13.4 尺规作图 【课时作业】 2024-—2025学年华东师大版数学八年级上册

13.4.4　经过一已知点作已知直线的垂线—13.4.5　作已知线段的垂直平分线 【基础达标】 1.过点P作直线l的垂线和斜线,叙述正确的是 （ ） A.都能作且只能作一条 B.垂线能作且只能作一条,斜线可作 无数条 C.垂线能作两条,斜线可作无数条 D.均可作无数条 2.如图,经过直线AB外一点C作这条直线的垂线,作法如下: ①任意取一点K,使点K和点C在直线AB的两侧; ②以点C为圆心,CK长为半径作弧,交AB于点D,E; ③分别以点D和点E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧相交于点F; ④作直线CF,则直线CF就是所求作的垂线. 根据以上尺规作图过程,若将这些点作为三角形的顶点,其中不一定是等腰三角形的是 （ ） A.△CDF B.△CDK C.△CDE D.△DEF 3.作锐角∠AOB的余角∠BOC,只需作 ⊥ 即可得到.  4.如图,过直线外一点P,作该直线的平行线,然后过点P作一条垂线表示这两条平行线间的距离. 【能力巩固】 5.如图,已知线段AB及AB外的一点P,按下列语句画图(不写画法,保留画图痕迹). (1)用尺规完成:连结AP,并作AP的垂直平分线.结论: .  (2)用三角板完成:过点P画线段AB的垂线段.结论: .  6.如图,在△ABC中. (1)用尺规作图法,过点A作BC的垂线段交BC于点E.(保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)所作的图形中,在EC上取一点F,使得BE=EF,连结AF,若CF=AB,求证:△AFC为等腰三角形. 7.阅读下面材料: 在数学课上,老师提出如下问题: 尺规作图:作一条线段的垂直平分线. 已知:线段AB. 小芸的作法如下: 如图, (1)分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于C、D两点; (2)作直线CD. 请你回答: (1)作图第一步为什么要大于AB的长? (2)小芸的作图是否正确?请说明理由. 【素养拓展】 8.(1)画一个等腰△ABC,使底边长BC为a,BC上的高为h(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,写出已知). (2)在(1)中,若a=6,h=4,求△ABC的周长. 参考答案 【基础达标】 1.B　2.A 3.CO　AO 4.解:先让直角三角板的斜边跟已知直线重合,并让直尺靠紧三角板的一条直角边,然后将三角板靠紧直尺向P点平移,与P点重合后,沿三角板的斜边作直线即可;用直角三角板的一条直角边与这条直线重合,另一条直角边与直线外的已知点重合,再过这个已知点沿直角边做垂线即可.所作已知直线的平行线如图所示. 【能力巩固】 5.解:(1)如图,分别以点A、P为圆心,大于AP的长为半径作弧,两弧相交于点C和D,作直线CD;结论:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. (2)用直角三角板的一条直角边与AB重合,另一条直角边过点P画线段,交AB于点M,线段PM即为所求.如图所示.结论:垂线段最短. 6.解:(1)作图如图所示. (2)证明:∵AE⊥BF,BE=EF, ∴AB=AF. ∵CF=AB, ∴AF=CF, ∴△AFC是等腰三角形. 7.解:(1)如果等于AB,那么两弧只相交一点;如果小于AB,那么两弧没有交点, 所以作图第一步要大于AB的长. (2)小芸的作图是正确的. 理由:连结AC,AD,BC,BD(图略).由作图得AC=AD,BC=BD,而CD是两个三角形的公共边. 在△CAD和△CBD中, ∴△CAD≌△CBD(SSS), ∴∠ACD=∠BCD,CD⊥AB,CD平分AB, ∴CD是AB的垂直平分线. 【素养拓展】 8.解:(1)已知底边长BC=a,高BC=h,如图 所示. (2)如图,a=6,h=4,AD⊥BC, ∴BD=CD=3, ∴由勾股定理得AB=5, ∴ABC的周长为AB+AC+BC=5+5+6=16. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.4.1　作一条线段等于已知线段—13.4.2　作一个角等于已知角 【基础达标】 1.已知一条线段作等边三角形,使其边长等于已知线段,则作图的依据是 .  2.已知线段a、b、c,用直尺和圆规作出一条线段,使它等于a+c-b. 3.如图,∠ABC的BC上有一点P,过点P作平行于AB的直线. 【能力巩固】 4.按要求作图:延长AD到点E,使DE=AD,连结BE、CE. 5.已知线段a、b、c,求作:△ABC,使AB=a,BC=b,BC上的中线AD=c. 【素养拓展】 6.已知等腰三角形的底角及一腰与底的和,求作等腰三角形.已知:∠α,线段m.求作:等腰三角形ABC,使AB=AC,∠ABC=∠α且AB+BC=m. 参考答案 【基础达标】 1.SSS 2.解:如图,先在射线上作线段AB=a,画出线段BC=c,再在AC上截取AD=b,CD即所求. 3.解:如图,直线PD就是所求的直线. 【能力巩固】 4.解: 5.作法:如图,(1)作线段AB,使AB=a; (2)分别以点A、B为圆心,c和b为半径,画弧交于D; (3)延长BD到点C,使DC=b; (4)连结AC,△ABC为所求作的三角形. 【素养拓展】 6.作法:如图,(1)作∠FBE,使∠FBE=α; (2)在边BE上截取BD=m; (3)以D为顶点,DB为一边,在∠α同侧,作∠BDA,使∠BDA=,交BF于点A; (4)以A为顶点,AD为一边,在与∠BDA同侧,作∠DAC=交BD于点C. ∴△ABC为所求作的等腰三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.4.3　作已知角的平分线 【基础达标】 1.用尺规作角平分线的依据是 （ ） A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 2.作△ABC的高AD、中线AE、角平分线AF,三者中有可能在△ABC的外部是 （ ） A.AD B.AE C.AF D.都有可能 3.三角形的角平分线是 （ ） A.射线 B.线段 C.直线 D.以上都有可能 4.如图,在△ABC中,AC=BC,以点A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB,AC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长,交BC于点D,若∠C=36°,则∠ADB的度数是 .  【能力巩固】 5.已知:∠α,线段m. 求作:等腰三角形△ABC,使其顶角∠BAC=∠α,∠BAC的平分线为m. (尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) 6.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=50°.按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB、AC于点E、F;②分别以点E、F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG,交边BC与点D.求∠ADC的度数. 【素养拓展】 7.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB. (1)尺规作图:过顶点A作△ABC的角平分线AD(不写作法,保留作图痕迹). (2)在AD上任取一点E,连结BE、CE.求证:△ABE≌△ACE. 参考答案 【基础达标】 1.D　2.A　3.B　4.72° 【能力巩固】 5.解:∵求作等腰三角形△ABC,使其顶角∠BAC=∠α,∠BAC的平分线为m, ∴根据等腰三角形的性质,得出∠BAC的平分线m,也是等腰三角形底边上的高线,作出即可. 6.解:根据作图可知AG平分∠CAB,因为直角三角形两锐角互余,所以∠ADC=90°-25°=65°. 【素养拓展】 7.解:(1)作图如图所示. (2)∵AD是△ABC的角平分线, ∴∠BAD=∠CAD. ∵∠ABC=∠ACB,∴AB=AC. ∵在△ABE和△ACE中, ∴△ABE≌△ACE(SAS). 学科网（北京）股份有限公司 $$