第1章 1.1.2 子集和补集-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版2019）

1．1．2　子集和补集 [课标解读]　1．在具体情境中，了解空集与全集的含义．2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．3．能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用．4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集． 知识点一　集合间的基本关系 1．包含 如果集合A的每个元素都是集合B的元素，就说A包含于B，或者说B包含A，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 2．子集 若A包含于B，则称A是B的一个子集． 3．集合相等 如果A⊆B并且B⊆A，就说两个集合相等，记作A＝B． 4．真子集 如果A⊆B但A≠B，就说A是B的真子集，记作AB，读作“A真包含于B”． 5．韦恩图 如图，大圆和小圆分别表示两个集合；小圆画在大圆里，表示前者是后者的真子集．这类表示集合间关系的示意图叫作韦恩图． 规定：空集包含于任一集合，是任一集合的子集． [点拨]　(1)“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B． (2)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A． (3)对于集合A，B，子集、真子集与集合相等的关系如下：A⊆B⇒A＝B或AB．即子集包含真子集和集合相等两种情况． 知识点二　补集 1．全集 如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合U的元素和子集，就可以约定把集合U叫作全集(或基本集)． 2．补集 [点拨]　(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (3)符号∁UA有三层意思： ①A是U的子集，即A⊆U； ②∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U； ③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．(　　 ) (2)任何一个集合都有子集．(　　 ) (3)空集是任何集合的真子集．(　　 ) (4)数集问题的全集一定是R．(　　 ) (5)一个集合的补集中一定含有元素．(　　 ) 答案：　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× 2．已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，则(　　) A．P∈Q B．P⊆Q C．Q⊆P D．Q∈P C　[集合Q中的元素存在集合P中，所以Q⊆P．] 3．集合{0，1}的子集有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D　[根据题意，集合{0，1}的子集有{0}，{1}，{0，1}，∅，共4个，故选D．] 4．若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁UA＝ ． 解析：　借助数轴易得∁UA＝{x∈R|0<x≤2}． 答案：　{x∈R|0<x≤2} 探究点一　集合间关系的判断 指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)C＝{x|x是等边三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}； (3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}． 解析：　(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故CD． (3)方法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM． 方法二：由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，所以NM． 判断集合间关系的常用方法 即时练1．已知集合A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是(　　) A．A⊆B⊆C B．B⊆A⊆C C．AB⊆C D．A＝B⊆C B　[集合A，B，C之间的关系用Venn图表示，如图． 所以B⊆A⊆C，故选B．] 探究点二　集合的子集、真子集 已知集合M＝{x|x<2且x∈N}，N＝{x|－2<x<2且x∈Z}． (1)写出集合M的子集、真子集； (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数． 解析：　M＝{x|x<2且x∈N}＝{0，1}，N＝{x|－2<x<2，且x∈Z}＝{－1，0，1}． (1)M的子集为：∅，{0}，{1}，{0，1}；其中真子集为：∅，{0}，{1}． (2)N的子集为：∅，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}，{0，1}，{－1，0，1}． 所以N的子集数为8个，真子集数为7个，非空真子集数为6个． 1．求集合子集、真子集个数的3个步骤 2．集合的子集个数 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． [注意]　要注意两个特殊的子集：∅和自身．　　 即时练2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集． 解析：　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}， ∴A的子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}． A的真子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}． 探究点三　补集的基本运算 (1)已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝ ； (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝ ． 解析：　(1)方法一　∵A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}， ∴U＝{1，2，3，4，5，6，7}． 又∁UB＝{1，4，6}， ∴B＝{2，3，5，7}． 方法二　根据条件作出满足题意的Venn图如图所示． 由图可知B＝{2，3，5，7}． (2)将全集U和集合A分别表示在数轴上，如图所示． 由补集的定义可知∁UA＝{x|x<－3或x＝5}． 答案：　(1){2，3，5，7}　(2){x|x<－3或x＝5} 求集合的补集的方法 (1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解． (2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集． (3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题． 即时练3．已知集合A＝{x|－3≤x<5}，∁UA＝{x|x≥5}，B＝{x|1<x<3}，求∁UB． 解析：　由已知得，U＝{x|x≥－3}，又B＝{x|1<x<3}， 所以∁UB＝{x|－3≤x≤1或x≥3}． 探究点四　由集合间的关系求参数值或范围 设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围． 解析：　因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：(1)当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根， 可得解得a＝1． (2)当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}， 则有Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意． (3)当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1．满足题意． 综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤－1或a＝1}． 由集合的包含关系求参数的方法 (1)当集合为不连续实数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论； (2)当集合为连续实数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． [注意]　(1)不能忽视集合为∅的情形． (2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论．　　 即时练4．已知集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． 解析：　当m－1>2m＋1，即m<－2时，B＝∅，符合题意． 当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠∅． 由B⊆A，借助数轴可得解得0≤m≤．综上，实数m的取值范围是{m|m<－2或0≤m≤}． 1．(2021·广东潮州高一期末)在疫情期间，某社区男、女党员自发组成志愿者队伍，参与社区的防疫工作．若集合A＝{参与防疫工作的志愿者}，集合B＝{参与防疫工作的男党员}，集合C＝{参与防疫工作的女党员}，则下列关系正确的是(　　) A．A⊆B B．B⊆C C．C⃘A D．BA D　[易知集合B，C是集合A的子集，且是真子集，而集合B，C之间没有包含关系，因此只有D选项正确．] 2．已知集合A＝{－1，0，1}，则含有元素0的A的子集的个数为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 B　[根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}，共4个．] 3．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x<b}，∁UA＝{x|x<1或x≥2}，则实数b＝ ． 解析：　∵∁UA＝{x|x<1或x≥2}，U＝R， ∴A＝{x|1≤x<2}． ∴b＝2． 答案：　2 4．设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，若B⊆A，求实数m的值所组成的集合． 解析：　A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}．由B⊆A，且B中最多只有一个元素，得B＝∅或B＝{－3}或B＝{2}．当m＝0时，mx＋1＝0无解，故B＝∅，满足条件； 当B＝{－3}时，－3m＋1＝0，解得m＝； 当B＝{2}时，2m＋1＝0，解得m＝－． 故满足条件的实数m所组成的集合为{0，，－}． 课时作业(三)　子集和补集 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝}，有下列说法：①A⊆B；②A＝B；③AB．其中，正确说法的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 B　[由已知得，集合A中x≥0，集合B中y≥0，所以A＝B，A⊆B，①②正确，故选B．] 2．(2021·安徽六安一中高一期末)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤2x＋1＜9}，则∁UA＝(　　) A．{x|x＜0或x＞4} B．{x|x≤0或x＞4} C．{x|x≤0或x≥4} D．{x|x＜0或x≥4} D　[∵全集U＝R，集合A＝{x|1≤2x＋1＜9}＝{x|0≤x＜4}，∴∁UA＝{x|x＜0或x≥4}，故选D．] 3．若集合＝{0，a2，a＋b}，则a2 019＋b2 020的值为(　　) A．0 B．1 C．－1 D．±1 C　[∵＝{0，a2，a＋b}，易知a≠0， ∴b＝0，∴a2＝1，即a＝±1． 当a＝1时，{0，a2，a＋b}＝{0，1，1}不满足元素的互异性， ∴a＝－1，∴a2 019＋b2 020＝(－1)2 019＋02 020＝－1．] 4．(多选)设全集U＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{1，|a－5|，9}，∁UA＝{5，7}，则a的值是(　　) A．2 B．－2 C．8 D．－8 AC　[∵A∪(∁UA)＝U， ∴|a－5|＝3，解得a＝2或8．] 5．设集合A＝{1，0}，集合B＝{2，3}，集合M＝{x|x＝b(a＋b)，a∈A，b∈B}，则集合M的真子集的个数为(　　) A．7 B．12 C．16 D．15 D　[当a＝1，b＝2时，x＝6；当a＝1，b＝3时，x＝12；当a＝0，b＝2时，x＝4；当a＝0，b＝3时，x＝9．故集合M＝{4，6，9，12}，故集合M的真子集的个数为24－1＝15，故选D．] 6．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y的值为 ． 解析：　因为A＝{x，y}，B＝{0，x2}，所以x2≠0，即x≠0． 若A＝B，则解得 此时A＝{1，0}，B＝{0，1}，符合题意． 所以2x＋y＝2． 答案：　2 7．已知非空集合A满足：①A⊆{1，2，3，4}，②若x∈A，则5－x∈A，则满足上述要求的集合A的个数是 ． 解析：　由题意可知1，4成对出现，2，3成对出现，所以满足条件的非空集合A有{1，4}，{2，3}，{1，2，3，4}，共3个． 答案：　3 8．(2021·云南昭通市昭阳区第二中学高一期末)已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x>m}，若B⊆A，则实数m的取值范围为 ． 解析：　因为集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x>m}，且B⊆A， 所以m≥－1，故实数m的取值范围为[－1，＋∞)． 答案：　[－1，＋∞) 9．指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|0＜x＜5}； (2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}； (3)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|x＝，n∈Z}； (4)A＝{(x，y)|xy＞0}，B＝{(x，y)|x＞0，y＞0或x＜0，y＜0}． 解析：　(1)集合B中的元素都在集合A中，但集合A中有些元素(比如0，－0．5)不在集合B中，故BA． (2)∵A是偶数集，B是4的倍数集，∴BA． (3)A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}．在B中，当n为奇数时，x＝＝0，当n为偶数时，x＝＝1，∴B＝{0，1}，∴A＝B． (4)方法一　由xy＞0得x＞0，y＞0或x＜0，y＜0；由x＞0，y＞0或x＜0，y＜0得xy＞0，从而A＝B． 方法二　集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，从而A＝B． 10．已知集合A＝{x|1＜ax＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围． 解析：　①当a＝0时，A＝∅，满足A⊆B． ②当a＞0时，A＝， 又∵B＝{x|－1＜x＜1}且A⊆B，如图所示： ∴∴a≥2． ③当a＜0时，A＝， 又∵B＝{x|－1＜x＜1}，A⊆B，如图所示： ∴∴a≤－2． 综上所述，a的取值范围是{a|a＝0或a≥2或a≤－2}． [能力提升] 11．定义集合P－Q＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}，若集合P＝{4，5，6}，Q＝{1，2，3}，则集合P－Q的所有真子集的个数为(　　) A．32 B．31 C．16 D．15 B　[由题中所给定义，可知P－Q＝{1，2，3，4，5}，∴P－Q的所有真子集的个数为25－1＝31．故选B．] 12．若x∈A，∈A，则称A是伙伴关系集合．集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系集合的个数是(　　) A．31 B．7 C．3 D．1 B　[由“若x∈A，∈A”知，－1可以在集合A中，0一定不在集合A中，2和同时在(或不在)集合A中，3和同时在(或不在)集合A中，因此M的所有非空子集中具有伙伴关系的集合为{－1}，，，，，，，共7个，故选B．] 学科网（北京）股份有限公司 $$