第1章 集合与逻辑 章末综合提升-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版2019）

章末综合提升 素养一　数学抽象 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养．在本章中，主要表现在理解集合，全称命题及特称命题的概念． 题型一　集合的概念 (1)(2021·宜春市质量检测)设集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤1，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 (2)方程x2＋2x－8＝0和方程x2＋x－12＝0的所有实数解组成的集合为M，则M中的元素个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：　(1)因为x∈Z，所以当x＝0时，由|x|＋|y|≤1，y∈Z可得：y＝0，±1； 当x＝1时，由|x|＋|y|≤1，y∈Z可得：y＝0； 当x＝－1时，由|x|＋|y|≤1，y∈Z可得：y＝0； 当x∈Z，|x|>1时，由|x|＋|y|≤1，y∈Z可知：不存在整数y使该不等式成立， 所以A＝{(0，0)，(0，1)，(0，－1)，(1，0)，(－1，0)}， 因此A中元素的个数为5． 故选C． (2)这两个方程的实数解分别是2，－4和－4，3，根据集合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有3个元素． 答案：　(1)C　(2)C 题型二　全称命题与特称命题 (1)(多选)下列特称命题中，是真命题的是(　　) A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0 B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除 C．∃x∈R，|x|<0 D．有些自然数是偶数 (2)若命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．m≥1 B．m>1 C．m<1 D．m≤1 解析：　(1)A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选ABD． (2)命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题， 则m≠－(x2－2x)， ∵－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1≤1， ∴m>1， ∴实数m的取值范围是{m|m>1}． 故选B． 答案：　(1)ABD　(2)B 题型三　与集合有关的新定义问题 (1)定义集合A与B的运算：A⊙B＝{x|x∈A或x∈B，且x∉A∩B}．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6，7}，则(A⊙B)⊙B为(　　) A．{1，2，3，4，5，6，7} B．{1，2，3，4} C．{1，2} D．{3，4，5，6，7} (2)(多选)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z，k＝0，1，2，3，4}．则以下结论正确的是(　　) A．2 021∈[1] B．－3∈[3] C．Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] D．若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]，反之也成立 解析：　(1)方法一　利用Venn图，知(A⊙B)⊙B为图中阴影部分，即{1，2，3，4}． 方法二　直接由新定义的运算分步计算． 由新定义，得A⊙B＝{1，2，5，6，7}，则(A⊙B)⊙B＝{1，2，5，6，7}⊙{3，4，5，6，7}＝{1，2，3，4}． (2)[k]表示被5除所得余数为k的所有整数． ∵2 021÷5＝404……1，∴2 021∈[1]，故A正确． ∵－3÷5＝－1……2，∴－3∈[2]，故B不正确． ∵整数集中的数被5除可以且只可以分成五类， ∴Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故C正确． ∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除所得余数相同， ∴a－b被5除所得余数为0，∴a－b∈[0]；反之也成立，故D正确． 答案：　(1)B　(2)ACD 素养二　数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．在本章中，主要表现在集合的交、并、补运算中． 题型四　集合的运算 (1)(2020·全国卷Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{－2，3} B．{－2，2，3} C．{－2，－1，0，3} D．{－2，－1，0，2，3} (2)已知全集U＝R，A＝{x|－1<x<1}，B＝{y|y>0}，则A∩(∁UB)等于(　　) A．(－1，0) B．(－1，0] C．(0，1) D．[0，1) 解析：　(1)因为A∪B＝{－1，0，1，2}， 所以∁U(A∪B)＝{－2，3}，故选A． (2)因为B＝{y|y>0}， 全集U＝R， 所以∁UB＝{y|y≤0}， 则A∩(∁UB)＝{x|－1<x≤0}＝(－1，0]． 故选B． 答案：　(1)A　(2)B 素养三　逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．本章主要表现在集合的基本关系、充分条件与必要条件的判断及应用中． 题型五　集合间的关系 (1)集合M＝的非空子集个数是(　　) A．3 B．7 C．15 D．31 (2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|2a<x≤a＋1，a<1}，B⊆A，则实数a的取值范围为 ． 解析：　(1)∵M＝，∴y＝1，2，4，8，对应的x＝7，3，1，0，即满足条件的y有4种情况，故M＝{1，2，4，8}，∴M的非空子集个数是24－1＝15，故选C． (2)因为a<1，所以2a<a＋1，所以B≠∅． 画数轴如图所示， 由B⊆A知，a＋1<－1或2a≥1． 即a<－2或a≥． 由已知a<1，所以a<－2或≤a<1， 即所求a的取值范围是a<－2或≤a<1． 答案：　(1)C　(2) 题型六　充分条件与必要条件判定 设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[因为M∪P＝{x|x>1}，M∩P＝{x|x≥2}，所以“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．故选B．] 题型七　充分条件与必要条件的探求及应用 已知集合A＝{x|－1<x<3}，集合B＝{x|－1<x<m＋1}． (1)若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若x∈A是x∈B成立的充要条件，求实数m的值． 解析：　(1)由题意可知AB， 所以m＋1>3，即m>2． 所以实数m的取值范围为{m|m>2}． (2)因为x∈A是x∈B成立的充要条件， 所以A＝B． 所以m＋1＝3，即m＝2．即实数m的值为2． 素养四　数学建模 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．在本章主要表现在集合的实际应用问题中． 题型八　集合的实际应用 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人． 解析：　设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图． 由全班共36名同学可得，(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36， 解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人． 答案：　8 单元综合评价(一)　集合与逻辑 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．(2022·广东深圳市南头中学高一期末)设集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则(∁RA)∩B＝(　　) A．{2} B．{4，5} C．{3，4} D．{2，3} B　[因为A＝{x|－2<x<4}，所以∁RA＝{x|x≤－2或x≥4}．所以(∁RA)∩B＝{4，5}．故选B．] 2．(2022·山东烟台高一期末)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥1”的否定是(　　) A．∀x∈R，|x|＋x2＜1 B．∀x∈R，|x|＋x2≤1 C．∃x0∈R，|x0|＋x＜1 D．∃x0∈R，|x0|＋x≥1 C　[由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，再改变结论，所以命题“∀x∈R，|x|＋x2≥1”的否定是“∃x0∈R，|x0|＋x＜1”．故选C．] 3．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，集合B＝{2，4}，则(∁UA)∪B＝(　　) A．{2，4，5} B．{1，3，4} C．{1，2，4} D．{2，3，4，5} A　[由题意知∁UA＝{2，5}，所以(∁UA)∪B＝{2，4，5}．故选A．] 4．(2022·广东仲元中学高一期末)已知命题p：－1<x<2，q：|x|<1，则p是q成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 B　[由|x|<1，得－1<x<1，因为(－1，1)(－1，2)，所以p是q成立的必要不充分条件．故选B．] 5．(2021·广东肇庆高一期末)M＝{x|6x2－5x＋1＝0}，P＝{x|ax＝1}，若M∩P＝P，则实数a的取值集合为(　　) A．{2} B．{3} C．{2，3} D．{0，2，3} D　[∵M＝{x|6x2－5x＋1＝0}＝{，}，P＝{x|ax＝1}，M∩P＝P，∴P⊆M，∴P＝∅或P＝{}或P＝{}，∴a＝0或a＝2或a＝3．∴实数a的取值集合为{0，2，3}．故选D．] 6．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B中的所有元素之和为(　　) A．0 B．2 C．3 D．6 D　[依题意，A*B＝{0，2，4}，其所有元素之和为6，故选D．] 7．若命题“x≥2是x＞m的必要不充分条件”是假命题，则m的取值范围是(　　) A．m＜2 B．m≤2 C．m＞2 D．m≥2 A　[若命题“x≥2是x＞m的必要不充分条件”是真命题，则m的取值范围是m≥2，∵命题“x≥2是x＞m的必要不充分条件”是假命题，则m的取值范围是m＜2．故选A．] 8．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面积恒相等，根据祖暅原理可知，q是p的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[A，B在等高处的截面积恒相等，则体积相等．但是A，B体积相等，在等高处的截面积不一定相等，例如圆台A，将A倒置后得到圆台B，此时A，B体积相等，在等高处的截面积不相等，∴p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．故选A．] 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．) 9．(2021·广东揭阳高一期末)下列命题是真命题的是(　　) A．存在x<0，x2－3x－4＝0 B．对于一切实数x≥0，都有|x|＝x C．∀x∈R, ＝x D．已知an＝3n，bm＝4m，对于任意n，m∈N＋，an≠bm ABC　[因为x2－3x－4＝0的根为x＝－1或4，所以存在x0＝－1<0，使x－3x0－4＝0，故A为真命题；B显然为真命题；因为＝x，故C为真命题；当n＝4，m＝3时，a4＝b3，故D为假命题．] 10．(2021·山西英才学校高一月考)已知集合A＝{0，1，3}，B＝{1，2}，定义运算A*B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则下列描述正确的是(　　) A．0∈(A*B) B．记A*B为集合U，则(∁UB)∩A＝{3} C．若B⊆M⊆(A*B)，则符合要求的M有4个 D．A*B中所有元素之和为15 BD　[由已知条件可得A*B＝{1，2，3，4，5}． 对于A选项，0∉(A*B)，A错； 对于B选项，U＝{1，2，3，4，5}，则∁UB＝{3，4，5}，故(∁UB)∩A＝{3}，B对； 对于C选项，B⊆M⊆(A*B)，即{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}， 则满足条件的集合M有：{1，2}、{1，2，3}、{1，2，4}、{1，2，5}、{1，2，3，4}、{1，2，3，5}、{1，2，4，5}、{1，2，3，4，5}，共8个，C错； 对于D选项，A*B中所有元素之和为1＋2＋3＋4＋5＝15，D对． 故选BD．] 11．(2021·江苏扬中市第二高级中学高一开学考试)下列说法正确的有(　　) A．设M＝{m，2}，N＝{m＋2，2m}，且M＝N，则实数m＝0 B．若∅是{x|x2≤a，a∈R}的真子集，则实数a≥0 C．集合P＝{x|x2－3x＋2＝0}，Q＝{x|mx－1＝0}，若P⊇Q，则实数m∈ D．设集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}至多有一个元素，则a∈{0}∪ ABD　[对于A，因为M＝N，故(无解舍去)或故m＝0，故A正确． 对于B，因为∅是{x|x2≤a，a∈R}的真子集，故{x|x2≤a，a∈R}为非空集合， 故a≥0，故B正确． 对于C，P＝{1，2}， 若m＝0，则Q＝∅，满足Q⊆P； 若m≠0，则Q＝，又Q⊆P，故＝1或＝2，即m＝1或m＝， 综上，m＝0或m＝1或m＝，故C错误． 对于D，因为A至多有一个元素，故a＝0或 所以a∈{0}∪，故D正确． 故选ABD．] 12．(2022·广东深圳高一期末)设非空集合S⊆R．若x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S是封闭集．下列结论正确的是(　　) A．有理数集Q是封闭集 B．若S是封闭集，则S一定是无限集 C．S＝{x|x＝a＋b，a，b∈Z}一定是封闭集 D．若S1，S2是封闭集，则S1∪S2一定是封闭集 AC　[对于A：有理数集Q，相加，相减，相乘还为有理数，故A正确； 对于B：若S＝{0}，则0±0＝0，0×0＝0，此时，故S为封闭集，故B错误； 对于C：S＝S＝{x|x＝a＋b，a，b∈Z}，任取a1＋b1∈S，a2＋b2∈S， 所以a1＋b1＋a2＋b2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)∈S，a1＋b1－a2－b2＝(a1－a2)＋(b1－b2)∈S， (a1＋b1)(a2＋b2)＝(a1a2＋2b1b2)＋(a1b2＋b1a2)∈S，故C正确； 对于D：若S1，S2是封闭集，设a1，b1∈S1，a2，b2∈S2， 则a1＋b1，a1－b1，a1b1∈S1，a2＋b2，a2－b2，a2b2∈S2， 但是a1＋a2，b1＋b2不一定属于S1∪S2，所以S1∪S2不一定是封闭集，故D错误．故选AC．] 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．) 13．(2022·广东广雅中学高一期末)若命题p：∀x≥0，x2－ax＋3>0，则其否定为¬p： ． 解析：　因为命题p，∀x≥0，x2－ax＋3>0， 所以其否定¬p：∃x≥0，x2－ax＋3≤0． 答案：　∃x≥0，x2－ax＋3≤0 14．设命题p：x＞4；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的 条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)． 解析：　命题q：x2－5x＋4≥0，解得x≤1或x≥4，因为命题p：x＞4，故p是q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要． 答案：　充分不必要 15．(2022·甘肃会宁县第一中学高一期中)设α：x≤－5或x≥1，β：2m－3≤x≤2m＋1，若α是β的必要条件，求实数m的取值范围 ． 解析：　α：x≤－5或x≥1，β：2m－3≤x≤2m＋1， 若α是β的必要条件， 则2m－3≥1或2m＋1≤－5， 故m≥2或m≤－3． 答案：　{m|m≤－3或m≥2} 16．已知集合A＝{x|－3<x≤6}，B＝{x|b－3<x<b＋7}，M＝{x|－4≤x<5}，全集U＝R． (1)A∩M＝ ； (2)若B∪(∁UM)＝R，则实数b的取值范围为 ． 解析：　(1)因为A＝{x|－3<x≤6}， M＝{x|－4≤x<5}， 所以A∩M＝{x|－3<x<5}． (2)因为M＝{x|－4≤x<5}， 所以∁UM＝{x|x<－4或x≥5}， 又B＝{x|b－3<x<b＋7}，B∪(∁UM)＝R． 所以解得－2≤b<－1． 所以实数b的取值范围是{b|－2≤b<－1}． 答案：　(1){x|－3<x<5}　(2){b|－2≤b<－1} 四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(10分)下列命题中，判断p是q的什么条件，并说明理由． (1)p：|x|＝|y|，q：x＝y； (2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形； (3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形． 解析：　(1)∵|x|＝|y| ⇏ x＝y， 但x＝y⇒|x|＝|y|， ∴p是q的必要条件，但不是充分条件． (2)∵△ABC是直角三角形 ⇏ △ABC是等腰三角形， △ABC是等腰三角形 ⇏ △ABC是直角三角形， ∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件． (3)∵四边形的对角线互相平分 ⇏ 四边形是矩形， 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分， ∴p是q的必要条件，但不是充分条件． 18．(12分)(2022·浙江衢州高一期末)已知集合A＝{x|－3≤x<0}, B＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}． (1)若a＝－1，求A∩B; (2)设p：x∈A；q：x∈B, 若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解析：　(1) 当a＝－1时，B＝{x|x2－1≤0}＝{x|－1≤x≤1}， 因为A＝{x|－3≤x<0}，所以A∩B＝{x|－1≤x<0}． (2)p：x∈A；q：x∈B, 若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集， 由x2－(a＋1)x＋a≤0可得：(x－1)(x－a)≤0， 方程(x－1)(x－a)＝0的两根为1和a， 当a>1时，B＝{x|1≤x≤a}，此时不符合题意； 当a＝1时，B＝{1}，此时不符合题意； 当a<1时，B＝{x|a≤x≤1}，若A是B的真子集， 则解得：a≤－3． 所以实数a的取值范围为a≤－3． 19．(12分)(2022·上海市嘉定区中光高级中学高一月考)设M、P是两个非空集合，定义M与P的差集为M－P＝{x|x∈M且x∉P}． (1)若A＝{x|1<x<7，x∈N}，B＝{－3，－2，2，3，5}，求差集A－B； (2)若A＝{x|2x2－3x－5>0}，求出一个集合B，使其满足B－A＝{x|－1≤x<2}； (3)请从问题(1)或(2)中选出一组集合A，B，计算A－(A－B)，在此基础上写出集合A，B的交集、并集或补集的运算表达式，使其结果与A－(A－B)相等，并说明理由． 解析：　(1)由集合A＝{x|1<x<7，x∈N}＝{2，3，4，5，6}，B＝{－3，－2，2，3，5}， 根据集合的新定义，可得A－B＝{x|x∈A且x∉B}＝{4，6}． (2)由不等式2x2－3x－5＝(x＋1)(2x－5)>0，解得x<－1或x>， 所以集合A＝， 又由B－A＝{x|x∈B且x∉A}＝{x|－1≤x<2}， 所以集合B可以为：B＝{x|x<2}(答案不唯一)． (3)由(1)知A＝{2，3，4，5，6}，B＝{－3，－2，2，3，5}，可得A－B＝{4，6}， 则A－(A－B)＝{2，3，4，5，6}－{4，6}＝{2，3，5}， 因为A∩B＝{2，3，5}，∁A(A－B)＝{2，3，5}， 所以A－(A－B)＝A∩B＝∁A(A－B)． 20．(12分)已知p：关于x的方程x2－2ax＋a2＋a－2＝0有实数根，q：m－1≤a≤m＋3． (1)若p是假命题，求实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解析：　(1)因为p是假命题， 所以对于方程x2－2ax＋a2＋a－2＝0，有Δ＝(－2a)2－4(a2＋a－2)<0， 即4a－8>0，解得a>2，所以实数a的取值范围是{a|a>2}． (2)由命题p为真命题，根据(1)可得{a|a≤2}， 又由p是q的必要不充分条件，可得那么q能推出p，但由p不能推出q， 可得{a|m－1≤a≤m＋3}{a|a≤2}，则m＋3≤2，解得m≤－1， 所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}． 21．(12分)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}． (1)若A∪B＝A，求实数m的取值范围； (2)当x∈R时，若A∩B＝∅，求实数m的取值范围． 解析：　(1)∵A∪B＝A； ∴B⊆A； ∴①B＝∅时，m＋1＞2m－1， ∴m＜2； ②B≠∅时， ∴2≤m≤3； ∴实数m的取值范围为(－∞，3]． (2)∵A∩B＝∅； ①B＝∅时，m＋1＞2m－1， ∴m＜2； ②B≠∅时， 解得m＞4； ∴实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)． 22．(12分)(2022·甘肃会宁县第一中学高一期中)已知p：∀x∈，不等式a2－5a－3≥x2－x＋3恒成立；q：∃x∈R，使不等式x2＋ax＋2<0成立．若p是真命题，q是假命题，求实数a的取值范围． 解析：　p真：则a2－5a－3≥(x2－x＋3)max，x∈， 因为y＝x2－x＋3的对称轴为x＝，开口向上，则当x＝1时，ymax＝3， 即a2－5a－3≥3，解得a≤－1或a≥6； q假，则¬q真，即∀x∈R，x2＋ax＋2≥0恒成立， 所以Δ＝a2－8≤0，解得－2≤a≤2， ∵p真q假，∴ 解得－2≤a≤－1． ∴实数a的取值范围为{a|－2≤a≤－1}． 学科网（北京）股份有限公司 $$