函数y＝x2－(a＋1)x＋a的零点的个数是(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．0 C　[由x2－(a＋1)x＋a＝0得x1＝a，x2＝1，当a＝1时函数的零点为1个；当a≠1时，函数的零点有2个，所以该函数的零点的个数是1或2．] 3．已知p：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个异号实数根，q：ac<－1，则p是q的 条件． 解析：　因为关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个异号实数根⇔x1x2＝<0⇔ac<0，所以p是q的必要不充分条件． 答案：　必要不充分 4．已知函数y＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有y<0成立，求实数m的取值范围． 解析：　作出二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有y<0， 则有当x＝m时，y<0，且当x＝m＋1时，y<0． 即解得－<m<0． 所以实数m的取值范围为． 课时作业(十一)　从函数观点看一元二次方程 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．函数y＝4x2－4x＋1的零点为(　　) A． B． C．－ D． D　[解方程4x2－4x＋1＝0，得x＝，所以是函数y＝4x2－4x＋1的零点．故选D．] 2． 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，若b2<4ac，则函数零点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．不能确定 A　[因为b2<4ac，所以Δ＝b2－4ac<0，所以函数有0个零点．故选A．] 3．关于x的函数y＝ x2－2ax－8a2 (a>0)的两个零点为x1，x2，且x2－x1＝15，则a＝(　　) A． B． C． D． A　[由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2．由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝．故选A．] 4．已知函数y＝x2－6x＋5－m的两个零点都大于2，则实数m的取值范围是(　　) A．[－4，－3) B．(－4，－3] C． D．(－∞，－4)∪(－3，＋∞) C　[x2－6x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数y＝x2－6x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧，根据图象(图略)得：方程的判别式Δ>0，当x＝2时函数值y>0，函数对称轴x＝3>2．即解得－4<m<－3，所以选C．] 5．下列二次函数在区间(－1，0)上存在零点的是(　　) A．y＝(x＋1)(x－3) B．y＝x2－2x C．y＝2x2＋2x＋1 D．y＝x2－2x－1 D　[因为方程(x＋1)(x－3)＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，方程x2－2x＝0的两个实数根分别为x1＝0，x2＝2，方程2x2＋2x＋1＝0没有实数根，故A，B，C选项均不正确；方程x2－2x－1＝0的实数根为x1，2＝1±，其中－1<1－<0，D选项正确．故选D．] 6．若函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，则＋＝ ． 解析：　因为函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，所以m，n是方程x2－ax＋a＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得所以＋＝＝1． 答案：　1 7．若函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，则实数a的取值集合为 ． 解析：　当a＝0时，由y＝0得x＝－2符合题意，当a≠0时，由y＝0得x1＝－2，x2＝－，因为函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，所以－＝－2即a＝，所以实数a的取值集合为． 答案：　 8．函数y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，则m的取值范围为 ． 解析：　因为函数y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，所以解得0<m<． 答案：　 9．求下列函数的零点． (1) y＝x－2－3； (2) y＝x2－(3a－1)x＋(2a2－2)． 解析：　(1)由x－2－3＝0得 (＋1)(－3)＝0， 又≥0，所以＝3，即x＝9， 所以函数y＝x－2－3的零点为9． (2)由x2－(3a－1)x＋(2a2－2) ＝0得 [x－(a＋1)][x－2(a－1)]＝0， ①当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，函数有唯一零点4； ②当a＋1≠2(a－1)，即a≠3时，函数有两个零点a＋1和2(a－1)． 10．求证：函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点． 证明：　对于一元二次方程x2－ax－a－2＝0，Δ＝a2＋4a＋8＝(a＋2)2＋4>0， 所以函数y＝x2－ax－a－2有两个零点． [能力提升] 11．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是 ． 解析：　由题意知(a2－4)x2＋(a＋2)x－1<0恒成立，即函数y＝(a2－4)x2＋(a＋2)x－1的图象恒在x轴的下方，当a＝－2时，函数y＝－1，符合题意；当a＝2时，函数y＝4x－1的图象与图象恒在x轴的下方矛盾，舍去；当a≠±2时，函数y＝(a2－4)x2＋(a＋2)x－1的图象是抛物线，开口向下，且顶点在x轴下方，即解得－2<a<，综上，实数a的取值范围是 ． 答案：　 12．若函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n，且m<－1，n>，求实数a的取值范围． 解析：　函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n， 又x2－2ax＋a2－1＝0的两个实数根为a－1，a＋1， 所以解得－<a<0， 即实数a的取值范围是． 2．3　一元二次不等式 2．3．1　一元二次不等式及其解法 [课标解读]　1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．2．能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 知识点一　一元二次不等式的概念 　定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． [点拨]　一元二次不等式概念中的关键词 (1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)； (2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0． 知识点二　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {xx∈R且x≠－} R 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ [点拨]　从两个角度看三个“二次”之间的内在联系 (1)函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即一元二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围． (2)方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2＋5x<0是一元二次不等式．(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}，则必有a>0．(　　) (3)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<x1或x>x2}，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2．(　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R．(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．不等式2－x－x2>0的解集是(　　) A．{x|x<－2或x>1} B．{x|x<－1或x>2} C．{x|－1<x<2} D．{x|－2<x<1} D　[不等式2－x－x2>0可化为x2＋x－2<0．分解因式可得(x－1)(x＋2)<0，对应方程的根为x＝1或x＝－2，则不等式2－x－x2>0的解集是{x|－2<x<1}．] 3．下列不等式中是一元二次不等式的是(　　) A．a2x2＋2≥0 B．<3 C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x2＋1>0 C　[选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．] 4．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}，则不等式bx2＋2ax－c－3b<0的解集为 ． 解析：　∵ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}， ∴a<0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根． 由根与系数的关系得即 ∴不等式bx2＋2ax－c－3b<0，即－ax2＋2ax＋15a<0，即x2－2x－15<0，易知其解集为{x|－3<x<5}．故所求的不等式的解集为{x|－3<x<5}． 答案：　{x|－3<x<5} 探究点一　不含参数的一元二次不等式的解法 (2021·河北石家庄市第二十二中学高一月考)求下列不等式的解集． (1)x2－5x＋6≤0； (2)－2x2＋5x－3≤0； (3)x2－6x＋9>0； (4)x2＋x＋1>0． 解析：　(1)原不等式即为(x－2)(x－3)≤0，解得2≤x≤3， 故原不等式的解集为{x|2≤x≤3}； (2)将原不等式变形为2x2－5x＋3≥0， 即(2x－3)(x－1)≥0，解得x≤1或x≥， 故原不等式的解集为或； (3)将原不等式变形为(x－3)2>0，解得x≠3，故原不等式的解集为{x|x≠3}； (4)对于不等式x2＋x＋1>0，Δ＝1－4<0，故原不等式的解集为R． 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 　　 即时练1．(2021·河南南阳高一月考)不等式(5－x)(x＋4)≥18的解集是(　　) A．[－1，2] B．[－2，1] C．(－∞，－1]∪[2，＋∞) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) A　[原不等式可化为x2－x－2≤0， 即(x－2)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤2． 所以不等式的解集为[－1，2]．故选A．] 探究点二　分式不等式的解法 解下列关于x的不等式． (1)>0； (2)≥1． 解析：　(1)原不等式等价于(4x＋2)(3x－1)>0， 所以原不等式的解集为． (2)原不等式可化为≤0， 所以原不等式等价于 所以原不等式的解集为． 简单分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 即时练2．不等式≥0的解集为(　　) A．{x|0≤x≤1} B．{x|0<x≤1} C．{x|x≤0或x≥1} D．{x|x<0或x≥1} B　[原不等式可化为解得故其解集为{x|0<x≤1}，故选B．] 探究点三　含参数一元二次不等式的解法 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0． 解析：　①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1． ②当a<0时，原不等式化为(x－1)>0，解得x<或x>1． ③当a>0时，原不等式化为(x－1)<0． 若a＝1，即＝1时，不等式无解； 若a>1，即<1时，解得<x<1； 若0<a<1，即>1时，解得1<x<． 综上可知，当a<0时，不等式的解集为 ； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，不等式的解集为 ； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为 ． 含参数一元二次不等式的解法 即时练3．解关于x的不等式x2＋x－m(m－1)>0(m∈R)． 解析：　原不等式可以化为(x＋m)(x－m＋1)>0， 当－m>m－1，即m<时，原不等式的解集为(－∞，m－1)∪(－m，＋∞)； 当－m＝m－1，即m＝时，原不等式的解集为{x|x≠－}； 当－m<m－1，即m>时，原不等式的解集为(－∞，－m)∪(m－1，＋∞)． 探究点四　三个“二次”之间的关系 若关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x－≤x≤2}，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集． 解析：　由ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|－≤x≤2}，知a<0，且－，2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根， ∴∴b＝－a，c＝－a， ∴不等式cx2－bx＋a<0可变形为 (－a)x2－(－a)x＋a<0， 即2ax2－5ax－3a>0． 又a<0，∴2x2－5x－3<0， 解方程2x2－5x－3＝0，得x1＝－，x2＝3，结合二次函数y＝2x2－5x－3的图象知，所求不等式的解集为{x－<x<3}． 一元二次不等式解集逆向应用的解法及步骤 (1)求解方法 由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集． (2)求解步骤 第一步：审结论——明确解题方向 如要解ax2＋bx＋c<0，首先确定a的符号，最好能确定a，b，c的值． 第二步：建联系——找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解ax2＋bx＋c<0的解集．　　 即时练4．(2021·辽宁葫芦岛高一期中)已知不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是[－2，5]，则不等式cx2＋bx＋a<0的解集是(　　) A．∪ B．(－∞，－2)∪(5，＋∞) C． D．(－2，5) C　[由题意可得则b＝－3a，c＝－10a，从而cx2＋bx＋a<0等价于10x2＋3x－1<0，即(2x＋1)(5x－1)<0，解得－<x<．故选C．] 1．下列四个不等式： ①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1．其中解集为R的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ C　[①显然不符合要求；②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10<0，符合要求；④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，不符合要求．故选C．] 2．已知a<0，关于x的一元二次不等式ax2－(2＋a)x＋2>0的解集为(　　) A．{x|x<或x>1} B．{x|<x<1} C．{x|x<1或x>} D．{x|1<x<} B　[ax2－(2＋a)x＋2>0等价于(ax－2)(x－1)>0，∵a<0，∴(x－)(x－1)<0，解得<x<1，故原不等式的解集为{x|<x<1}．] 3．不等式≥－1的解集是 ． 解析：　∵≥－1可化为＋1≥0， ∴≥0，即 解得x≤0或x>1， ∴不等式的解集是{x|x≤0或x>1}． 答案：　{x|x≤0或x>1} 4．(2021·河北石家庄市第二十二中学高一月考)若不等式ax2＋(1－a)x＋a－3≥－3对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围． 解析：　由题意可知，关于x的不等式ax2＋(1－a)x＋a≥0对一切实数x恒成立． 当a＝0时，则有x≥0，不符合题意； 当a≠0时，则有 解得a≥． 综上所述，a≥． 课时作业(十二)　一元二次不等式及其解法 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．不等式(x－1)2<x＋5的解集为(　　) A．{x|1<x<4} B．{x|－1<x<4} C．{x|－4<x<1} D．{x|－1<x<3} B　[原不等式可化为x2－3x－4<0，即(x＋1)(x－4)<0，故其解集为{x|－1<x<4}．故选B．] 2．(2021·甘肃省天水市秦安县第一中学高一期中)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[求解二次不等式a2>a可得：a>1或a<0， 据此可知：a>1是a2>a的充分不必要条件． 故选A．] 3．不等式<的解集是(　　) A．{x|x<2} B．{x|x>2} C．{x|0<x<2} D．{x|x<0或x>2} D　[不等式<等价于－<0，等价于<0，等价于2x(2－x)<0，解得x<0或x>2．故选D．] 4．(2021·安徽六安一中期末)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　) A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x>1或x<－2} D．{x|－1<x<2} B　[由a⊙b＝ab＋2a＋b，得x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2<0，所以－2<x<1．] 5．(2021·河南郑州一中阶段测试)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－4，1)，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c>0的解集为(　　) A． B． C．{x|－1<x<4} D．{x|x<－2或x>1} A　[由题可知，ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根－4，1．根据根与系数的关系得 即 因此，b(x2－1)＋a(x＋3)＋c>0可化为3ax2－3a＋ax＋3a－4a>0，∴3x2＋x－4<0， 解得－<x<1，故选A．] 6．不等式x2－4x＋4≤0的解集是 ． 解析：　原不等式可化为(x－2)2≤0，∴x＝2． 答案：　{x|x＝2} 7．不等式≤1的解集为 ． 解析：　原不等式可化为－1≤0，即≤0，等价于解得－2≤x<1，所以原不等式的解集为{x|－2≤x<1}． 答案：　{x|－2≤x<1} 8．(2021·甘肃省会宁县第一中学高一期中)若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b＝ ． 解析：　由已知得 ax2＋bx＋2＝0的解为－，，且a<0． ∴解得 ∴a＋b＝－14． 答案：　－14 9．解下列不等式． (1)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)； (2)0≤x2－2x－3<5； (3)≤3； (4)≤0． 解析：　(1)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2． ∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0． 解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝． 结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为． (2)原不等式等价于由x2－2x－3≥0得x≤－1或x≥3；由x2－2x－3<5得－2<x<4．∴－2<x≤－1或3≤x<4．∴原不等式的解集为{x|－2<x≤－1或3≤x<4}． (3)≤3可化为－3≤0， 即≤0， 等价于(x－1)(x＋1)≤0，且x＋1≠0， 解得－1<x≤1，因此原不等式的解集为{x|－1<x≤1}． (4)当a>－1时，不等式等价于 此时不等式的解集为{x|－1≤x<a}； 当a<－1时，不等式等价于 此时不等式解集为{x|a<x≤－1}； 当a＝－1时，不等式变为1≤0，其解集为∅． 综上，当a<－1时，解集为{x|a<x≤－1}； 当a＝－1时，解集为∅； 当a>－1时，解集为{x|－1≤x<a}． 10．已知关于x的不等式x2－mx＋3<0的解集为{x|n<x<3}． (1)求m，n的值； (2)当a<1时，解关于x的不等式ax2－2(a＋n)x＋m>0的解集． 解析：　(1)由题意，知n，3是关于x的一元二次方程x2－mx＋3＝0的两个实根， 所以解得即m＝4，n＝1． (2)由(1)，知不等式ax2－2(a＋n)x＋m>0可化为ax2－2(a＋1)x＋4>0，即(ax－2)(x－2)>0． ①当a＝0时，不等式的解集为{x|x<2}； ②当a<0时，不等式可化为(x－)(x－2)<0，因为<2，所以不等式的解集为； ③当0<a<1时，不等式可化为(x－)(x－2)>0，因为>2，所以不等式的解集为{x或x<2}． 综上，当a＝0时，不等式的解集为{x|x<2}； 当a<0时，不等式的解集为； 当0<a<1时，不等式的解集为{x或x<2}． [能力提升] 11．(多选)解关于x的不等式：ax2＋(2－4a)x－8>0，下列说法正确的是(　　) A．当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4} B．当a>0时，不等式的解集为 C．当a＝－时，不等式的解集为R D．当a＝－1时，不等式的解集为{x|2<x<4} ABD　[不等式ax2＋(2－4a)x－8>0可化为(ax＋2)(x－4)>0， 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}，故A正确． 当a>0时，不等式的解集为，故B正确； 当a＝－时，不等式化为x2－4x＋8<0， Δ＝(－4)2－4××8＝0，不等式的解集为空集，故C错误． 当a＝－1时，不等式化为x2－6x＋8<0， 不等式的解集为{x|2<x<4}，故D正确．] 12．若∃x∈R，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是 ． 解析：　∃x∈R，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≥0的解集为∅，等价于∀x∈R，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R． ①当a2－1＝0时，a＝1或a＝－1． 若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立，满足题意； 若a＝－1，则原不等式为2x－1<0，即x<，不合题意，舍去． ②当a2－1≠0，即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是解得－<a<1．综上所述，a的取值范围是． 答案：　 2．3．2　一元二次不等式的应用 [课标解读]经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 知识点　用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤 1．理解题意，分析清楚量与量之间的关系； 2．建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题； 3．解这个一元二次不等式得到实际问题的解． 1．若kx2－6kx＋(k＋8)≥0对一切x∈R恒成立(k为常数)，则k的取值范围是(　　) A．0≤k≤1 B．0<k<1 C．0<k≤1 D．k<0或k>1 A　[当k＝0时，显然8≥0恒成立； 当k≠0时，则k满足 即 解得0<k≤1，所以k的取值范围是0≤k≤1．故选A．] 2．某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为15元，若按最低售价销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是(　　) A．{x|10<x<20} B．{x|15≤x<20} C．{x|15<x<20} D．{x|10≤x<20} B　[由题意可知x[30－2(x－15)]>400，则－2x2＋60x－400>0，即x2－30x＋200<0， ∴(x－10)(x－20)<0，解得10<x<20． 又∵每盏最低售价为15元， ∴15≤x<20．故选B．] 3．不等式x2－2mx－1>0对一切1≤x≤3都成立，则m的取值范围为 ． 解析：　令y＝x2－2mx－1，易知x＝0时，y＝－1， 由二次函数的图象(图略)及题意可知即m<0． 答案：　{m|m<0} 4．一元二次不等式ax2－2x－1<0恒成立，则实数a的取值范围是 ． 解析：　由题意知 解得a<－1． 答案：　(－∞，－1) 探究点一　一元二次不等式在R上恒成立问题 若对于一切实数x，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围． 解析：　要使mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，显然－1<0，满足题意； 若m≠0，则⇒－4<m<0． 所以－4<m≤0． 一元二次不等式在R上的恒成立问题 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是　　 (3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 (4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 即时练1．若对任意实数x，关于x的不等式(a2－1)x2－(a＋1)x－1<0恒成立，则实数a的取值范围为 ． 解析：　(1)若a2－1＝0，则a＝±1， 当a＝－1时，原不等式即为－1<0， 解集为R． 当a＝1时，原不等式即为2x＋1>0，解集为{x|x>－}，与题意不符． (2)若a≠±1，则当时，不等式解集为R，解得－1<a<． 综上，实数a的取值范围是{a|－1≤a<}． 答案：　{a|－1≤a<} 探究点二　在给定区间上的恒成立问题 若对于x∈[1，3]，不等式mx2－mx－1<－m＋5恒成立，求m的取值范围． 解析：　方法一：要使mx2－mx－1<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立， 就要使m＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立． 令y＝m＋m－6，x∈[1，3]． 当m>0时，函数值y在[1，3]上随x的增大而增大， ∴ymax＝7m－6<0，∴0<m<； 当m＝0时，－6<0恒成立； 当m<0时，函数值y在[1，3]上随x的增大而减小， ∴ymax＝m－6<0，得m<6，∴m<0． 综上所述，m<． 方法二：当x∈[1，3]时，mx2－mx－1<－m＋5恒成立， 即当x∈[1，3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立． ∵x2－x＋1＝＋>0， 又m(x2－x＋1)－6<0， ∴m<． ∵函数y＝＝ 在[1，3]上的最小值为， ∴只需m<即可． 解决一元二次不等式在某范围上恒成立问题，可结合二次函数的图象进行求解． 设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (1)a>0时，ax2＋bx＋c<0在α≤x≤β时恒成立⇔ (2)a<0时，ax2＋bx＋c>0在α≤x≤β时恒成立⇔ (3)ax2＋bx＋c>0在α≤x≤β时恒成立⇔{x|α≤x≤β}⊆A，其中A是ax2＋bx＋c>0的解集．　　 即时练2．若∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，求实数a的取值范围． 解析：　∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，即∀1≤x≤4，a(x－1)≤x2－2x＋5恒成立． ①当x＝1时，不等式为0≤4恒成立，此时a∈R； ②当1<x≤4时，a≤＝x－1＋． ∵1<x≤4，∴0<x－1≤3， ∴x－1＋≥2＝4(当且仅当x－1＝，即x＝3时取等号)， ∴a≤4． 综上，实数a的取值范围为{a|a≤4}． 探究点三　一元二次不等式的实际应用 某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？ 解析：　(1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8， 整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意得，当x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解， 等价于当x>25时，a≥＋＋有解． 由于＋≥2 ＝10，当且仅当＝，即x＝30时等号成立， 所以a≥10．2． 故当该商品改革后的销售量a至少达到10．2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． 解不等式应用题的步骤 即时练3．(2021·北京高一月考)某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7 500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元(试剂的总产量为x单位，50≤x≤200)，则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为(　　) A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位 D　[设每生产单位试剂的成本为y， 因为试剂总产量为x单位，则由题意可知，原料总费用为50x元， 职工的工资总额为7 500＋20x元，后续保养总费用为x(x＋－30)元， 则y＝＝x＋＋40≥2＋40＝220， 当且仅当x＝，即x＝90时取等号， 满足50≤x≤200， 所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选D．] 1．当1≤x≤4时，若关于x的不等式2x2－8x－4－a>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a<－4} B．{a|a>－4} C．{a|a>－12} D．{a|a<－12} D　[原不等式2x2－8x－4－a>0可化为a<2x2－8x－4，由题意，可知只需当1≤x≤4时，a小于y＝2x2－8x－4的最小值，易得当1≤x≤4时，y＝2x2－8x－4的最小值是－12，所以a<－12．故选D．] 2．(2021·河南平顶山高三月考)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则x2＋x＋<0成立的一个必要不充分条件是(　　) A．－<x<3 B．－<x<0 C．－3<x< D．－1<x<6 D　[∵若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为， ∴－与3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a<0， ∴－＋3＝－，－×3＝， ∴b＝－a，c＝－a， ∴x2＋x＋<0可化为：x2－x－<0， 解得：－<x<3， A、B、C、D四个选项中，只有选项D满足：真包含， ∴x2＋x＋<0成立的一个必要不充分条件是D选项．故选D．] 3．当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围为 ． 解析：　令y＝x2＋mx＋4． ∵y<0在[1，2]上恒成立． ∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2． 如图， 得 ∴ ∴m的取值范围是{m|m<－5}． 答案：　(－∞，－5) 4．某施工单位在对一个长800 m，宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围． 解析：　设花坛的宽度为x m， 则草坪的长为(800－2x)m， 宽为(600－2x)m， 根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥×800×600． 整理得x2－700x＋60 000≥0， 解不等式得x≥600(舍去)或x≤100， 由题意知x>0，所以0<x≤100， 所以当x在(0，100]之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 课时作业(十三)　一元二次不等式的应用 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．(2021·云南砚山高一期末)已知不等式x2＋ax＋4≥0的解集为R，则a的取值范围是(　　) A．[－4，4] B．(－4，4) C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞) A　[因为不等式x2＋ax＋4≥0的解集为R， 所以Δ＝a2－4×1×4≤0， 解得－4≤a≤4， 所以a的取值范围是[－4，4]，故选A．] 2．若对任意1≤x≤2，有x2－a≤0恒成立，则a的取值范围是(　　) A．{a|a≤4} B．{a|a≥4} C．{a|a≤5} D．{a|a≥5} B　[满足题意时，a≥(x2)max，结合二次函数的性质和函数的定义域可得a≥4．故选B．] 3．一服装厂生产某种风衣，日产量为x(x∈N)件时，售价为p元/件，每天的总成本为R元，且p＝160－2x，R＝500＋30x，要使获得的日利润不少于1 300元，则x的取值范围为(　　) A．{x∈N|0<x<45} B．{x∈N|0<x≤45} C．{x∈N|0<x≤20} D．{x∈N|20≤x≤45} D　[由题意设日利润为y元，则y＝(160－2x)·x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，由y≥1 300，解得20≤x≤45，即x的取值范围为{x∈N|20≤x≤45}．故选D．] 4．(2021·广东珠海高一期末)若不等式ax2＋≥(a>0)恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|0<a≤9} B．{a|a≥9} C．{a|a≥} D．{a|0<a≤} C　[原不等式转化为a(x2＋1)＋≥，又a>0，则a(x2＋1)＋≥2＝2，当且仅当a(x2＋1)＝，即＝a时等号成立，则根据恒成立的意义可知2≥，解得a≥．] 5．(2021·山东滨州高一期末)已知集合A＝{t|t2－4≤0}，对于任意t∈A，使不等式x2＋tx－t>2x－1恒成立的x的取值范围为(　　) A．{x|x<1或x>3} B．{x|x<－1或x>3} C．{x|x<－1} D．{x|x>3} B　[由t2－4≤0，得－2≤t≤2，∴－1≤1－t≤3．不等式x2＋tx－t>2x－1对－2≤t≤2恒成立，即不等式x2＋(t－2)x＋1－t>0对－2≤t≤2恒成立，即不等式(x＋t－1)(x－1)>0对－2≤t≤2恒成立，∴只需或对－2≤t≤2恒成立，∴只需或对－2≤t≤2恒成立，∵－1≤1－t≤3，∴只需x>3或x<－1．故选B．] 6．(2021·山东泰安高一期末)若关于x的不等式x2＋2x＋a＋2>0的解集为R，则实数a的取值范围为 ． 解析：　∵不等式的解集为R，∴Δ＝4－4(a＋2)<0，即a>－1． 答案：　{a|a>－1} 7．纯农药液体一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药的浓度不超过28%，则桶的容积的取值范围是 ． 解析：　设桶的容积为x升，那么第一次倒出8升纯农药液体后，桶内还有(x－8)(x>8)升纯农药液体，用水补满后，桶内农药的浓度为．第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液体为升，此时桶内有纯农药液体升． 依题意，得x－8－≤28%·x ． 由于x>0，因此不等式化简为9x2－150x＋400≤0， 即(3x－10)(3x－40)≤0，解得≤x≤． 又x>8，所以8<x≤． 答案：　8<x≤ 8．已知x>0，y>0，且(x＋y)2－(5m－1)(x＋y)＋144≥0恒成立，则实数m的取值范围是 ． 解析：　因为x>0，y>0，所以x＋y>0，则(x＋y)2－(5m－1)(x＋y)＋144≥0恒成立⇔x＋y＋≥5m－1恒成立．又x＋y＋≥2＝24(当且仅当x＋y＝12时，等号成立)，所以5m－1≤24，解得m≤5，所以实数m的取值范围为{m|m≤5}． 答案：　{m|m≤5} 9．(2021·广东佛山高一期末)已知函数y＝ax2＋2x＋3(a∈R)． (1)当a＝－1时，求不等式y>0的解集； (2)解不等式y>0． 解析：　(1)当a＝－1时，y＝－x2＋2x＋3． y>0即－x2＋2x＋3>0，可化为x2－2x－3<0． 方程x2－2x－3＝0的根为：x1＝－1，x2＝3, 所以不等式的解为：－1<x<3． 因此y>0的解为{x|－1<x<3}． (2)ax2＋2x＋3>0 ①当a＝0时，不等式化为2x＋3>0，解得x>－． ②当a>0时，开口向上，此时Δ＝4－12a． (ⅰ)Δ<0，即a>时，方程ax2＋2x＋3＝0无解，不等式解为R． (ⅱ)Δ＝0，即a＝时，方程ax2＋2x＋3＝0有唯一解，x＝－3，不等式解为x≠－3． (ⅲ)Δ>0，即0<a<时，方程ax2＋2x＋3＝0有两解， x1＝，x2＝，且x1<x2， 不等式解为x<或x>． ③a<0时，开口向下，此时Δ＝4－12a，显然Δ>0，方程ax2＋2x＋3＝0有两解， x1＝，x2＝，且x1>x2． 不等式解为<x<． 综上所述， 当a<0时，不等式解集为{x<x<}； 当a＝0时，不等式解集为； 当0<a<时，不等式解集为 {x或x>}； 当a＝时，不等式解集为{x|x≠－3}； 当a>时，不等式解集为R． 10．(2021·甘肃省张掖市第一学期期末)设函数y＝x2＋ax－b． (1)若不等式x2＋ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，求不等式bx2－ax＋1≤0的解集； (2)当a＋b＝3时，x2＋ax－b≥0在x∈[0，1]上恒成立，求实数a的取值范围． 解析：　(1)因为不等式x2＋ax－b<0的解集是{x|2<x<3}， 所以x＝2，x＝3是方程x2＋ax－b＝0的解， 由韦达定理得：a＝－5 ，b＝－6． 故不等式bx2－ax＋1≤0为－6x2＋5x＋1≤0, 即6x2－5x－1≥0， 解得x≤－或x≥1， 解不等式6x2－5x＋1>0得其解集为． (2)当a＋b＝3时，b＝3－a，y＝x2＋ax－(3－a)＝x2＋ax＋a－3≥0在x∈上恒成立， 所以a≥， 令y＝，x∈[0，1]，则a≥()max， 令t＝x＋1，t∈[1，2]，则x＝t－1，y＝＝＝－t＋＋2， 又因为y＝－t＋＋2在[1，2]上为减函数， 所以当t＝1时，y＝－t＋＋2取最大值，且最大值为3， 所以y＝有最大值3． 所以a≥3， 所以实数a的取值范围为[3，＋∞)． [能力提升] 11．在R上定义运算⊗：A⊗B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．－1<a<1 B．0<a<2 C．－<a< D．－<a< C　[(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a<1对x∈R恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对x∈R恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＝4a2－4a－3<0，所以(2a－3)(2a＋1)<0，即－<a<．故选C．] 12．当x∈{x|1≤x≤5}时，不等式x2＋ax－2>0有解，则实数a的取值范围是 ． 解析：　由题知Δ＝a2＋8>0，且－2<0，所以方程x2＋ax－2＝0恒有一正一负两根．设y＝x2＋ax－2，作出函数的大致图象如图所示． 由图象知，不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解的充要条件是当x＝5时，y>0，即25＋5a－2>0，解得a>－． 答案：　 章末综合提升 素养一　逻辑推理 逻辑推理主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，逻辑推理在本章中主要体现在：(1)利用不等式的性质推得结论；(2)利用基本不等式推出有关结论． 题型一　不等式的性质及应用 (1)如果a<b<0，那么下列各式一定成立的是(　　) A．a－b>0 B．ac2<bc2 C．a2>b2 D．< (2)若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(　　) A．<b B．a2>b2 C．> D．a|c|>b|c| 解析：　(1)因为a<b<0，所以a－b<0，a＋b<0，>，所以(a－b)(a＋b)＝a2－b2>0，即a2>b2，故C项正确，A，D两项不正确．当c＝0时，ac2＝bc2，故B项不一定正确．故选C． (2)取a＝1，b＝－1，排除选项A；取a＝0，b＝－1，排除选项B；取c＝0，排除选项D；显然，>0，对不等式a>b的两边同时乘成立．故选C． 答案：　(1)C　(2)C 题型二　不等式的证明 已知a，b都是正数，且a＋b＝1，求证： ≥9． 证明：　∵a>0，b>0，且a＋b＝1， ∴＝ ＝＝5＋2 ≥5＋4＝9． 当且仅当＝，即a＝b＝时取“＝”． ∴≥9． 素养二　数学运算 数学运算是解决数学问题的基本手段．数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础．本章中数学运算主要体现在解不等式、求最值等． 题型三　解不等式 解下列关于x的不等式． (1)x(3－x)≤x(x＋2)－1； (2)x2－x＋1≤0(a>0)． 解析：　(1)原不等式可化为2x2－x－1≥0， 所以(2x＋1)(x－1)≥0， 故原不等式的解集为． (2)x2－x＋1≤0⇔(x－a)≤0． ①当0<a<1时，a<，不等式的解集为； ②当a＝1时，a＝＝1，不等式的解集为{1}； ③当a>1时，a>，不等式的解集为． 综上，当0<a<1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为{1}； 当a>1时，不等式的解集为． 题型四　利用基本不等式求最值 (1)若x∈{x|x>1}，则y＝3x＋的最小值是 ． (2)已知x>0，y>0，且x＋3y＝1，则的最小值是 ． 解析：　(1)∵x>1，∴x－1>0， 因此y＝3x＋＝3(x－1)＋＋3 ≥2＋3＝3＋2，当且仅当3(x－1)＝，即x＝＋1时取等号，因此y＝3x＋的最小值是3＋2． (2)x>0，y>0，且x＋3y＝1，＝＝＝＋4≥＋4＝2＋4．当且仅当x＝y，x＋3y＝1，即y＝＝，x＝＝时取等号．故的最小值是2＋4． 答案：　(1)3＋2　(2)2＋4 素养三　数学建模 数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．本章中数学建模主要体现在利用基本不等式及一元二次不等式解决实际问题． 题型五　构建一元二次不等式模型解决实际问题 某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是50(5x－＋1)元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于1 500元，则x的取值范围为 ． 解析：　根据题意，有2×50≥1 500， 即5x2－14x－3≥0， 解得x≥3或x≤－， 又1≤x≤10， 所以3≤x≤10． 答案：　{x|3≤x≤10} 题型六　构建基本不等式模型解决实际问题 (2020·广东广州荔枝湾高二期末)为满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体A1B1C1D1，该项目由矩形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD的面积为1 000 m2，绿化带的宽分别为2 m和5 m(如图所示)．当整个项目A1B1C1D1占地面积最小时，核心喷泉区的边BC的长度为(　　) A．20 m B．50 m C．10 m D．100 m B　[设BC＝x m，则CD＝ m， 所以S矩形A1B1C1D1＝(x＋10) ＝1 040＋4x＋≥1 040＋2＝1 440， 当且仅当4x＝，即x＝50时，等号成立， 所以当BC＝50 m时，整个项目占地面积最小．故选B．] 单元综合评价(二)　一元二次函数、方程和不等式 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．不等式x2≥2x的解集是(　　) A．{x|x≥2} B．{x|x≤2} C．{x|0≤x≤2} D．{x|x≤0或x≥2} D　[∵x2≥2x，∴x2－2x≥0．解方程x2－2x＝0得x1＝0，x2＝2． ∴不等式x2≥2x的解集是{x|x≤0或x≥2}．故选D．] 2．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则有(　　) A．M>N B．M≥N C．M<N D．M≤N A　[∵M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－5a＋6)＝a2＋a＋1＝＋>0，∴M>N．故选A．] 3．若<<0，则下列结论不正确的是(　　) A．a2<b2 B．ab<b2 C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b| D　[∵<<0，∴b<a<0， ∴b2>a2，ab<b2，a＋b<0，∴A，B，C中的结论均正确． ∵b<a<0，∴|a|＋|b|＝－a－b＝－(a＋b)＝|a＋b|，故D中的结论错误，故选D．] 4．若关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m≤－2或m≥2} B．{m|－2≤m≤2} C．{m|m<－2或m>2} D．{m|－2<m<2} B　[关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R， 所以Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2， 故选B．] 5．(2021·山东德州高一期末)某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件，那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为(　　) A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间 C　[设售价定为每件x元，利润为y， 则y＝(x－8)[100－10(x－10)]， 依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320， 即x2－28x＋192<0，解得12<x<16， 所以每件售价应定为12元到16元之间．] 6．设m>0，n>0，m＋n＝2，则的最小值是(　　) A． B．4 C． D．3 A　[＝＝＝＝＝＝＋．因为mn≤＝1，当且仅当m＝n＝1时取等号，所以的最小值是4＋＝．] 7．(2021·广东惠州高一期末)设a>b>c>0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是(　　) A．2 B．4 C．2 D．5 B　[∵a>b>c>0，∴原式＝a2＋＋－10ac＋25c2＋a2＝a2－ab＋＋ab＋＋(a－5c)2＝＋＋(a－5c)2≥2＋2＋0＝4．当且仅当a(a－b)＝1，ab＝1，a－5c＝0时取等号． ∴当a＝，b＝，c＝时，所求代数式取最小值，最小值为4．] 8．设正实数x，y满足x>，y>2，不等式＋≥m恒成立，则实数m的最大值为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 D　[设y－2＝a，3x－2＝b(a>0，b>0)， 则＋＝＋≥＋＝8≥16 ＝16，故m≤16．故选D．] 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．) 9．(2021·浙江金华第一中学高一开学考试)已知a>0，b>0，a＋b＝2，下列命题中真命题有(　　) A．a2＋b2≥2 B．≥4 C．＋＋≥3 D．＋≥8 ABCD　[a>0，b>0，a＋b＝2，则ab≤＝1, A，a2＋b2＝－2ab＝4－2ab≥2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故A正确； B，＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋≥4， 当且仅当a＝b＝1时取等号，故B正确； C，由选项B，可得1＋＋＋≥4， 所以＋＋≥3，当且仅当a＝b＝1时取等号，故C正确； D，＋＝a2＋＋2＋b2＋＋2 ＝4＋a2＋b2＋＋， 由a2＋b2≥2，＋≥≥2， 所以4＋a2＋b2＋＋≥8， 当且仅当a＝b＝1取等号，故D正确．故选ABCD．] 10．(2021·辽宁葫芦岛高一期中)已知a>0，b>0，则下列结论错误的是(　　) A．若a>b>1，则<1< B．若a>b，则ac2>bc2 C．若a＋b≤2，则ab≤1 D．若a>b>c>0，则ac<b2 ABD　[对于选项A，当a＝4，b＝2时，＝，＝，所以<<1，则选项A错误；对于选项B，当c＝0时，ac2＝bc2，则选项B错误；对于选项C，因为a>0，b>0，所以a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，所以2≤2，即ab≤1，则选项C正确；对于选项D，当a＝5，b＝2，c＝1时，ac＝5，b2＝4，所以ac>b2，则选项D错误．故选ABD．] 11．(2021·河北沧州市一中高一月考)已知关于x的不等式ax2＋bx＋4>0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是(　　) A．不等式ax2＋bx＋4>0的解集可以是{x|x>4} B．不等式ax2＋bx＋4>0的解集可以是R C．不等式ax2＋bx＋4>0的解集可以是∅ D．不等式ax2＋bx＋4>0的解集可以是{x|－1<x<4} BD　[选项A：假设结论成立，则解得则不等式为－x＋4>0，解得x<4，与解集是{x|x>4}矛盾，故选项A错误； 选项B：当a＝1，b＝0时，不等式x2＋4>0恒成立，则解集是R，故选项B正确； 选项C：当x＝0时，不等式ax2＋bx＋4＝4>0，则解集不可能为∅，故选项C错误； 选项D：假设结论成立，则解得符合题意，故选项D正确． 故选BD．] 12．(2021·福建上杭高三月考)设x>0，y>0，则下列结论正确的是(　　) A．函数y＝3x＋3－x的最小值为2 B．不等式(x＋y)(＋)≥4恒成立 C．函数y＝的最小值为 D．若＋＝1，则x＋2y的最小值是2 BD　[函数y＝3x＋3－x≥2，当且仅当x＝0时，取等号，所以表达式没有最小值，所以A不正确； 不等式(x＋y)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号，所以B正确． 函数y＝＝≤，所以当x＝1时，函数取得最大值，所以C不正确； 若＋＝1，则x＋2y＝(x＋1＋2y＋2)(＋)－3＝＋≥2，当且仅当y＝3－2，x＝4－5时，表达式的最小值是2，所以D正确．故选BD．] 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．) 13．(2021·广东清远高一期末)不等式－3x2＋5x－4>0的解集为 ． 解析：　原不等式变形为3x2－5x＋4<0． 因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0， 所以由函数y＝3x2－5x＋4的图象(图略)可知，3x2－5x＋4<0的解集为∅． 答案：　∅ 14．(2022·河北石家庄市第二十二中学高一月考)若不等式x2＋2x－1≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 ． 解析：　因为不等式x2＋2x－1≥a2－3a对任意实数x恒成立， 所以只需(x2＋2x－1)min≥a2－3a， x2＋2x－1＝(x＋1)2－2≥－2， 所以当x＝－1时，(x2＋2x－1)min＝－2， 所以a2－3a≤－2，解得1≤a≤2， 所以实数a的取值范围是1≤a≤2． 答案：　{a|1≤a≤2} 15．(2022·浙江省桐庐中学高一月考)已知a，b>0，若－b≤x2－ax＋b≤b的解集是[0，1]∪[3，a]，则ab＝ ． 解析：　令y＝x2－ax＋b， 因为当x＝0和x＝a时y＝b，所以方程－b＝x2－ax＋b的两个根为x1＝1，x2＝3， 所以1＋3＝a，1×3＝2b，即a＝4，b＝，检验符合，故ab＝4×＝6． 答案：　6 16．(2022·辽宁沈阳二中高一月考)已知x>，则函数y＝x－1＋的最小值为 ． 解析：　由x>得x－>0， 则函数y＝x－1＋＝x－＋＋≥ 2＋＝＋， 当且仅当x－＝，即x＝时取等号，此时函数取得最小值＋． 答案：　＋ 四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(10分)解下列不等式． (1)x2＋x－6≤0； (2)6－2x2－x<0． 解析：　(1)x2＋x－6＝(x＋3)(x－2)≤0，可得不等式的解集为：{x|－3≤x≤2}； (2)6－2x2－x＝(3－2x)(2＋x)<0，可得不等式的解集为：． 18．(12分)(2022·甘肃会宁县第一中学高一期中) (1)已知x>0，y>0，x＋2y＝2，求＋的最小值； (2)设0<x<3，求函数y＝的最大值． 解析：　(1)∵x>0，y>0且x＋2y＝2， ∴＋＝(＋)(x＋2y)＝(4＋＋)≥(4＋2 )＝4，当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立． ∴＋的最小值为4． (2)∵0<x<3，则6－2x>0， ∴y＝＝ ≤·＝，当且仅当x＝时等号成立． ∴y＝的最大值为． 19．(12分)(2021·河北联邦国际学校高一月考)已知不等式x2－x－m<0． (1)若m＝12，求不等式的解集； (2)若∀x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立，求实数m的取值范围． 解析：　(1)m＝12时，x2－x－12＝(x＋3)(x－4)<0，解得－3<x<4， 所以不等式的解集为(－3，4)． (2)依题意x2－x－m<0，m>x2－x在区间[－1，1]上恒成立， y＝x2－x的对称轴为x＝， －＝－，(－1)2－(－1)＝2，所以当－1≤x≤1时，y＝x2－x≤2， 所以m>2，即m的取值范围是(2，＋∞)． 20．(12分)(2021·湖南长沙一中高一月考)销售甲种商品所得利润是P万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式P＝；销售乙种商品所得利润是Q万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式Q＝bt．其中a，b为常数．现将3万元资金全部投入甲，乙两种商品的销售，若全部投入甲种商品，所得利润为万元；若全部投入乙种商品．所得利润为1万元．若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售．则所得利润总和为y万元 (1)求利润总和y关于x的表达式； (2)怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值． 解析：　(1)因为对甲种商品投资x万元，所以对乙种商品投资为3－x万元， 由题意知：y＝P＋Q＝＋b(3－x)， 当x＝3时，f(x)＝，当x＝0时，f(x)＝1， 则解得a＝3，b＝， 则y＝＋(3－x)，0≤x≤3． (2)由(1)可得y＝＋(3－x) ＝＋1－x ＝－≤－2＝，当且仅当x＝2时取等号， 故对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为万元． 21．(12分)(2021·辽宁葫芦岛高一期中)研发投入是技术创新的主要来源，企业加强对研发活动的支持，加大研发投入，有助于开发新的技术和产品，同时能够提高生产效率降低生产成本，从而在竞争中占据一定优势，促进企业绩效的提升，使得企业可持续发展．某企业的年利润y(千万元)与每年投入的研发费用x(百万元)之间的函数关系式为y＝． (1)当投入的研发费用x为多少时年利润最大？最大年利润是多少(精确到0．1千万元)? (2)若要求年利润不低于10千万元，试问每年投入的研发费用应该在什么范围内？ 解析：　(1)依题意有y＝＝≤＝＝， 当且仅当x＝40时，等号成立，最大年利润y＝≈12．4(千万元)． (2)由题意得≥10，整理得x2－100x＋1 600≤0，解得20≤x≤80． 故每年投入的研发费用应该不少于2千万元，不超过8千万元． 22．(12分)(2022·甘肃天水市秦安县第一中学高一期中)已知关于x的不等式2kx2＋kx－<0． (1)若k＝，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为R，求k的取值范围． 解析：　(1)当k＝时，原不等式为：x2＋x－<0，即2x2＋x－3<0，解得－<x<1， 所以不等式解集为(－，1)． (2)因为不等式2kx2＋kx－<0解集为R， 当k＝0时，－<0恒成立，则k＝0符合， 当k≠0时，二次函数y＝2kx2＋kx－的值永远小于0，则其图象总在x轴下方， 于是得 即解得－3<k<0， 综上得：－3<k≤0， 所以k的取值范围是：－3<k≤0． 3．1　函数 3．1．1　对函数概念的再认识 [课标解读]　1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．3．了解构成函数的要素．4．能求简单函数的定义域． 知识点一　函数的概念 函数的定义 设A，B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么就称f：A→B为定义于A取值于B的函数 函数的记法 y＝f(x)(x∈A，y∈B) 定义域 x称为自变量，x的取值范围A称为函数的定义域 值域 与x∈A对应的数y称为函数值，记作f(x)，所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域 [点拨]　对函数概念的3点说明 (1)当A，B为非空数集时，符号f：A→B表示从集合A到集合B的一个函数． (2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性． (3)符号“f”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样． 知识点二　同一个函数 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)＝g(x)时，叫作相等． [点拨]　自变量和因变量用什么字母表示与函数无关，不影响两个函数的关系．两个函数的关系是通过检验两个函数的定义域和对应关系是否相同来确定的．只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数，这就是说： (1)定义域不同，两个函数也就不同； (2)对应关系不同，两个函数也是不同的． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．(　　) (2)函数的定义域和值域一定是无限集合．(　　) (3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y．(　　) (4)在函数的定义中，集合B是函数的值域．(　　) 答案：　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．函数f(x)＝的定义域是(　　) A．{x|x<4} B．{x|x≤4} C．{x|x>4} D．{x|x≥4} A　[由4－x>0，解得x<4，所以原函数的定义域为{x|x<4}．] 3．若函数f(x)＝，则f(3)＝(　　) A．2 B．4 C．2 D．10 A　[∵f(x)＝，∴f(3)＝＝2．] 4．下图中能表示函数关系的是 (填序号)． 解析：　由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数． 答案：　①②④ 探究点一　函数概念的理解 (1)在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数是(　　) ①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝； ②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x； ③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→x2＋y2＝25； ④A＝R，B＝R，对应关系f：x→y＝x2； ⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y； ⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0． A．①⑤⑥ B．②④⑤⑥ C．②③④ D．①②③⑤ (2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形： 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：　(1)①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有数与它对应，所以不能确定y是x的函数．②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．③在对应关系f下，A中的数(除去5与－5外)在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．⑤A不是数集，所以不能确定y是x的函数．④⑥显然满足函数的特征，y是x的函数．故选D． (2)①中，因为在集合M中当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是，故选B． 答案：　(1)D　(2)B 1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A，B必须是非空数集． (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2．根据图形判断是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l． (2)在定义域内平行移动直线l． (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．　　 即时练1．(2021·甘肃省天水市秦安县第一中学高一期中)下列图象中表示函数图象的是(　　 ) C　[由函数定义可知，对于任意自变量x的值，都有唯一的函数值与其对应，结合四个选项可知，只有C符合要求，故选C．] 探究点二　求函数的定义域 求下列函数的定义域： (1)f(x)＝＋； (2)y＝； (3)y＝－＋． 解析：　(1)要使函数有意义，只需解得≤x≤，则函数的定义域为． (2)要使函数有意义，只需解得x>－2且x≠－1， 则函数y＝的定义域为{x|x>－2且x≠－1}， (3)要使函数有意义，只需解得－≤x<2且x≠0， 则函数y＝－＋的定义域为． 已知解析式求函数定义域的一般方法 (1)如果f(x)是整式，其定义域是实数集R(通常省略不写)； (2)如果f(x)是分式，其定义域是使分母不为0的实数集合； (3)如果f(x)是二次根式(偶次根式)，其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合； (4)如果f(x)是由以上几部分式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； (5)f(x)＝x0的定义域是{x|x∈R，且x≠0}． 　　 即时练2．(2021·广东潮州高一期末)若函数f(x)＝＋的定义域是(　　) A．[－1，3) B．[－1，＋∞) C．[－1，3)∪(3，＋∞) D．(3，＋∞) C　[要使函数有意义，则需满足不等式解得：x≥－1且x≠3， 故选C．] 探究点三　同一个函数的判断 判断下列各组函数是否表示同一个函数． (1)f(x)＝2x＋1与g(x)＝； (2)f(x)＝与g(x)＝x－1； (3)f(x)＝|x－1|与g(t)＝ (4)f(n)＝2n－1与g(n)＝2n＋1(n∈Z)． 解析：　(1)g(x)＝|2x＋1|， f(x)与g(x)的对应关系不同，因此是不同的函数； (2)f(x)＝x－1(x≠0)， f(x)与g(x)的定义域不同，因此是不同的函数； (3)f(x)＝ f(x)与g(t)的定义域相同，对应关系相同，因此表示同一个函数； (4)f(n)与g(n)的定义域和对应关系都不同，因此是不同的函数． 判断两个函数是否为同一个函数的三个步骤 [注意]　(1)在化简解析式时，必须是等价变形； (2)与用哪个字母表示无关．　　 即时练3．(多选)(2021·江苏省镇江中学高一月考)下列各组函数表示同一函数的是(　　) A．f(x)＝x，g(x)＝ B．f(x)＝x，g(x)＝ C．f(x)＝x－1(x≠－1)，g(x)＝ D．f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0 AC　[A中f(x)定义域是R，g(x)定义域是R，且g(x)＝＝x，是同一函数； B中f(x)定义域是R，g(x)定义域是R，但g(x)＝|x|，不是同一函数； C中f(x)定义域是{x|x≠－1}，g(x)定义域是{x|x≠－1}，且g(x)＝＝x－1(x≠－1)，是同一函数； D中f(x)定义域是R，g(x)定义域是{x|x≠0}，不是同一函数．故选AC．] 探究点四　求函数的值或值域 (1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝ ，f(g(2))＝ ． (2)求下列函数的值域： ①y＝x＋1；②y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)； ③y＝；④y＝2x－． 解析：　(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝． 又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6， ∴f(g(2))＝f(6)＝＝． (2)①(观察法)因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数值域是R． ②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)， 再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6)． ③(分离常数法)y＝＝＝3－． ∵≠0，∴y≠3， ∴y＝的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)． ④(换元法)设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为． 答案：　(1)　 1．求函数值的方法 (1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值； (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 2．求函数值域常用的4种方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； (2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；　　 (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； (4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法． 即时练4．已知函数f(x)＝－1，且f(a)＝3，则a＝ ． 解析：　因为f(x)＝－1，所以f(a)＝－1． 又因为f(a)＝3，所以－1＝3，a＝16． 答案：　16 即时练5．(2021·广东湛江高一期末)函数y＝x2＋x(－1≤x≤3)的值域是(　　) A．[0，12] B． C． D． B　[由y＝f(x)＝x2＋x＝－， 则函数的对称轴为x＝－，开口向上， 因为－1≤x≤3， 所以ymax＝f(3)＝32＋3＝12， ymin＝f＝－， 所以函数的值域为． 故选B．] 1．(2021·甘肃省天水市秦安县第一中学高一期中)函数f(x)＝＋的定义域是(　　 ) A．[2，3) B．(3，＋∞) C．[2，3)∪(3，＋∞) D．(2，3)∪(3，＋∞) C　[由题意，解得x≥2且x≠3．故选C．] 2．设f(x)＝，则＝(　　) A．1 B．－1 C． D．－ B　[＝＝＝×＝－1．] 3．(2021·甘肃省会宁县第一中学高一期中考试)下列函数表示同一函数的是(　　 ) A．f(x)＝，g(x)＝ B．f(x)＝|x|，g(x)＝ C．f(x)＝，g(x)＝x＋1 D．f(x)＝1，g(x)＝x0 B　[对于A，函数f(x)，g(x)的定义域都为R， f(x)＝＝x，g(x)＝＝|x|，所以函数f(x)，g(x)不是相等函数； 对于B，函数f(x)，g(x)的定义域都为R， g(x)＝＝|x|，所以函数f(x)，g(x)是相等函数； 对于C，函数f(x)的定义域为，函数g(x)定义域为R，所以函数f(x)，g(x)不是相等函数； 对于D，函数g(x)的定义域为，函数f(x)定义域为R，所以函数f(x)，g(x)不是相等函数．故选B．] 4．已知函数y＝的定义域是R，求实数m的取值范围． 解析：　①当m＝0时，y＝，其定义域是R，符合题意． ②当m≠0时，由定义域为R，可知 mx2－6mx＋9m＋8≥0对一切实数x均成立， 于是有解得m>0． 综上，可知实数m的取值范围是[0，＋∞)． 课时作业(十四)　对函数概念的再认识 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．(多选)(2021·浙江杭州高级中学高一期中)下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是(　　) A．M＝，N＝{－6，－3，1}, f()＝－6, f(1)＝－3, f()＝1 B．M＝N＝{x|x≥－1}, f(x)＝2x＋1 C．M＝N＝{1，2，3}, f(x)＝2x＋1 D．M＝Z，N＝{－1，1}, f(x)＝ ABD　[由函数的定义知，A正确；B中，任取x∈M，都有x≥－1，从而2x＋1≥－1，因此集合M中的每一个元素在集合N中都有唯一的元素与之对应，故B正确；C中，取x＝3∈M, f(x)＝2×3＋1＝7∉N，故C不正确；D中，M＝Z，N＝{－1，1}，当x为奇数时， f(x)＝－1，当x为偶数时， f(x)＝1，满足函数的定义，故D正确．故选ABD．] 2．(2021·甘肃省天水市秦安县第一中学高一期中)下列各组函数中，表示同一函数的是(　　 ) A．y＝x与y＝x B．y＝x与y＝ C．y＝与y＝x0 D．y＝x2与y＝(x＋1)2 C　[A．由于函数y＝x＝定义域是[0，＋∞)，y＝(x2)定义域是R，即两个函数的定义域不同，则A不对； B．由于函数y＝x，y＝＝|x|，即两个函数的解析式不同，则B不对； C．由于函数y＝＝1定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x0＝1定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，即两个函数的定义域，解析式相同，则C对； D．由于函数y＝x2与y＝(x＋1)2，即两个函数的解析式不同，则D不对．故选C．] 3．函数y＝＋的定义域是(　　) A．[0，1) B．(1，＋∞) C．(0，1)∪(1，＋∞) D．[0，1)∪(1，＋∞) D　[依题意，解得x≥0且x≠1，即函数的定义域为[0，1)∪(1，＋∞)，故选D．] 4．(2021·河北张家口一中高一上期中)若集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝}，则(　　) A．A＝B　　　 B．A∩B＝∅ C．A∩B＝A　　 D．A∪B＝A C　[由x－1≥0得x≥1，∴A＝{x|y＝}＝[1，＋∞)．由x－1≥0得≥0，∴B＝{y|y＝}＝[0，＋∞)．故AB，从而A∩B＝A，故选C．] 5．(2021·甘肃兰州一中高一月考)若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　) A．[0，8)　 B．(8，＋∞)　　 C．(0，8)　　 D．(－∞，0)∪(8，＋∞) A　[∵函数f(x)的定义域为R，∴不等式mx2－mx＋2>0的解集为R． ①当m＝0时，2>0恒成立，满足题意； ②当m≠0时，则解得0<m<8． 综上可得，实数m的取值范围是[0，8)．故选A．] 6．(2021·北京房山高一上期中)已知函数f(x)＝＋，则f(x)的定义域是 ， f(1)＝ ． 解析：　由题意得，解得x≥－1且x≠0， 所以f(x)的定义域是[－1，0)∪(0，＋∞)． f(1)＝＋＝＋1． 答案：　[－1，0)∪(0，＋∞)　＋1 7．(2021·黑龙江哈三中高一上第一次阶段性验收)若集合A＝{0，1，3，m}，B＝{1，4，a4，a2＋3a}，其中m∈N＋，a∈N＋， f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B是从定义域A到值域B的一个函数，则m＋a＝ ． 解析：　∵A＝{0，1，3，m}，B＝{1，4，a4，a2＋3a}，m∈N＋，a∈N＋， f：x→y＝3x＋1， ∴f(0)＝1, f(1)＝4, f(3)＝10, f(m)＝3m＋1． 当a4＝10时，a＝±，不满足a∈N＋， 当a2＋3a＝10时，a＝2或a＝－5(舍去)，故a＝2． 因此f(m)＝3m＋1＝a4＝16，∴m＝5， 从而m＋a＝7，故答案为7． 答案：　7 8．(2021·湖南长沙长郡中学高一上第一次模块检测)函数y＝2－的值域是 ． 解析：　∵－x2＋4x＝－(x－2)2＋4≤4，且－x2＋4x≥0，∴0≤－x2＋4x≤4，∴0≤≤2，∴－2≤－≤0，∴0≤2－≤2，故函数y＝2－的值域是[0，2]． 答案：　[0，2] 9．求下列函数的定义域： (1)y＝·； (2)y＝(x－1)0＋． 解析：　(1)由题意得，⇒x＝1， ∴函数的定义域为{1}． (2)由题意得，解得x>－1且x≠1， ∴函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}． 10．已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)． (1)求f(2)，g(3)的值； (2)求f(g(3))的值及f(g(x))． 解析：　(1)因为f(x)＝， 所以f(2)＝＝－． 因为g(x)＝x2－1，所以g(3)＝32－1＝8． (2)依题意，知f(g(3))＝f(8)＝＝－， f(g(x))＝＝＝(x≠0)． [能力提升] 11．(2021·湖北省黄冈市检测)规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12．6]＝12，[－3．5]＝－4，对任意实数x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1(g(x))． (1)分别求f1和f2； (2)求x的取值范围，使它同时满足f1(x)＝1，f2(x)＝3． 解析：　(1)∵x＝时，4x＝， ∴f1＝＝1，g＝－＝． ∴f2＝f1＝f1＝[3]＝3． (2)∵f1(x)＝[4x]＝1，g(x)＝4x－1， ∴f2(x)＝f1(4x－1)＝[16x－4]＝3． ∴解得≤x<． 故满足题意的x的取值范围为． 12．已知函数f(x)＝． (1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值； (2)由(1)中求得的结果，你发现f(x)与f有什么关系？并证明你的结论． 解析：　(1)∵f(x)＝， ∴f(2)＋f＝＋＝1， f(3)＋f＝＋＝1． (2)由(1)可发现f(x)＋f＝1． 证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1． 3．1．2　表示函数的方法 [课标解读]　1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．2．理解函数图象的作用． 知识点　函数的表示方法 　 [点拨]　函数三种表示法的优缺点比较 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)解析法可以表示任意的函数．(　　) (2)列表法表示y＝f(x)，y对应的那一行数字可能出现相同的情况．(　　) (3)在坐标平面上，一个图形就是一个函数图象．(　　) (4)任何一个函数都可以用列表法表示．(　　) (5)函数的图象一定是一条连续不断的曲线．(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× 2．函数y＝f(x)的关系如下表，则f(11)＝(　　) x 0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20 y 2 3 4 5 A．2 B．3 C．4 D．5 C　[由题表可知f(11)＝4，故选C．] 3．购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为(　　) A．y＝2x B．y＝2x(x∈R) C．y＝2x(x∈{1，2，3，…}) D．y＝2x(x∈{1，2，3，4}) D　[题中已给出自变量的取值范围，x∈{1，2，3，4}，故选D．] 4．已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为 ． 解析：　因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4， 令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)， 所以f(x)＝x2－4(x≥2)． 答案：　f(x)＝x2－4(x≥2) 探究点一　函数的三种表示方法 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 解析：　(1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法： (3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}． 函数的三种表示法的选择 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．　　 即时练1.2018年以来，我国的年度GDP数据如下表： 时间(年) 2018 2019 2020 2021 2022 GDP (万亿元) 91.93 98.65 101.36 114.92 121.02 设时间为n，与其对应的年度GDP为f(n)，那么f(2021)＝(　　) A．91.93 B．98.65 C．101.36 D．114.92 D　[由题意可得f(2021)＝114.92，故选D.] 探究点二　函数图象的作法及应用 作出下列函数的图象并求出其值域： (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； (2)y＝，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]． 解析：　(1)当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5]． (2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]． (3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分． 由图可得函数的值域是[－1，8]． 画函数图象的两种常见方法 (1)描点法 一般步骤： ①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； ②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点；　　 ③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． (2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等． 即时练2．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)． (1)画出f(x)图象的简图； (2)根据图象写出f(x)的值域． 解析：　(1)f(x)图象的简图如图所示． (2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，即f(x)的值域是[－1，3]． 探究点三　求函数的解析式 求下列函数的解析式： (1)若f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求f(x)的解析式． 解析：　(1)方法一(换元法) 设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)． ∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 方法二(配凑法) ∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1， ∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)(待定系数法)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 所以有3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， 因此应有解得 故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7． (3)(解方程组法或消元法) 因为2f(x)＋f＝3x，① 将x用替换，得2f＋f(x)＝，② 由①②解得f(x)＝2x－(x≠0)，即f(x)的解析式是f(x)＝2x－(x≠0)． 求函数解析式的四种常用方法 (1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可． (2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． (3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可． (4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． [提醒]　应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性． 即时练3．求下列函数的解析式： (1)已知函数f(x＋1)＝3x＋2，求f(x)； (2)已知f＝x2＋，求f(x)； (3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)． 解析：　(1)方法一(换元法)　令x＋1＝t，∴x＝t－1， ∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1， ∴f(x)＝3x－1． 方法二(配凑法)　f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)－1， ∴f(x)＝3x－1． (2)∵f＝x2＋＝＋2， ∴f(x)＝x2＋2(x≠0)． (3)∵f(x)＋2f＝x， 用代替x得f＋2f(x)＝， 两式联立消去f得f(x)＝－(x≠0)， ∴函数f(x)的解析式为f(x)＝－(x≠0)． 1．已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f[f(0)]＝(　　) A．2 B．4 C．0 D．3 C　[结合题图可得f(0)＝3，则f[f(0)]＝f(3)＝0．] 2．已知f(x－1)＝，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝1＋x C　[令x－1＝t，则x＝t＋1， ∴f(t)＝＝， ∴f(x)＝．] 3．(2021·河南省实验中学高一检测)已知函数f(x)满足f(x)＋2f()＝＋2，则函数f(x)的解析式为 ． 解析：　已知f(x)＋2f()＝＋2， 将原式中的x替换为， 得f()＋2f(x)＝x＋2， 于是得关于f(x)与f()的方程组 解得f(x)＝x－＋(x≠0)． 答案：　f(x)＝x－＋(x≠0) 4．已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)的表达式． 解析：　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(x＋1)＋f(x－1) ＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c ＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x， 所以，解得 所以f(x)＝x2－2x－1． 课时作业(十五)　表示函数的方法 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是(　　) A．(－∞，1)∪(1，＋∞) B．R C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1，0) C　[由图象，知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选C．] 2．(2021·北京丰台高一上期中)某家庭利用十一长假外出自驾游，为保证行车顺利，每次加油都把油箱加满，下表记录了该家庭用车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米) 2020年10月1日 12 32 000 2020年10月6日 48 32 600 (注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程) 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 (　　) A．6升 B．8升 C．10升 D．12升 B　[由题表中的信息可知，2020年10月1日油箱加满了油，此时的累计里程为32 000千米，到2020年10月6日，油箱加满油需要48升，说明这段时间的耗油量为48升，累计里程为32 600千米，说明这段时间内汽车行驶了600千米，则在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为＝8升．故选B．] 3．已知函数f(x)＝2x＋3，若f(g(x))＝6x－7，则函数g(x)的解析式为(　　) A．g(x)＝4x－10 B．g(x)＝3x－5 C．g(x)＝3x－10 D．g(x)＝4x＋4 B　[因为函数f(x)＝2x＋3，f(g(x))＝6x－7，所以f(g(x))＝2g(x)＋3＝6x－7，解得函数g(x)＝3x－5．故选B．] 4．(2021·石嘴山高一检测)已知f(x)＋2f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝(　　) A．－3x＋ B．－3x C．－3x＋1 D．－x＋ A　[因为f(x)＋2f(－x)＝3x＋1，所以f(－x)＋2f(x)＝－3x＋1，则f(x)＝－3x＋ ．故选A．] 5．(多选)已知f(2x＋1)＝x2，则下列结论正确的是 (　　) A．f(－3)＝4 B．f(x)＝ C．f(x)＝x2 D．f(3)＝9 AB　[f(2x＋1)＝x2，令t＝2x＋1，则x＝，所以f(t)＝()2＝，则f(x)＝，故B正确，C错误； f(－3)＝＝4，故A正确；f(3)＝＝1，故D错误．故选AB．] 6．(2021·甘肃省天水市秦安县第一中学高一期中)已知函数f(x－1)＝x2－2x＋2，则f(x)＝ ﹒ 解析：　令x－1＝t，则x＝t＋1，则f＝t2＋1， ∴f(x)＝x2＋1， 故答案为：x2＋1． 答案：　x2＋1 7．某企业生产某种产品时的能耗y与所生产的产品件数x之间的关系式为y＝ax＋，其中，当x＝2时，y＝100；当x＝7时，y＝35，且此产品生产件数不超过20．则y关于x的解析式为 ． 解析：　由题意知即解得 所以所求函数的解析式为y＝x＋(0<x≤20，且x∈N＋)． 答案：　y＝x＋(0<x≤20，且x∈N＋) 8．(2021·山东滨州高一上期中)已知函数f(2x－1)＝3x－5，若f(x0)＝4，则x0＝ ． 解析：　f(2x－1)＝3x－5，令2x－1＝t，则x＝， 则f(t)＝－5＝，∴f(x)＝， ∵f(x0)＝4，∴＝4，解得x0＝5． 答案：　5 9．(2021·山东菏泽一中等六校高一上第一次联考)(1)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝2且f(x＋1)＝f(x)＋2x＋2，求f(x)的解析式； (2)已知f()＝x＋2，求f(x)的解析式． 解析：　(1)由f(0)＝2，得c＝2， ∴f(x)＝ax2＋bx＋2，又f(x＋1)＝f(x)＋2x＋2， ∴ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋2＝ax2＋(b＋2)x＋4， ∴解得 ∴f(x)＝x2＋x＋2． (2)令t＝，则t≥0，∴f(t)＝t2＋2t，t≥0， ∴f(x)＝x2＋2x，x≥0． 10．函数y＝f(x)的图象如图所示． (1)求函数y＝f(x)的定义域； (2)求函数y＝f(x)的值域； (3)y为何值时，只有唯一的x值与之对应？ 解析：　(1)由题图知函数y＝f(x)的定义域为[－3，0]∪[1，4]． (2)由题图知函数y＝f(x)的值域为[－2，2]． (3)由题图知，当y∈(0，2]时，只有唯一的x值与之对应． [能力提升] 11．设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R，都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(2 021)＝ (　　) A．2 020 B．2 019 C．2 021 D．2 022 D　[f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2, f(0)＝1，当x＝0时， f(1)＝f(0)f(y)－f(y)＋2＝2，当y＝0时， f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2＝2，因此f(x)＝x＋1，所以f(2 021)＝2 022，故选D．] 12．(多选)(2021·江苏南通如东高一上期中)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L．E．J．Brouwer)，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，如果存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是(　　) A．f(x)＝＋x B．g(x)＝x2－x－3 C．f(x)＝ D．f(x)＝－x BCD　[对于选项A，当＋x0＝x0时，＝0，方程无解，所以函数f(x)＝＋x不是“不动点”函数；对于选项B，当x－x0－3＝x0时，解得x0＝3或x0＝－1，所以函数g(x)＝x2－x－3是“不动点”函数；对于选项C，当x0≤1时，2x－1＝x0，解得x0＝1或x0＝－；当x0>1时，|2－x0|＝x0，解得x0＝1(舍去)，所以函数f(x)＝是“不动点”函数；对于选项D，当－x0＝x0时，解得x0＝±，所以函数f(x)＝－x是“不动点”函数．故选BCD．] 3．1．3　简单的分段函数 [课标解读]　1．理解分段函数的概念．2．会求分段函数的函数值．3．能画简单的分段函数的图象． 知识点　分段函数 1．分段函数 一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数． 2．分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象． [点拨]　(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系． (2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围． (3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集．分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式． (4)分段函数的值域是各段函数在相应自变量的取值范围内值域的并集． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f(x)＝是分段函数．(　　) (2)分段函数在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数．(　　) (3)分段函数各段上的函数值集合的交集为∅．(　　) (4)分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集．(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(多选)下列给出的函数是分段函数的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ AD　[对于B，取x＝4，得f(4)＝5或16，对于C，取x＝1，f(1)＝5或1，所以BC都不合题意．] 3．f(x)＝则f(5)的值是(　　) A．24 B．21 C．18 D．16 A　[f(5)＝f(f(10))， f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝18＋3＝21， ∴f(5)＝f(21)＝21＋3＝24．故选A．] 4．某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0．5元，如果超过100千米，超过部分按每千米0．4元定价，则客运票价y(元)与行程x(千米)之间的函数关系式是 ． 解析：　根据行程是否大于100千米来求出解析式． 答案：　y＝ 探究点一　分段函数的求值问题 (2021·重庆市巴蜀中学检测)已知函数f(x)＝ (1)求f(f(f(－2)))的值； (2)若f(a)＝，求a． 解析：　(1)∵－2<－1， ∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1， ∴f(f(－2))＝f(－1)＝2， ∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝． (2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1； 当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，∴a＝±∈[－1，1]； 当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，∴a＝－>－1(舍去)． 综上，a＝2或a＝±． 1．分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知函数值求字母取值(范围)的步骤 (1)先将字母分情况代入解析式，列出方程(不等式)． (2)解方程(不等式)求字母的值(范围)，并检验是否符合字母的取值范围． (3)符合题意的所有值(范围的并集)即为所求．　　 即时练1．已知f(x)＝ (1)求f(f(f(5)))的值； (2)若f(a)＝－1，求实数a的值． 解析：　(1)∵5>4，∴f(5)＝－5＋2＝－3． ∵－3<0，∴f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1． 又0<1<4，∴f(f(f(5)))＝f(1)＝1－2＝－1． (2)当a＋4＝－1时，a＝－5<0， ∴a＝－5符合题意； 当a2－2a＝－1时，a＝1， ∵0<1<4，∴a＝1符合题意； 当－a＋2＝－1时，a＝3<4， ∴a＝3不符合题意． ∴a＝－5或a＝1． 探究点二　分段函数的定义域与值域 (1)已知函数f(x)＝，则其定义域为(　　) A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) (2)函数f(x)＝的定义域为 ，值域为 ． 解析：　(1)要使f(x)有意义，需x≠0， 故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)由已知得，f(x)的定义域为{x|0<x<1}∪{0}∪{x|－1<x<0}＝{x|－1<x<1}，即(－1，1)．又0<x<1时，0<－x2＋1<1，－1<x<0时，－1<x2－1<0，x＝0时，f(x)＝0，故值域为(－1，0)∪{0}∪(0，1)＝(－1，1)． 答案：　(1)D　(2)(－1，1)　(－1，1) 1．分段函数定义域、值域的求法 (1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集． 2．含绝对值的函数的定义域和值域通常要转化为分段函数来解决．　　 即时练2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的定义域为 ，值域为 ． 解析：　由已知得，f(x)的定义域为[－1，1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R，又x∈[－1，1]时，x2∈[0，1]，故函数的值域为[0，1]． 答案：　R　[0，1] 探究点三　分段函数的图象及应用 已知f(x)＝ (1)画出函数f(x)的图象； (2)求f(x)的定义域和值域． 解析：　(1)作出f(x)的图象，如图所示． (2)观察函数图象可知，函数f(x)的定义域为R，值域为[0，1]． 分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意分界点处点的虚实，保证不重不漏．　　 即时练3．设x∈R，则函数y＝2－3的值域为 ． 解析：　当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当0≤x＜1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x＜0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2． 故y＝ 根据函数解析式作出函数图象，如图所示．由图象可以看出，函数的值域为(－∞，2]． 答案：　(－∞，2] 探究点四　分段函数的实际应用 某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时． (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x)与g(x)的解析式； (2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？ 解析：　(1)由题意f(x)＝6x，x∈[12，30]， g(x)＝ (2)①12≤x≤20时，令6x＝90，解得：x＝15， 即当12≤x<15时，f(x)<g(x)， 当x＝15时，f(x)＝g(x)， 当15<x≤20时，f(x)>g(x)． ②当20<x≤30时，f(x)>g(x)， 故当12≤x<15时，选A俱乐部合算， 当x＝15时，两家俱乐部一样合算， 当15<x≤30时，选B俱乐部合算． 分段函数的实际应用 (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．　　 (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式． 即时练4．某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(min)与相应话费y(元)之间的函数图象如图所示． (1)当月通话时间为50 min时，应交话费多少元？ (2)求y与x之间的函数关系式． 解析：　(1)由题意，知当0≤x≤100时，可设函数的解析式为y＝k1x，由函数图象过点(100，40)，得100k1＝40，解得k1＝， 所以当0≤x≤100时，y＝x． 当月通话时间为50 min时，0<50<100， 所以应交话费y＝×50＝20(元)． (2)当x≥100时，设y与x之间的函数关系式为y＝k2x＋b，由题图，知当x＝100时，y＝40；当x＝200时，y＝60， 则有解得 所以当x>100时，y＝x＋20， 故所求函数关系式为y＝ 1．(2021·辽宁省实验中学高一期中)已知函数f(x)＝则f＝(　　) A． B． C．－ D． A　[由x≤0可知f＝－＋1＝>0，结合x>0的解析式可知f＝＋1＝．故f＝．] 2．某单位为鼓励职工节约用水，规定：每位职工每月用水量不超过10 m3的，按t元/m3(t>0)收费；用水量超过10 m3的，超过部分按2t元/m3收费．某职工每月缴水费16t元，则该职工这个月实际用水量为(　　) A．13 m3 B．14 m3 C．18 m3 D．26 m3 A　[该职工每月应缴水费y(单位：元)与实际用水量x(单位：m3)满足的关系式为y＝由y＝16t，可知x>10．令2tx－10t＝16t，解得x＝13．] 3．(2021·甘肃省天水市秦安县第一中学高一期中)已知函数f(x)＝则f(f(3))＝ ． 解析：　因为3<4，所以f＝9，因为9≥4，所以f(f(3))＝f(9)＝9－1＝8． 答案：　8 4．求函数f(x)＝的值域． 解析：　当x≤－2时，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4， ∴y≥－4； 当x>－2时，y＝，∴y>＝－1． ∴函数f(x)的值域是[－4，＋∞)． 课时作业(十六)　简单的分段函数 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．如图，将水注入下面四种高为H的容器中，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么容器的形状是(　　) A　[根据题意，考虑当向容器中注水高度为H的一半时，注水量V与水深h的函数关系如图所示，此时注水量V与容器容积关系是：V＜容器容积的一半．A选项符合题意．故选A．] 2．函数f(x)＝x2－2|x|的图象是(　　) C　[f(x)＝分段画出．故选C．] 3．(2021·天津部分区高一上期中)已知函数f(x)＝若f(a)≤5，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，1] B．[－5，5] C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－5]∪[5，＋∞) A　[∵f(a)≤5， ∴或 即或 ∴0≤a≤1或－1≤a<0，即－1≤a≤1．故a的取值范围是[－1，1]，故选A．] 4．(2021·甘肃省张掖市第一学期期末)已知f(x)＝则f(3)为(　　 ) A．－1 B．2 C．3 D．－1或3 C　[因为f(x)＝所以f(3)＝2×3－3＝3．故选C．] 5．(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的值域为(－∞，4) B．f(1)＝3 C．若f(x)＝3，则x的值是 D．f(x)<1的解集为(－1，1) AC　[当x≤－1时， f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时， f(x)的取值范围是[0，4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故A正确；当x＝1时， f(1)＝12＝1，故B错误；当x≤－1时，由x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，当－1<x<2时，由x2＝3，解得x＝或x＝－(舍去)，故C正确；当x≤－1时，由x＋2<1，解得x<－1，当－1<x<2时，由x2<1，解得－1<x<1，因此f(x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D错误．故选AC．] 6．(2021·河北衡水武邑中学高一上期中)已知f(x)＝(x∈N)，那么f(3)＝ ． 解析：　∵f(x)＝(x∈N)，∴f(3)＝f(3＋4)＝f(7)＝7－5＝2． 答案：　2 7．(2021·山东省实验中学高一上期中)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下： 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量(单位：千瓦时) 高峰电价(单位：元/千瓦时) 低谷月用电量(单位：千瓦时) 低谷电价(单位：元/千瓦时) 50及以下的部分 0．568 50及以下的部分 0．288 超过50但不超过200的部分 0．598 超过50但不超过200的部分 0．318 超过200的部分 0．668 超过200的部分 0．388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭5月份应付的电费为 元(用数字作答)． 解析：　高峰时间段的电费为50×0．568＋150×0．598＝28．4＋89．7＝118．1(元)， 低谷时间段的电费为50×0．288＋50×0．318＝14．4＋15．9＝30．3(元)， 故该家庭5月份的总电费为118．1＋30．3＝148．4(元)． 答案：　148．4 8．(2020·北京人大附中高一上期中)已知函数f(x)＝则方程f(x)＝x2的解集为 ． 解析：　方程f(x)＝x2等价于 或 解得x＝－1或x＝1，因此方程f(x)＝x2的解集为{－1，1}． 答案：　{－1，1} 9．(2021·广东清远高一期末)某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解下列问题： (1)求y关于x的函数解析式； (2)利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准． 解析：　(1)当0≤x≤100时，设函数解析式为y＝kx． 将x＝100，y＝65代入，得k＝0．65，所以y＝0．65x． 当x>100时，设函数解析式为y＝ax＋b． 将x＝100，y＝65和x＝130，y＝89代入， 得解得 所以y＝0．8x－15． 综上可得y＝ (2)由(1)知电力公司采取的收费标准为用户月用电量不超过100度时，每度电0．65元；超过100度时，超出的部分每度电0．80元． 10．(2020·北京通州高一上期末)下表为北京市居民用水阶梯水价表(单位：元/立方米)． 阶梯 户年用水量(立方米) 水价 其中 自来水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 0～180(含) 5．00 2．07 1．57 1．36 第二阶梯 180～260(含) 7．00 4．07 第三阶梯 260以上 9．00 6．07 (1)试写出水费y(元)与年用水量x(立方米)之间的函数解析式； (2)若某户居民一年交水费1 040元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各是多少． 解析：　(1)依题意得 y＝ 即y＝ (2)依题意得y＝1 040， 若x∈[0，180]，则5x＝1 040，解得x＝208，不合题意，舍去； 若x∈(180，260]，则7x－360＝1 040，解得x＝200，符合题意； 若x>260，则9x－880>1 040，不合题意． 故该用户当年用水量为200立方米． 因此，自来水费为2．07×180＋4．07×20＝454(元)，水资源费为1．57×200＝314(元)，污水处理费为1．36×200＝272(元)． [能力提升] 11．函数f(x)＝x＋的图象是(　　) C　[依题意，知f(x)＝x＋＝，所以函数f(x)的图象为选项C中的图象．故选C．] 12．新定义运算＝若f(x)＝，则f(f(－))＝ ． 解析：　由题意知f(x)＝ 且x≠0，所以f(x)＝ 所以f(－)＝(－)2－3×(－)＝， 所以f(f(－))＝f＝－()2＋3×＝． 答案：　 3．2　函数的基本性质 3．2．1　函数的单调性与最值 [课标解读]　1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性．2．理解单调性的作用和实际意义． 知识点一　函数的最值 设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空子集．如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点． 依照上面，同样可以写出f(x)的最小值和最小值点的定义．最大值和最小值统称为最值． [点拨]　(1)f(a)是f(x)的一个函数值，它是f(x)的值域中的一个元素． (2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤f(a)(f(x)≥f(a))． 知识点二　增函数、减函数的概念 设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集． (1)如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，就称f(x)是区间I上的增函数，也称f(x)在区间I上单调递增，如图(1)所示； (2)如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，就称f(x)是区间I上的减函数，也称f(x)在区间I上单调递减，如图(2)所示． 如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间． [点拨]　定义中的x1，x2有以下3个特征 (1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般； (2)有大小，通常规定x1<x2； (3)属于同一个单调区间． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有函数在定义域上都具有单调性．(　　) (2)任何函数都有最大(小)值．(　　) (3)函数的最大值一定比最小值大．(　　) (4)如果函数f(x)在区间I1上单调递减，在区间I2上也单调递减，那么f(x)在区间I1和I2上就一定是减函数．(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(多选)下列函数在(－∞，0)上为增函数的是(　　) A．y＝|x|＋1 B．y＝ C．y＝－ D．y＝x＋ CD　[y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数，故选CD．] 3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为(　　) A．[－3，1]∪[1，4] B．[－5，－3]∪[－1，1] C．[－3，－1]，[1，4] D．[－5，－3]，[－1，1] C　[在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4)．] 4．若函数f(x)＝则f(x)的最大值为 ． 解析：　当x∈[1，2]时，f(x)单调递增，其最大值为f(2)＝10； 当x∈[－4，1)时，f(x)单调递减，其最大值为f(－4)＝11．故函数f(x)的最大值为11． 答案：　11 探究点一　函数单调性的证明 利用定义证明下列函数的单调性： (1)f(x)＝x3在R上是增函数； (2)f(x)＝在[0，＋∞)上是增函数． 证明：　(1)任取R上的两个实数x1，x2，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x－x＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x)＝(x1－x2)[(x1＋x2)2＋x]， ∵x1<x2，∴x1－x2<0，又(x1＋x2)2≥0，x≥0，且x1＝x2＝0时等号同时成立， ∴(x1＋x2)2＋x>0，∴f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，∴f(x)＝x3在R上是增函数． (2)任取[0，＋∞)上的两个实数x1，x2，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝． ∵0≤x1<x2，∴x1－x2<0，＋>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)＝在[0，＋∞)上是增函数． 利用定义证明函数单调性的4个步骤 　　 即时练1．已知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)>0，f(3)＝1．试判断g(x)＝f(x)＋在(0，3]上的单调性，并加以证明． 解析：　函数g(x)在(0，3]上单调递减． 证明如下： 任取x1，x2∈(0，3]，且x1<x2，则g(x1)－g(x2) ＝[f(x1)＋]－[f(x2)＋] ＝[f(x1)－f(x2)][1－]． 因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(x1)－f(x2)<0． 又f(x)>0，f(3)＝1， 所以0<f(x1)<f(x2)≤f(3)＝1， 则0<f(x1)f(x2)<1，>1， 即1－<0， 所以g(x1)－g(x2)>0，g(x1)>g(x2)． 故g(x)＝f(x)＋在(0，3]上单调递减． 探究点二　求函数的单调区间 求函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间和单调减区间． 解析：　y＝－x2＋2|x|＋3 ＝ 函数图象如图所示． 由图象可知： 函数在(－∞，－1]，[0，1]上单调递增， 函数在[－1，0]，[1，＋∞)上单调递减． 所以函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间是[－1，0]，[1，＋∞)． 函数单调区间的两种求法 [注意]　一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．　　 即时练2．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4，7]的图象，则函数f(x)的单调增区间是 ． 解析：　由图象知单调增区间为[－1．5，3]和[5，6]． 答案：　[－1．5，3]和[5，6] 探究点三　由函数单调性求参数的值(范围) (1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是 ； (2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为 ． 解析：　(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4．∴实数a的取值范围为(－∞，－4]． (2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 且f(2x－3)>f(5x－6)， ∴2x－3>5x－6，即x<1． ∴实数x的取值范围为(－∞，1)． 答案：　(1)(－∞，－4]　(2)(－∞，1) 1．利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 2．已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法 (1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围； (2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围． 即时练3．若函数f(x)＝，x∈(－∞，－1)是减函数，则实数a的取值范围是 ． 解析：　f(x)＝＝a－． 设x1<x2<－1， 则f(x1)－f(x2)＝(a－)－(a－)＝－＝． ∵函数f(x)，x∈(－∞，－1)是减函数， ∴f(x1)－f(x2)>0． ∵x1<x2<－1， ∴x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0， ∴a＋1<0，即a<－1． 故实数a的取值范围是(－∞，－1)． 答案：　(－∞，－1) 探究点四　函数的最值 已知函数f(x)＝x＋． (1)证明：f(x)在(1，＋∞)内是增函数； (2)求f(x)在[2，4]上的最值． 解析：　(1)证明：设对于任意x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)·＝． ∵x2>x1>1，∴x1－x2<0， 又∵x1x2>1，∴x1x2－1>0， 故(x1－x2)·<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在(1，＋∞)内是增函数． (2)由(1)可知f(x)在[2，4]上是增函数， ∴当x∈[2，4]时，f(2)≤f(x)≤f(4)． 又f(2)＝2＋＝，f(4)＝4＋＝， ∴f(x)在[2，4]上的最大值为，最小值为． 1．图象法求函数最值的一般步骤 2．单调性法求函数的最值 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值为ymin＝f(a)，最大值为ymax＝f(b)． (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值为ymin＝f(b)，最大值为ymax＝f(a)．　　 即时练4．函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值、最小值分别为(　　) A．3，0 B．3，1 C．3，无最小值 D．3，－2 C　[观察题中图象可知，图象的最高点坐标是(0，3)，从而其最大值是3；图象无最低点，即该函数不存在最小值，故选C．] 即时练5．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a(x∈[0，2])有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　) A．4 B．6 C．1 D．2 B　[f(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1(x∈[0，2])为增函数，所以最小值为f(0)＝a＝－2，最大值为f(2)＝8＋a＝6．] 1．函数f(x)的部分图象如图所示，则此函数在[－2，2]上的最小值、最大值分别是(　　) A．－1，3 B．0，2 C．－1，2 D．3，2 C　[当x∈[－2，2]时，由题图可知， x＝－2时，f(x)的最小值为f(－2)＝－1； x＝1时，f(x)的最大值为2．故选C．] 2．若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围为(　　) A．[，) B．(0，) C．[，＋∞) D．(－∞，]∪[，＋∞) A　[要使f(x)是减函数，需满足： 解得≤a＜．] 3．函数y＝f(x)在R上单调递增，且f(m2)>f(－m)，则实数m的取值范围是 ． 解析：　由函数y＝f(x)在R上单调递增，且f(m2)>f(－m)，得m2>－m，结合二次函数y＝m2＋m的图象(图略)，解得m<－1或m>0． 答案：　(－∞，－1)∪(0，＋∞) 4．已知函数f(x)＝，x∈[3，5]． (1)判断函数f(x)的单调性并证明； (2)求函数f(x)的最大值和最小值． 解析：　(1)f(x)是增函数，证明如下： 任取x1，x2∈[3，5]且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝， 因为3≤x1<x2≤5， 所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． 所以f(x)在[3，5]上为增函数． (2)由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数， 则f(x)max＝f(5)＝，f(x)min＝f(3)＝． 课时作业(十七)　函数的单调性与最值 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．函数y＝f(x)在区间[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是(　　) A．[－2，0] B．[0，1] C．[－2，1] D．[－1，1] C　[由图可知，函数的增区间是[－2，1]．故选C．] 2．函数y＝的减区间是(　　) A．[0，＋∞)　 B．(－∞，0] C．(－∞，0)，(0，＋∞)　 D．(－∞，0)∪(0，＋∞) C　[由图象知单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．] 3．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)的是(　　) A．f(x)＝x2　 B．f(x)＝ C．f(x)＝|x|　 D．f(x)＝2x＋1 B　[由x1<x2时，f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数的函数．A选项，f(x)＝x2在(0，＋∞)上为增函数，不符合题意．B选项，f(x)＝在(0，＋∞)上为减函数，符合题意．C选项，f(x)＝|x|在(0，＋∞)上为增函数，不符合题意．D选项，f(x)＝2x＋1在(0，＋∞)上为增函数，不符合题意．故选B．] 4．(2021·甘肃省天水市秦安县第一中学高一期中)若函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围为(　　 ) A． B． C． D． D　[当a＝0时，f(x)＝2x－3在上单调递增，满足题意； 当a≠0时，要使f(x)在上单调递增，则满足解得－≤a<0， 综上，实数a的取值范围为．故选D．] 5．(2021·广东佛山市顺德区郑裕彤中学高一月考)已知函数f(x)对∀x1，x2∈(0，＋∞)，都有<0，且f(2－2m)>f(1＋m)，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． C　[因为对∀x1，x2∈(0，＋∞)，都有<0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 因为f(2－2m)>f(1＋m)， 所以解得m∈，故选C．] 6．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1，2]上具有单调性，则实数a的取值范围为 ． 解析：　∵函数y＝x2－2ax－3 在区间[1，2]上具有单调性，函数y＝x2－2ax－3的对称轴为x＝a，∴a≤1或a≥2， 故a的取值范围为{a|a≤1或a≥2}． 答案：　(－∞，1]∪[2，＋∞) 7．(2021·广东佛山高一期末)若函数f(x)＝(4－x)·(x－2)在区间(2a，3a－1)上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 解析：　f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴为x＝3， ∴解得1<a≤． 故a的取值范围是(1，]． 答案：　(1，] 8．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，若f(x)在[，2]上的值域为[，2]，则a＝ ． 解析：　由题意知函数f(x)＝－(a>0，x>0)在[，2]上单调递增， ∴即解得a＝． 答案：　 9．(2021·江苏徐州六县高一上期中)已知函数f(x)＝ (1)请在给定的坐标系中画出此函数的图象； (2)写出此函数的定义域、单调区间及值域(不需要写过程)． 解析：　(1)函数f(x)的图象如图所示： (2)函数f(x)的定义域为R，单调递增区间为(－∞，－3)和(－1，0)，单调递减区间为(－3，－1)和(0，＋∞)，值域为R． 10．(2021·甘肃省天水市秦安县第一中学高一期中)已知函数f(x)＝x＋． (1)判断f(x)在(2，＋∞)上的单调性并用定义证明； (2)求f(x)在[1，4]的最大值和最小值，及其对应的x的取值． 解析：　(1)f(x)在(2，＋∞)上单调递增，理由如下：任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝x1－x2＋＝(x1－x2)()，因为x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2，故x1－x2<0，且x1x2－4>0，所以f(x1)－f(x2)<0，故f(x)在(2，＋∞)上的单调递增． (2)由(1)知，f(x)在(2，＋∞)单调递增，同理可证，f(x)在(0，2)上单调递减，故f(x)在[1，2)上单调递减，在[2，4]上单调递增，故f(x)的最小值在x＝2处取到，f(x)min＝f(2)＝2＋2＝4，又f(1)＝1＋4＝5，f(4)＝4＋1＝5，综上：f(x)的最大值为5，对应的x值为1或4，f(x)的最小值为4，对应的x＝2． [能力提升] 11．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{－x－4，x－6}，则f(x)的最大值为(　　) A．－4　 B．－5 C．－6　 D．－10 B　[由题意，函数f(x)＝ 当x≥1时，函数f(x)为减函数；当x<1时，函数f(x)为增函数． 所以当x＝1时，函数f(x)取最大值，最大值为f(1)＝－5． 故选B．] 12．若函数y＝－x＋t在区间[0，2]上恒为正数，则实数t的取值范围是 ． 解析：　因为－1<0，所以函数y＝－x＋t在区间[0，2]上单调递减， 所以当x＝2时，ymin＝t－2，因为函数在区间[0，2]上恒为正数，所以t－2>0，即t>2． 答案：　(2，＋∞) 3．2．2　函数的奇偶性 [课标解读]　结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． 知识点　函数的奇偶性 1．偶函数 (1)定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x) 成立，则称F(x)为偶函数． (2)图象特征：图象关于y轴对称． 2．奇函数 (1)定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)为奇函数． (2)图象特征：图象关于原点对称． [点拨]　关于奇偶函数的两点说明 (1)奇偶函数定义的等价形式． 奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0，偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0． (2)函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称． 一个函数不论是奇函数还是偶函数，定义域必须关于原点对称，否则这个函数就不满足是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．例如y＝ ，定义域为[0，＋∞)，不具有奇偶性． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．(　　) (2)奇函数的图象一定过原点．(　　) (3)对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数．(　　) (4)若对于定义域内的任意一个x，都有函数f(x)＋f(－x)＝0，则函数f(x)是奇函数．(　　) 答案：　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝2x2－3 B．y＝x3 C．y＝x2，x∈[0，1] D．y＝x A　[对于A，f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)， ∴f(x)是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A．] 3．已知f(x)＝x3＋2x，则f(a)＋f(－a)的值是(　　) A．0 B．－1 C．1 D．2 A　[f(－x)＝－x3－2x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，则f(a)＋f(－a)＝0．] 4．下列图象表示的函数是奇函数的是 ，是偶函数的是 (填序号)． 解析：　①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数． 答案：　②④　①③ 探究点一　函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|； (3)f(x)＝ 解析：　(1)由1－x2≥0，得－1≤x≤1， 又|x＋2|－2≠0，∴x≠0，且x≠－4，因此函数f(x)的定义域为D＝{x|－1≤x≤1，且x≠0}， ∴函数f(x)的定义域关于原点对称，且x＋2>0， ∴f(x)＝＝， 于是任取x∈D，都有f(－x)＝ ＝－＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． (2)函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定义域为实数集R，关于原点对称． 因为f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝|x－2|＋|x＋2|＝f(x)，所以函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|是偶函数． (3)函数的定义域为D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．任取x∈D， 当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－＝＝f(x)； 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝＝－＝f(x)． 综上可知，函数f(x)＝是偶函数． 判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法 (2)图象法 [注意]　对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式．　　 即时练1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x2(x2＋2)； (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； (3)f(x)＝． 解析：　(1)∵x∈R，关于原点对称， 又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． (2)∵x∈R，关于原点对称， 又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1| ＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|) ＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． (3)f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称， 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数． 探究点二　奇偶函数的图象 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x．现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补出完整函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的递增区间； (3)根据图象写出使y＝f(x)<0的x的取值范围． 解析：　(1)由题意补全函数图象如图： (2)据图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)． (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值范围为(－2，0)∪(0，2)． 1．巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性； (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上的图象； (3)根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称作出函数在(－∞，0](或[0，＋∞))上的图象． 2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)应用类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题． (2)处理策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．　　 即时练2．如图，给出奇函数y＝f(x)的部分图象，则f(－2)＋f(－1)的值为(　　) A．－2 B．2 C．1 D．0 A　[由奇函数的性质可知，f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2．] 探究点三　利用函数的奇偶性求参数 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝ ，b＝ ． (2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝ ． 解析：　(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝． 又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0． (2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0． 答案：　(1)　0　(2)0 利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数． (2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．　　 即时练3．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　) A． B． C． D．1 A　[∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)， ∴＝，∴1＋a＝3(1－a)， 解得a＝，故选A．] 1．(多选)下列说法不正确的是(　　) A．偶函数的图象一定与y轴相交 B．若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0 C．奇函数y＝f(x)的图象一定过原点 D．图象过原点的奇函数必是单调函数 ACD　[A项，若定义域不包含0，则图象与y轴不相交；C项，若定义域不包含0，则图象不过原点；D项，奇函数不一定是单调函数．故选ACD．] 2．(2021·武汉高一检测)函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝(　　) A．－1 B．1 C．－ D． C　[由题意得f(x)为奇函数，则f(0)＝0，即0＋2a＋3＝0，所以a＝－，此时f(x)＝为奇函数．] 3．若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝ ，f(0)＝ ． 解析：　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0． 答案：　－2　0 4．已知函数f(x)＝x＋(a>0)． (1)若f(1)＝3，求a的值； (2)判断函数f(x)的奇偶性并证明． 解析：　(1)由题意知，f(1)＝1＋a＝3， 所以a＝2>0满足题意． (2)函数f(x)为奇函数，证明如下： 函数f(x)＝x＋(a>0)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且关于原点对称． 又因为f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数． 课时作业(十八)　函数的奇偶性 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．(2021·黑龙江高一上阶段性验收)下列函数是偶函数的是(　　) A．f(x)＝x3－ B．f(x)＝ C．f(x)＝(x－1) D．f(x)＝|2x＋5|＋|2x－5| D　[在选项A中，f(x)＝x3－(x≠0), f(－x)＝－x3＋，f(－x)＝－f(x)，是奇函数；在选项B中，f(x)＝＝(－1≤x≤1，x≠0)，f(－x)＝， f(－x)＝－f(x)，是奇函数；在选项C中，f(x)＝(x－1)·(－1≤x<1)，是非奇非偶函数；在选项D中，f(x)＝|2x＋5|＋|2x－5|(x∈R), f(－x)＝|－2x＋5|＋|－2x－5|＝|2x＋5|＋|2x－5|, f(x)＝f(－x)，是偶函数，故选D．] 2．(2021·甘肃省天水市秦安县第一中学高一期中)已知f(x)是奇函数，当x∈时，f(x)＝x2－x，则f＝(　　 ) A．2 B．－2 C．4 D．－4 B　[因为f(x)是奇函数， 所以f＝－f＝－＝－2．故选B．] 3．奇函数y＝f(x)的局部图象如图所示，则(　　) A．f(2)＞0＞f(4) B．f(2)＜0＜f(4) C．f(2)＞f(4)＞0 D．f(2)＜f(4)＜0 A　[由题意可知，函数的图象如图： 可知f(2)＞0＞f(4)．] 4．若奇函数f(x)在x∈(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有(　　) A．最大值－　 B．最大值 C．最小值－　 D．最小值 B　[方法一(奇函数的图象特征)：当x<0时，f(x)＝x2＋x＝ 2 － ， 所以f(x)有最小值－ ，因为f(x)是奇函数， 所以当x>0时，f(x)有最大值． 方法二(直接法)：当x>0时，－x<0， 所以f(－x)＝－x(1－x)．又f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－ 2 ＋ ， 所以f(x)有最大值．] 5．(2021·广东佛山高一期末)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f 的x的取值范围是(　　) A．　 B． C．　 D． A　[由题意得|2x－1|< ⇒－ <2x－1< ⇒ <2x< ⇒ <x<．] 6．已知函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(x＋2)＝f(x)＋1，则f(3)等于 ． 解析：　因为f(x)为奇函数，令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋1＝－f(1)＋1，所以f(1)＝． 令x＝1，得f(3)＝f(1)＋1＝ ＋1＝． 答案：　 7．(2021·青岛高一检测)已知定义在(－∞，＋∞)的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(－1)＝－，若f(2x－1)≥－ ，则x取值范围是 ． 解析：　因为偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(－1)＝－ ，根据偶函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(1)＝－ ，由f(2x－1)≥－ ，得f(|2x－1|)≥f(1)，即|2x－1|≤1，可得－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1． 答案：　[0，1] 8．(2021·北京人大附中高一上期中)奇函数f(x)的定义域为(－1，1), f(x)在第一象限的图象是圆心在原点，半径为1的圆弧，如图所示，则不等式f(x)<x的解集为 ． 解析：　因为奇函数f(x)的定义域为(－1，1)，且f(x)在第一象限的图象是圆心在原点，半径为1的圆弧，所以函数f(x)的图象如图所示， 当f(x)＝x时，解得x＝或x＝－， 由图知，不等式f(x)<x的解集为(－，0)∪(，1)． 答案：　(－，0)∪(，1) 9．(2021·江苏苏州高一期中)已知函数f(x)＝为奇函数． (1)求f(2)和实数a的值； (2)求方程f(x)＝f(2)的解． 解析：　(1)设x>0，则－x<0． 当x≤0时，f(x)＝－x2－4x， 则f(－x)＝－(－x)2－4(－x)＝－x2＋4x， 因为f(－x)＝－f(x)＝－x2＋4x， 所以f(x)＝x2－4x＝x2＋ax， 所以a＝－4，则f(2)＝－4． (2)原方程等价于或 解得x＝2或x＝－2－2． 10．(2021·甘肃省会宁县第一中学高一期中)已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f(1)＝． (1)求f(x)的解析式； (2)若实数t满足f(2t－1)＋f(t－1)<0，求实数t的范围． 解析：　(1)函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数， ∴f(0)＝0，∴b＝0， 又f(1)＝，a＝1， ∴f(x)＝． (2)由f(x)＝， 设－1<x1<x2<1，则x2－x1>0， 于是f(x2)－f(x1)＝－ ＝， 又因为－1<x1<x2<1， 则1－x1x2>0，x＋1>0，x＋1>0 ∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， 所以f(x)在(－1，1)上单调递增， 又∵f(2t－1)＋f(t－1)<0， ∴f(2t－1)<－f(t－1)， 又由函数在(－1，1)上是奇函数， ∴f(2t－1)<f(1－t)， ∵f(x)在(－1，1)上单调递增， 所以解不等式组可得0<t<， 综上可得：0<t<． [能力提升] 11．(2021·山东省实验中学高一上期中)设函数f(x)的定义域为(－1，1)，且满足： ①x∈(－1，0)时， f(x)>0； ②f(x)＋f(y)＝f()，x，y∈(－1，1)． 则f(x)是 函数(填“奇”或“偶”)，且f(x)在定义域上是 函数(填“增”或“减”)． 解析：　f(x)＋f(y)＝f()， 令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝f(0)，所以f(0)＝0， 令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，又因为x∈(－1，1)， 所以f(x)为奇函数． 任取x1，x2∈(－1，0)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f()， 因为－1<x1<x2<0，所以x1－x2<0，0<x1x2<1，所以1－x1x2>0， 所以<0，因为＋1＝>0，所以>－1，所以－1<<0， 由条件①得f()>0， 所以f(x1)－f(x2)>0， 所以f(x)在(－1，0)上是减函数， 又f(x)为奇函数， 在(－1，0)上f(x)>0， 所以f(x)在(－1，1)上是减函数． 答案：　奇　减 12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－5x，则f(x)＝ ，不等式f(x－2)＞f(x)的解集为 ． 解析：　因为f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－5x， 所以x＜0时，－x＞0， 所以f(－x)＝(－x)2＋5x＝x2＋5x＝－f(x)， 所以f(x)＝－x2－5x， 故f(x)＝ 因为f(x－2)＞f(x)， ①x－2≥0即x≥2时，(x－2)2－5(x－2)＞x2－5x， 解得x< ，此时2≤x<． ②x＜0时，－(x－2)2－5(x－2)＞－x2－5x， 解得x＞－ ，此时－ <x<0． ③当0≤x＜2时，－(x－2)2－5(x－2)＞x2－5x， 解得－1＜x＜3，此时0≤x＜2． 综上可得－ <x<． 答案：　　 章末综合提升 素养一　数学运算 数学运算主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．本章中求函数的定义域、值域及解析式都体现学科素养中的数学运算． 题型一　函数的定义域 (1)函数f(x)＝的定义域为(　　) A．[3，＋∞) B．[3，4)∪(4，＋∞) C．(3，＋∞) D．[3，4) (2)已知函数f(x)的定义域为[－2，2]，函数g(x)＝，则函数g(x)的定义域为(　　) A． B．(－1，＋∞) C．∪(0，3) D． 解析：　(1)因为函数f(x)＝， 所以，解得：3≤x<4或x>4， 所以函数f(x)＝的定义域为[3，4)∪(4，＋∞)． (2)由题可得解得－<x≤3，即函数g(x)的定义域为，故选A． 答案：　(1)B　(2)A 题型二　函数的值域(值) (1)已知函数f(x)＝，其定义域是[－8，－4)，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)有最大值，无最小值 B．f(x)有最大值，最小值 C．f(x)有最大值，无最小值 D．f(x)有最大值2，最小值 (2)已知函数f(x)的值域是，则g(x)＝f(x)－2的值域为 ． 解析：　(1)f(x)＝＝＝2＋，所以f(x)在[－8，－4)上为减函数，所以f(x)max＝f(－8)＝，无最小值．故选A． (2)因为f(x)∈， 所以∈， 设＝t∈， 所以g(t)＝t2－2t＝(t－1)2－1∈[－1，0]， 所以函数g(x)的值域为[－1，0]． 答案：　(1)A　(2)[－1，0] 题型三　函数的解析式 (1)已知f(x＋1)＝x2－5x＋4，则f(x)＝ ； (2)如图所示的函数f(x)的图象，则f(x)＝ ． 解析：　(1)令x＋1＝t， 则x＝t－1， 因为f(x＋1)＝x2－5x＋4， 所以f(t)＝(t－1)2－5(t－1)＋4＝t2－7t＋10， 所以f(x)＝x2－7x＋10． (2)当－3≤x<－1时，函数f(x)的图象是一条线段(右端点除外)，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，将点(－3，1)，(－1，－2)代入，可得f(x)＝－x－； 当－1≤x<1时，同理，可设f(x)＝cx＋d(c≠0)，将点(－1，－2)，(1，1)代入，可得f(x)＝x－； 当1≤x<2时，f(x)＝1． 综上所述，f(x)＝ 答案：　(1)x2－7x＋10 (2) 素养二　直观想象 直观想象主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．本章主要体现在利用函数的图象研究函数的性质． 题型四　函数图象的识别及应用 定义运算a⊗b＝设函数f(x)＝x⊗(x＋1)，则该函数的图象应该是(　　) C　[由a⊗b的定义，可知f(x)＝由于f(0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)，排除A，B；当x<0时，y＝x2>0，排除D，只有C符合，故选C．] 对于函数f(x)＝x2－2|x|． (1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性； (2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值． 解析：　(1)函数的定义域为R，关于原点对称， f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|． 则f(－x)＝f(x)， 所以f(x)是偶函数． 图象关于y轴对称． (2)f(x)＝x2－2|x| ＝ 画出图象如图所示， 根据图象知，函数f(x)的最小值是－1．单调递增区间是[－1，0]，[1，＋∞)；单调递减区间是(－∞，－1]，[0，1]． 素养三　逻辑推理 逻辑推理主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．本章中，函数单调性、奇偶性的判定及应用体现学科素养中的逻辑推理． 题型五　函数单调性、奇偶性判断的应用 (1)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤2 B．a≥－2 C．－2≤a≤2 D．a≤－2或a≥2 (2)(2021·江西省宜春市高一质检)若奇函数f(x)在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为7，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)的值为(　　) A．5 B．－5 C．13 D．－13 解析：　(1)因为y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)，所以|a|≥2，得a≤－2或a≥2，故选D． (2)由题意f(x)在区间[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为7，最小值为－1， 得f(3)＝－1，f(6)＝7， ∵f(x)是奇函数， ∴f(－3)＋2f(－6)＝－f(3)－2f(6)＝1－2×7＝－13． 答案：　(1)D　(2)D 已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0，x∈R}，对定义域内任意的x1，x2都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0． (1)求证：f(x)是偶函数； (2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (3)试比较f与f的大小． 解析：　(1)证明：由题意可知函数f(x)的定义域关于原点对称． ∵对定义域内任意的x1，x2，都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)， ∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0． 令x1＝x2＝－1，得f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)， 即f(1)＝2f(－1)，即2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0． ∴f(－x)＝f[(－1)·x]＝f(－1)＋f(x)＝f(x)， ∴f(x)是偶函数． (2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)＝f(x1)＋f－f(x1)＝f， ∵x2>x1>0，∴>1，∴f>0， 即f(x2)－f(x1)>0， ∴f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数． (3)由(1)知f(x)是偶函数，则有f＝f． 由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且>，则f>f， ∴f>f． 素养四　数学建模 数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题．在本章中，数学建模主要体现在函数模型的应用中． 题型六　函数的应用 (2021·长沙望城区期末)某地为了鼓励节约用电，采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过100 kw·h，按0．58元/(kw·h)计算；每月用电量超过100 kw·h，其中100 kw·h仍按原标准收费，超过部分按0．98元/(kw·h)计费． (1)设月用电x kw·h，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式； (2)小王家第四季度用电325 kw·h，共交电费206．5元，其中10月份电费49．3元，若已知12月份用电超过100 kw·h，问小王家10月，11月和12月各用电多少kw·h? 解析：　(1)当x∈[0，100]时，y＝0．58x； 当x∈(100，＋∞)时，y＝58＋0．98(x－100) ＝0．98x－40． 所以y＝ (2)若每月用电量为100 kw·h，则费用为58元． 10月份电费为49．3元，没超过58元，故10月份用电少于100 kw·h，所以用电量为＝85 kw·h， 若11月用电也超过100 kw·h， 则11月和12月份的电费共为0．98×(325－85)－80＝155．2， 则第四季度共交电费49．3＋155．2＝204．5元，这与已知不符，所以11月用电不超过100 kw·h， 设11月用电x kw·h(x≤100)， 则12月用电(240－x)kw·h， 由已知得：0．58x＋0．98(240－x)－40＝206．5－49．3， 化简得0．4x＝38，解得x＝95． 所以小王家10月，11月和12月分别用电85 kw·h，95 kw·h，145 kw·h． 单元综合评价(三)　函数的概念与性质 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．(2021·浙江高一期中)函数f(x)＝－的定义域是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．R　 B．[－1，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞)　 D．[－1，0)∪(0，＋∞) D　[由题意可得：x＋1≥0，且x≠0，得到x≥－1，且x≠0，故选D．] 2．(2022·甘肃天水市秦安县第一中学高一期中)下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数且为奇函数的是(　　 ) A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x| C　[f(x)＝3－x在(0，＋∞)上单调递减且不是奇函数，故A错误；f(x)＝x2－3x在上单调递减，在上单调递增，且不是奇函数，故B错误；f(x)＝－在(0，＋∞)上为增函数且为奇函数，C正确；f(－x)＝－＝－|x|＝f(x)是偶函数，D错误．故选C．] 3．设函数f(x)＝x2＋2(4－a)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．a≥－7　 B．a≥7 C．a≥3　 D．a≤－7 B　[函数f(x)的对称轴为x＝a－4， 又∵函数在(－∞，3]上为减函数， ∴a－4≥3，即a≥7．故选B．] 4．已知函数y＝则使函数值为5的x的值是(　　) A．－2或2　 B．2或－ C．－2　　 D．2或－2或－ C　[当x≤0时，令y＝5，得x2＋1＝5，解得x＝－2； 当x>0时，令y＝5，得－2x＝5，解得x＝－，不符合题意，舍去． 综上所述，x＝－2，故选C．] 5．(2021·广东宝安高一期末)为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方法如下： 每户每月用电量 电价 不超过230度的部分 0．5元/度 超过230度但不超过400度的部分 0．6元/度 超过400度的部分 0．8元/度 若某户居民本月交纳的电费为380元，则此户居民本月用电量为(　　) A．475度　 B．575度 C．595．25度　　 D．603．75度 D　[不超过230度的部分费用为：230×0．5＝115；超过230度但不超过400度的部分费用为：(400－230)×0．6＝102，115＋102<380；设超过400度的部分为x，则0．8x＋115＋102＝380，∴x＝203．75，故用电603．75度．] 6．(2021·山东日照高一期末)设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)等于(　　) A．0 B．1 C． D．5 C　[令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2)．∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝－f(1)＋f(2)，∴＝－＋f(2)，∴f(2)＝1．令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝＋1＝．令x＝3，得f(5)＝f(2)＋f(3)＝1＋＝．] 7．(2022·甘肃天水市秦安县第一中学高一期中)奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，若f(－1)＝0，则不等式f(x)＜0的解集是(　　) A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，0)∪(0，1) D．(－1，0)∪(1，＋∞) A　[根据题意，可作出函数图象： ∴不等式f(x)＜0的解集是(－∞，－1)∪(0，1)．故选A．] 8．已知定义域为R的函数y＝f(x)在(0，4)上是减函数，又y＝f(x＋4)是偶函数，则(　　) A．f(2)<f(5)<f(7) B．f(5)<f(2)<f(7) C．f(7)<f(2)<f(5) D．f(7)<f(5)<f(2) B　[因为y＝f(x＋4)是偶函数，所以f(x＋4)＝f(－x＋4)，因此f(5)＝f(3)，f(7)＝f(1)，因为y＝f(x)在(0，4)上是减函数，所以f(3)<f(2)<f(1)，即f(5)<f(2)<f(7)，选B．] 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．) 9．(2021·山东枣庄高一期末)下列各组函数是同一函数的是(　　) A．f(x)＝x2＋3x－1与g(s)＝s2＋3s－1 B．f(x)＝与g(x)＝x2 C．f(x)＝与f(x)＝ D．f(x)＝－x与g(x)＝ ABC　[对于A选项，解析式可以看作相同，且定义域相同，是同一函数； 对于B选项，f(x)＝＝＝x2，定义域－x≥0即x≤0，g(x)的定义域为(－∞，0]，g(x)＝x2，故是同一函数； 对于C选项，解析式可化为相同，且定义域都为{x|x≠0}相同，是同一函数； 对于D选项，g(x)＝＝|x|，解析式不同，故不是同一函数．故选ABC．] 10．下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是(　　) A．f(x)＝　　 B．f(x)＝－x3 C．f(x)＝x|x|　　 D．f(x)＝－ BD　[A．f(x)＝在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是奇函数，且在每一个区间上是减函数，不能说函数在定义域上是减函数，∴不满足题意；对于B，f(x)＝－x3在定义域R上是奇函数，且是减函数，∴满足题意；对于C，f(x)＝x|x|＝在定义域R上是奇函数，且是增函数，∴不满足题意；对于D，f(x)＝－在定义域R上是奇函数，且是减函数，∴满足题意．故选BD．] 11．有下列几个命题，其中正确的命题是(　　) A．函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数 B．函数y＝的单调区间是[－2，＋∞) C．已知f(x)在R上是增函数，若a＋b＞0，则有f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b) D．已知函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝2x＋3 CD　[对于A，函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 令t＝x＋1在定义域上递增， 又y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)是减函数， 所以函数y＝在(－∞，－1)和(－1，＋∞)每个区间上递减，故A错误； 对于B，由函数y＝，则5＋4x－x2≥0，解得－1≤x≤5， 令t＝5＋4x－x2在(－1，2)上递增，(2，5)上递减， 又y＝在定义域内是增函数， 所以函数y＝在(－1，2)上递增，(2，5)上递减，故B错误； 对于C，因为f(x)在R上是增函数，若a＋b＞0，则a>－b，故f(a)>f(－b)；b>－a，故f(b)>f(－a)，所以f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，故C正确； 对于D，当x>0时，g(x)＝2x－3， 则当x<0时，－x>0，则g(－x)＝－2x－3， 因为g(x)为奇函数， 所以g(x)＝－g(－x)＝2x＋3， 所以f(x)＝2x＋3，故D正确． 故选CD．] 12．下列说法正确的是(　　) A．若方程x2＋(a－3)x＋a＝0有一个正实根，一个负实根，则a＜0 B．函数f(x)＝＋是偶函数，但不是奇函数 C．若函数f(x)的值域是[－2，2]，则函数f(x＋1)的值域为[－3，1] D．曲线y＝|3－x2|和直线y＝a(a∈R)的公共点个数是m，则m的值不可能是1 AD　[设方程x2＋(a－3)x＋a＝0的两根分别为x1，x2，则x1·x2＝a<0，故A正确；函数f(x)＝＋的定义域为则x＝±1，∴f(x)＝0，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数，故B不正确；函数f(x＋1)的值域与函数f(x)的值域相同，故C不正确；曲线y＝|3－x2|的图象如图，由图知曲线y＝|3－x2|和直线y＝a的公共点个数可能是2，3或4，故D正确．] 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．) 13．(2021·广东广州高一期末)若函数f(x)＝在[－1，1]上是奇函数，则f(x)的解析式为 ． 解析：　∵f(x)在[－1，1]上是奇函数， ∴f(0)＝0，∴a＝0， ∴f(x)＝，又f(－1)＝－f(1)，∴＝－，解得b＝0，∴f(x)＝． 答案：　f(x)＝ 14．函数f(x)＝的定义域为 ，单调递减区间为 ． 解析：　函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．任取x1，x2∈(－1，＋∞)且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＞0，即f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(－1，＋∞)上为减函数；同理，可得f(x)在(－∞，－1)上也为减函数． 答案：　(－∞，－1)∪(－1，＋∞)　(－∞，－1)和(－1，＋∞) 15．若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为 ． 解析：　因为函数f(x)是定义在R上的减函数，所以解得≤a＜． 答案：　[，) 16．对于任意定义在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．现给定一个实数a∈(4，5)，则函数f(x)＝x2＋ax＋1的不动点共有 个． 解析：　由定义，令x2＋ax＋1＝x，则x2＋(a－1)x＋1＝0，当a∈(4，5)时，Δ＝(a－1)2－4>0，所以方程有两根，相应地，函数f(x)＝x2＋ax＋1(a∈(4，5))有2个不动点． 答案：　2 四、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(10分)求下列函数的定义域． (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝． 解析：　(1)由题意，可得 解得x≥1且x≠5， 即函数f(x)＝＋的定义域为[1，5)∪(5，＋∞)． (2)由题意，可得 解得－2≤x≤1且x≠0， 即函数f(x)＝的定义域为[－2，0)∪(0，1]． 18．(12分)已知函数f(x)＝x－． (1)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明； (2)用定义证明函数f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数． 证明：　(1)f(x)是奇函数，理由如下： 函数f(x)＝x－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 且f(－x)＝－x＋＝－(x－)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (2)任取x1，x2∈[1，＋∞)且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1－－(x2－) ＝(x1－x2)， ∵x1－x2<0，x1x2＋1>0，x1x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)． ∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数． 19．(12分)已知偶函数f(x)定义域为R，当x≥0时，f(x)＝． (1)求函数f(x)的表达式； (2)用函数单调性的定义证明：函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，并解不等式f(|x－1|)≥f(2)． 解析：　(1)设x<0，则－x>0，f(－x)＝， 又因为f(x)定义域为R的偶函数， 所以f(x)＝f(－x)， 所以f(x)＝， 所以f(x)＝ (2)当x≥0时，f(x)＝＝1＋， 设x1<x2且x1，x2∈[0，＋∞)，则 f(x1)－f(x2)＝1＋－(1＋)＝－＝， 因为x2－x1>0，x2，x1∈[0，＋∞)， 所以f(x1)－f(x2)＝>0， 所以函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减， 又因为f(x)定义域为R的偶函数， 所以f(x)＝f(－x)， 所以f(|x－1|)≥f(2)， 又f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减， 所以|x－1|≤2， 解得x∈[－1，3]． 20．(12分)(2021·陕西咸阳市高新一中高一期中)已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的函数． (1)用定义法证明函数f(x)在(－1，1)上是增函数； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)解不等式f(x－1)＋f(x)<0． 解析：　(1)任取x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝－ ＝， ∵x1，x2∈(－1，1)，∴1－x1x2>0，又x1<x2 ∴f(x1)－f(x2)<0即f(x1)<f(x2) 故函数f(x)在(－1，1)上是增函数； (2)∵f(－x)＝＝－f(x)且定义域关于原点对称，∴f(x)是(－1，1)上的奇函数； (3)由(2)得f(x－1)＋f(x)<0⇔f(x－1)<－f(x)＝f(－x)， 又f(x)是(－1，1)上的增函数， ∴，解得0<x<， 所以原不等式的解集为． 21．(12分)(2022·甘肃会宁县第一中学高一期中)2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车．在一般情况下，大桥的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到220辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0千米/时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为100千米/时．研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的一次函数． (1)当20≤x≤200时，求v(x)的函数表达式； (2)当车流密度x(单位：辆/千米)为多大时，车流量f(x)＝x·v(x)可以达到最大？并求出最大车流量． (注：车流量是指单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时) 解析：　(1)由题意，当20≤x≤220时，设v(x)＝ax＋b(a≠0)，则解得 ∴v(x)＝－x＋110． (2)当0≤x≤20时，v(x)＝100，由(1)得： v(x)＝ ∴f(x)＝x·v(x)＝ 当0≤x≤20时，f(x)＝100x为增函数，所以f(x)的最大值为f(20)＝2 000； 当20<x≤220时，f(x)＝－x2＋110x＝－(x－110)2＋6 050． 当x＝110时，f(x)取得最大值，且f(x)的最大值为f(110)＝6 050． 综上，当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大车流量为6 050辆． 22．(12分)(2021·重庆西南大学附中高一月考)设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意m，n∈R恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1． (1)证明：x∈R时，恒有f(x)>0； (2)证明：f(x)在R上是减函数； (3)若对任意x∈R，不等式f(a)·f(－x2－25)>1恒成立，求实数a的取值范围． 解析：　(1)证明：因为f(m＋n)＝f(m)·f(n)，令m＝1，n＝0，有f(0＋1)＝f(0)f(1)，又0<f(1)<1，所以f(0)＝1， 当x<0时，－x>0，又当x>0时，0<f(x)<1, 所以0<f(－x)<1，∴f(x－x)＝f(x)·f(－x)＝1，f(x)＝>1， 所以x∈R时，f(x)>0． (2)证明：设x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1<x2，所以x2－x1>0，0<f(x2－x1)<1，又f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)·f(x2－x1)<f(x1)， 所以f(x)在R上是减函数． (3)因为f(－x2－25)＝f[－(x2＋25)]＝，不等式f(a)·f(－x2－25)>1等价于f(a)·>1，又由(1)得x∈R时，恒有f(x)>0，所以f(a)>f(x2＋25)， 又由(2)得f(x)在R上是减函数，所以不等式f(a)>f(x2＋25)等价于a<x2＋25，即a<在R上恒成立， 令t＝，则t＝＝＋，令m＝，则m≥4 ，令t＝g(m)＝m＋， 设4≤m1<m2，则g(m1)－g(m2)＝－＝，因为m1－m2<0，m1m2－9>0，m1m2>0，所以<0，所以g(m1)<g(m2)，所以g(m)＝m＋在(4，＋∞)上单调递增， 所以t＝m＋≥4＋＝，所以a<． 故实数a的取值范围是． 4．1　实数指数幂和幂函数 4．1．1　有理数指数幂 4．1．2　无理数指数幂 [课标解读]　1．理解n次方根及根式的概念．能正确运用根式运算性质进行运算．2．理解分数指数幂的含义；掌握根式与分数指数幂的互化．3．掌握有理数指数幂及无理数指数幂的运算性质． 知识点一　n次方根 1．定义：若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，则称x是a的n次方根． 2．性质： (1)当n是奇数时，数a的n次方根记作． (2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，其中正的n次方根叫作算术根，记作． 规定：＝0，负数没有偶次方根． [点拨]　在根式符号中，注意以下几点： (1)n>1，n∈N＋． (2)当n为奇数时，对任意a∈R都有意义． (3)当n为偶数时，只有当a≥0时才有意义． 知识点二　根式 1．定义：式子叫作根式(n∈N，n≥2)，n叫作根指数，a叫作被开方数． 2．性质：(n>1，且n∈N＋) (1)()n＝a． (2)＝ [点拨]　与()n的区别 (1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a．当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a． 知识点三　分数指数幂 分数指数幂 正分数 指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N＋且n>1) 负分数 指数幂 规定：a－＝＝(a>0，m，n∈N＋且n>1) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0，0没有负分数指数幂 [点拨]　(1)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数． (2)把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． 知识点四　有理数指数幂 1．运算 (1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 2．有理数指数幂的基本不等式 (1)对任意的正数a＞1和两有理数r＞s，有＝ar－s＞1，即ar＞as． (2)对任意的正数a＜1和两有理数r＞s，有＝ar－s＜1，即ar＜as． 知识点五　无理数指数幂 1．定义：在幂的表达式aμ中，a叫作底数，μ叫作指数． 2．幂运算基本不等式 (1)对任意的正数μ和正数a，若a＞1，则aμ＞1；若a＜1则aμ＜1． (2)对任意的负数μ和正数a，若a＞1，则aμ＜1；若a＜1则aμ＞1． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)的运算结果是±2．(　　) (2)当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义．(　　) (3)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　　) (4)0的任何指数幂都等于0．(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．给出下列各式： ① ＝2；②(a2－3a＋3)0＝1；③＝．其中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　[对于①，＝－2，故①错误．对于②，因为a2－3a＋3＝＋＞0恒成立，所以等式成立，故②正确．对于③，偶次根式下被开方数不能是负数，无意义，故③错误．故选B．] 3．＋ ＋ 的值为(　　) A．－6 B．2－2 C．2 D．6 A　[＝－6，＝|－4|＝4－，＝－4， 所以原式＝－6＋4－＋－4＝－6．] 4．已知a＋a－1＝34，则a＋a－＝ ． 解析：　(a＋a－)2＝a＋a－1＋2＝34＋2＝36． 所以a＋a－＝＝6． 答案：　6 探究点一　对n次方根概念的理解 有下列说法： ①＝3；②16的4次方根是±2；③＝±3；④ ＝|x＋y|． 其中正确的有 (填序号)． 解析：　负数的3次方根是一个负数，＝－3，故①错误；16的4次方根有两个，为±2，故②正确；＝3，故③错误；是非负数，所以＝|x＋y|，故④正确． 答案：　②④ 判断关于n次方根的结论应关注两点 (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数； (2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．　　 即时练1．若＝，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C． D． C　[＝|3a－1|, ＝1－3a，因为|3a－1|＝1－3a，故3a－1≤0，所以a≤．] 探究点二　利用根式的性质化简与求值 (1)化简下列各式： ① ＋； ② ＋＋． (2)当有意义时，化简－． 解析：　(1)①因为＝|3－π|＝π－3，＝－π－3． 所以原式＝π－3－π－3＝－6． ②原式＝|－5|＋＋＝5＋2－3＝4． (2)因为有意义，所以2－x≥0，即x≤2， 所以原式＝－＝(2－x)－(3－x)＝－1． 根式化简与求值的思路及注意点 (1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简．　　 (2)注意点 ①正确区分()n与． ②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论． 即时练2．(1)已知有意义，化简(n∈N＋)； (2)化简(a≤1)． 解析：　(1)∵π－x＞0，∴x－π＜0． 当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时，＝x－π． 综上可知， ＝ (2)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a． 探究点三　根式与分数指数幂的互化 (1)将各式化为根式：①x－(x＞0)；②a(a＞0)；③xy－(x，y＞0)． (2)将下列各式化为分数指数幂： ①；② (m，n＞0)；③． 解析：　(1)①x－＝＝；②a＝；③xy－＝· ． (2)①＝＝a－；②＝(m＋n)(m，n＞0)；③＝＝3ab－． 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式．　　 即时练3．用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)： (1)x＝ ；(2)x－y＝ ． 答案：　(1)　(2) 探究点四　指数幂的运算 计算下列各式： (1)＋2－2×－0．010．5； (2)(×)6＋－4－×80．25－(2 021)0． 解析：　(1)原式＝1＋×－＝1＋－＝． (2)原式＝(2×3)6＋－4×－2·23×－1 ＝22·33＋2×－4×－2－1 ＝108＋2－7－3＝100． 指数幂运算的解题通法 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一．　　 即时练4．对下列式子进行化简求值． (1)化简：·(a＞0，b＞0)； (2)求值：0．001－－＋16＋(×)6． 解析：　(1)原式＝aa－b－b ＝a0b0＝． (2)原式＝－1＋23＋23×32＝89． 探究点五　条件求值问题 已知a＋a－＝，求下列各式的值． (1)a2＋a－2； (2)； (3)a－a－1； (4)a2－a－2． 解析：　(1)将a＋a－＝两边平方，得a＋a－1＋2＝7，∴a＋a－1＝5， 再将a＋a－1＝5两边平方，得a2＋a－2＋2＝25，故a2＋a－2＝23． (2)由(1)得a＋a－1＝5，由于a－a－＝(a)3－(a－)3， 所以原式＝ ＝a＋a－1＋1＝5＋1＝6． (3)由(1)知a2＋a－2＝23， 所以a－a－1＝±＝±＝±． (4)由(1)知a＋a－1＝5， 所以a2－a－2＝(a＋a－1)(a－a－1)＝±5． 解决条件求值问题的一般方法 形如ax＋a－x(a＞0且a≠1)的代数式，通常用平方法进行解决，平方后观察条件和结论的关系，变形求解即可．本题中用到了两个公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)．　　 即时练5．已知2x＋2－x＝5． 求(1)4x＋4－x； (2)8x＋8－x． 解析：　(1)4x＋4－x＝(22)x＋(22)－x＝(2x)2＋(2－x)2＝(2x)2＋2×2x×2－x＋(2－x)2－2＝(2x＋2－x)2－2＝52－2＝23． (2)8x＋8－x＝(23)x＋(23)－x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)[(2x)2－2x×2－x＋(2－x)2]＝(2x＋2－x)(4x＋4－x－1)＝5×(23－1)＝110． 1．下列各式正确的是(　　) A．＝－3 B．＝a C．＝2 D．＝2 C　[由于＝3，＝|a|，＝－2，故A，B，D错误．] 2．化简[]的结果为(　　) A．5 B． C．－ D．－5 B　[[]＝[(－5)]＝5＝．] 3．＝ (a＞0，b＞0)． 解析：　原式＝＝a＋－1＋·b1＋－2－＝ab－1＝． 答案：　 4．计算：(1)(0．027)＋－； (2)8－1×(a＞0，b＞0)． 解析：　(1)原式＝()2＋－＝0．09＋－＝0．09． (2)原式＝a3·a－3·b－3·b3＝a0b0＝． 课时作业(十九)　有理数指数幂　无理数指数幂 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．(2021·新疆巴音郭楞蒙古自治州第三中学高一期末)计算：＝(　　) A．4－π B．π－4 C．－π D．4 A　[因为π<4，所以＝|π－4|＝4－π．故选A．] 2．(2021·贵州省黔东南州高一期中)＝(　　) A． B． C． D． C　[＝＝＝＝．] 3．根式 的分数指数幂的形式为(　　) A．a－ B．a C．a D．a－ D　[ ＝ ＝ ＝＝a－．故选D．] 4．计算：3π×＋(22)＋1的值为(　　) A．17 B．18 C．6 D．5 B　[3π×＋(22)＋1＝＋22×＋1＝1π＋24＋1＝18．] 5．已知a＋b＝4，x＝a＋3ab，y＝b＋3ab，则(x＋y)＋(x－y)为(　　) A．0 B．8 C．10 D．以上都不对 B　[x＋y＝a＋3ab＋b＋3ab＝(a＋b)3，x－y＝a＋3ab－b－3ab＝(a－b)3， 所以(x＋y)＋(x－y)＝(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a＋b)＝2×4＝8．] 6．若＝，则实数a的取值范围是 ． 解析：　∵＝＝＝，∴1－3a≥0，∴a≤． 答案：　 7．计算：(－9．6)0－＋1．5－2＝ ． 解析：　原式＝1－＋ ＝1－＋ ＝1－＋ ＝1－＋ ＝1． 答案：　1 8．设a＞0，x＝(a－a－)，则(x＋)n的值为 ． 解析：　将x＝(a－a－)代入1＋x2， 得1＋x2＝1＋(a－a－)2＝(a＋a－)2， 所以(x＋)n ＝ ＝＝a． 答案：　a 9．(2021·甘肃省天水市秦安县第一中学高一期中)化简下列各式： (1)(·)6－4·()－－·80．25－(2 020)0； (2)(a>0，b>0)． 解析：　(1)原式＝(2×3)6－4×－2×8－1 ＝4×27－7－(2×8)－1 ＝108－7－2－1＝98； (2)原式＝＝＝＝． 10．(2021·广东珠海高一期末)(1)已知x＋y＝8，xy＝9，且x＞y＞0，求的值； (2)已知a＝－，a－27b≠0，求÷的值． 解析：　(1)∵x＋y＝8，xy＝9， ∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝64－36＝28． ∵x＞y＞0，∴x－y＝2， ∴＝ ＝＝＝＝． (2)∵a≠0，a－27b≠0， ∴原式＝× ＝＝a－＝＝＝． [能力提升] 11．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝ ，(2α)β＝ ． 解析：　由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝． 则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2． 答案：　　2 12．已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28(a>0，且a≠1)，则a4m＋n的值为 ． 解析：　因为 所以由①②得a3m＝26，所以am＝22． 将am＝22代入②，得22·a－n＝28，所以an＝2－6， 所以a4m＋n＝a4m·an＝(am)4·an＝(22)4×2－6＝22＝4． 答案：　4 4．1．3　幂函数 [课标解读]　1．通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律．2．了解幂函数． 知识点一　幂函数的概念 1．定义：一般来说，当x为自变量而α为非零实数时，函数y＝xα叫作(α次)幂函数． 2．幂函数的分类 (1)正整数次幂函数，例y＝xn(x∈R，n是正整数)； (2)负整数次幂函数，例y＝；(x≠0)． (3)分数次幂函数，例y＝．(x≥0) 其中，负整数次幂函数和正整数次幂函数，统称为整数次幂函数． [点拨]　(1)幂的指数是一个常数，它可以取任意实数． (2)幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合，因α的不同，定义域也不同． 知识点二　幂函数的图象与性质 1．幂函数的性质 对于实数次幂函数y＝xα(α≠0)： (1)当α＞0时，它在[0，＋∞)上有定义且递增，值域为[0，＋∞)，函数图象过(0，0)和(1，1)两点； (2)当α＜0时，它在(0，＋∞)上有定义且递减，值域为(0，＋∞)，函数图象过点(1，1)，向上与y轴正向无限接近，向右与x轴正向无限接近． 2．五种常见幂函数的图象 3．五类常见幂函数的性质 解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x 图象 定义域 R R R {x|x≠0} [0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R {y|y≠0} [0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶 函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减 在[0，＋∞)上单调递增 定点 (1，1) [点拨]　幂函数的图象 观察幂函数的图象在第一象限内的图象特征： (1)当α>0时，第一象限内的图象是上升的，当α<0时，第一象限内的图象是下降的； (2)当x>1时，α值大，图象在上方；当0<x<1时，α值大，图象在下方． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝－是幂函数．(　　) (2)幂函数的图象必过点(0，0)和(1，1)．(　　) (3)幂函数的图象都不过第二、四象限．(　　) (4)当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数．(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x，y＝x－在第一象限内的图象依次是图中的曲线(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．C1，C2，C3，C4 B．C1，C4，C3，C2 C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3 D　[由于在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，即“指大图高”，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，y＝x－1在第一象限内的图象为C4，y＝x在第一象限内的图象为C2，y＝x－在第一象限内的图象为C3．] 3．幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(8)＝(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 C　[设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，由函数的图象过点(3，)，可得＝3α，∴α＝，则幂函数f(x)＝x， ∴f(8)＝8＝4．] 4．给出下列说法： ①幂函数图象均过点(1，1)； ②幂函数的图象均在两个象限内出现； ③幂函数在第四象限内可以有图象； ④任意两个幂函数的图象最多有两个交点． 其中说法正确的有 (填序号)． 解析：　根据幂函数的图象特征可知①正确，②③④错误． 答案：　① 探究点一　幂函数的概念 (1)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为(　　) A．1 B．－3 C．－1 D．3 (2)已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)＝ ． 解析：　(1)∵函数f(x)是幂函数， ∴m2＋2m－2＝1， ∴m＝1或m＝－3， 又函数在第一象限为增函数， ∴m＝1，故选A． (2)设f(x)＝xα，由题意得 3α＝，∴α＝－2， ∴f(x)＝x－2，∴f(4)＝4－2＝． 答案：　(1)A　(2) 求幂函数解析式的依据和常用方法 (1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件． (2)常用方法：设幂函数解析式为f(x)＝xα，依据条件求出α．　　 即时练1．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，则实数a的值为(　　) A．－1或2 B．－2或1 C．－1 D．1 C　[因为f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1．又a－2≠0，所以a＝－1．] 探究点二　幂函数的图象及其应用 若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问：当x为何值时，(1)f(x)＞g(x)？(2)f(x)＝g(x)？(3)f(x)＜g(x)? 解析：　设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点(，2)代入f(x)＝xα中，得2＝()α，解得α＝2，则f(x)＝x2．同理，可求得g(x)＝x－2． 在同一平面直角坐标系中作出幂函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)， 观察图象可得： (1)当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)； (2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)； (3)当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x)． 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)根据幂函数在第一象限内的图象确定幂指数α与0，1的大小关系． (2)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论如下： ①在x∈(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)； ②在x∈(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．　　 即时练2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　) A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c B　[令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d．故选B．] 探究点三　幂函数性质的综合应用 (1)比较大小： (填“>”“<”或“＝”)； (2)若(3－2m)＞(m＋1)，求实数m的取值范围． 解析：　(1)∵y＝x在(0，＋∞)上单调递增，>， ∴>． (2)因为y＝x在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以解得－1≤m＜． 故实数m的取值范围为． 1．利用幂函数的性质解不等式的步骤 (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用． 2．比较幂值大小的两种基本方法 　　 即时练3．比较下列各组数的大小． (1)1．5，1．7； (2)(－1．2)－，(－1．25) －． 解析：　(1)∵函数y＝x在第一象限内单调递增，且1．5＜1．7，∴1．5＜1．7． (2)∵(－1．2) －＝1．2－，(－1．25) －＝1．25－， 函数y＝x－在第一象限内单调递减，且1．2＜1．25， ∵y＝a－为偶函数， ∴1．2－＞1．25－，即(－1．2) －＞(－1．25) －． 即时练4．幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－x)＝f(x)，则m＝ ． 解析：　因为f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－5＜0，故m＜．又m∈N，所以m＝0或1．当m＝0时，f(x)＝x－5，f(－x)≠f(x)，不符合题意；当m＝1时，f(x)＝x－2，f(－x)＝f(x)，符合题意．综上，知m＝1． 答案：　1 1．幂函数f(x)的图象过点(2，8)，则它的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞) D　[设幂函数f(x)＝xα，α为实数，∵f(x)的图象过点(2，8)，∴2α＝8，解得α＝3，∴f(x)＝x3，它的单调递增区间是(－∞，＋∞)．] 2．下面给出四个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是(　　) A．①y＝x2，②y＝x，③y＝x，④y＝x－1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1 D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1 B　[函数y＝x2≥0，其图象关于y轴对称，该函数图象应与②对应；y＝x＝的定义域、值域都是[0，＋∞)，该函数图象应与③对应；y＝x－1＝，其图象应与④对应；y＝x3的图象关于原点对称且单调递增，应与①对应．] 3．已知幂函数f(x)的图象经过点(4，2)，则f＝ ． 解析：　设f(x)＝xα，依题意得f(4)＝4α＝2， 即22α＝2，解得α＝， 因此f(x)＝， 则f＝＝． 答案：　 4．比较下列各组值的大小： (1)(－0．31)，0．35； (2)1．2，1．4，1．42． 解析：　(1)∵y＝x为R上的偶函数， ∴(－0．31)＝0．31． 又函数y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且0．31＜0．35， ∴0．31＜0．35，即(－0．31)<0．35． (2)∵y＝x在[0，＋∞)上是增函数，且1．2＜1．4， ∴1．2＜1．4． 易知1．4＜1．42，∴1．2＜1．4＜1．42． 课时作业(二十)　幂函数 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．(2020·河北唐山高一期末)若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，则f(3)＝(　　) A． B． C．3 D．9 B　[设幂函数y＝f(x)＝xα，其图象经过点(2，)，则2α＝，解得α＝．∴f(x)＝x＝，∴f(3)＝．故选B．] 2．(2021·甘肃省张掖市第一学期期末)已知幂函数f(x)＝(m2－4m－4)xm(m∈R)在(0，＋∞)上单调递减，则m的值为(　　 ) A．－5 B．－1 C．1 D．5 B　[由题意，幂函数f(x)＝(m2－4m－4)xm(m∈R)，可得m2－4m－4＝1，解得m＝5或m＝－1， 当m＝5时，可得f(x)＝x5，可得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当m＝－1时，可得f(x)＝x－1，可得f(x)在(0，＋∞)上单调递减，符合题意， 综上可得，实数m的值为－1． 故选B．] 3．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　) A．n＜m＜0 B．m＜n＜0 C．n＞m＞0 D．m＞n＞0 A　[由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m＜0，n＜0．当x＝2时，2m＞2n，所以n＜m＜0．] 4．已知函数f(x)＝x，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是(　　) A．f(a)<f(b)<f<f B．f<f<f(b)<f(a) C．f(a)<f(b)<f<f D．f<f(a)<f<f(b) C　[∵0<a<b<1， ∴a<b<<． ∵f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增， ∴f(a)<f(b)<f<f．] 5．(2021·陕西省西安市高一期末)设函数f(x)＝，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是(　　) A．x1＋x2＞0，y1＋y2＞0 B．x1＋x2＞0，y1＋y2＜0 C．x1＋x2＜0，y1＋y2＞0 D．x1＋x2＜0，y1＋y2＜0 B　[两函数的大致图象如图所示．不妨设x2＞x1，作点B关于原点的对称点B′，据图可知x1＋x2＞0，y1＋y2＜0．故选B．] 6．已知幂函数f(x)＝xα图象过点，则f(4)＝ ． 解析：　∵幂函数f(x)＝xα的图象过点， ∴2α＝，∴α＝－． 即f(x)＝x－，∴f(4)＝4－＝． 答案：　 7．(2021·甘肃省天水市秦安县第一中学高一期中)已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm2－m－1在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为 ． 解析：　因函数f(x)＝(m2－3m＋3)x m2－m－1是幂函数，则有m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2， 当m＝1时，函数f(x)＝x－1＝在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意， 当m＝2时，函数f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增，则m＝2， 所以m的值为2． 答案：　2 8．(2021·甘肃省天水市甘谷县高一期末)已知幂函数f(x)的图象过点(－2，－8)，且f(a＋1)≤－f(a－3)，则a的取值范围是 ． 解析：　设f(x)＝xa，则f(－2)＝(－2)a＝－8，得a＝3， 所以f(x)＝x3．因为f(x)是定义在R上的增函数，且为奇函数， 所以由f(a＋1)≤－f(a－3)，得f(a＋1)≤f(3－a)， 得a＋1≤3－a，故a的取值范围是(－∞，1]． 答案：　(－∞，1] 9．比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与． 解析：　(1)∵幂函数y＝x0．5在(0，＋∞)上是增函数，又＞，∴＞． (2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数， 又－＜－， ∴＞． (3)∵函数y1＝x为(0，＋∞)上的增函数，又>1， ∴＞1＝1． 又∵函数y2＝x在(0，＋∞)上是增函数，且＜1， ∴＜1＝1，∴＞． 10．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且y＝x3m－9(m∈N＋)在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)－＜(3－2a) －的a的取值范围． 解析：　因为函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9＜0，解得m＜3．又m∈N＋，所以m＝1，2． 因为幂函数y＝x3m－9的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1，则原不等式可化为(a＋1) －＜(3－2a) －． 由y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减得， a＋1＞3－2a＞0或3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜3－2a，解得＜a＜或a＜－1，故a的取值范围是． [能力提升] 11．有一种秘密密钥密码系统可以保证信息的安全传输，其加密、解密原理为：发送方根据加密密钥把明文转为密文(加密)，接收方根据加密密钥把密文转为明文(解密)．现在已知加密$$