精品解析：福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学 2024年秋季高一年期中联考 考试科目：数学 满分：150分 考试时长：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式求得解集，表示出集合的元素，利用交集的定义，可得答案. 【详解】由，解得，则； 由，则. 故选：D. 2. 命题：的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可直接写出原命题的否定. 【详解】命题：的否定是：. 故选：A 3. 已知函数，则函数的解析式为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法计算可得. 【详解】设，则且，因为，可得， 所以函数. 故选：B. 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数解析式求得其定义域，根据二次函数与幂函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得答案. 【详解】由函数，则，整理可得，解得， 所以函数的定义域为， 令，，由，则， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在上单调递减， 所以函数的单调增区间为. 故选：C. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性可排除B，C；利用特殊值可判断A,D,即得答案. 【详解】因为函数的定义域为 ，且 故是偶函数，排除选项B，C； 当时，，对应点在第四象限，故排除A， 故选：D. 6. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间[2，4]上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数列出系数的等式，解方程得的两个值，由偶函数，确定的值得到函数，代入得到解析式，由对称轴得出单调区间，列出不等式，求出的范围. 【详解】因为是幂函数， 所以，所以或， 又因为是偶函数， 所以时，是奇函数，舍去；时，是偶函数， 所以， 所以关于对称， 所以在区间上单调递减， 所以，所以. 故选：A. 7. 已知，若正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易得在R上递增，且是奇函数，再由，得到，然后利用“1”的代换，用基本不等式求解. 【详解】因为，所以在R上递增， 又，所以是奇函数， 因为，所以，则，即， 则， ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是， 故选：B 8. 已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集求出a，利用不等式恒成立得出关于m的不等式组，求出m的范围． 【详解】由题意得：一元二次方程的两根分别为2，3， 由根与系数的关系，可得， 则不等式， 即对于任意的恒成立， 等价于，或， 解得，或， 则实数的取值范围为. 故选：B 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，给出下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题知，再结合不等式的性质依次讨论各选项即可得答案. 【详解】由可知， 对于A，，故A正确； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，，，，所以，故C错误； 对于D，由，两边同时乘以，所以， 两边同时乘以，所以，所以，故D正确. 故选：AD 10. 已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先分析方程根的情况，求出满足题意的值，再结合充分不必要条件概念，逐个判断即可. 【详解】先分析根的情况，. 当时，方程无实数根，此时，即， 解不等式得或时，，那么. 当时，即时，方程有实数根. 设方程的两根为，由韦达定理得，. 要使，则两根都大于，所以且。 解得或，结合，得到. 综上，时或. 对于选项A：是或的真子集. 当时，一定有，但时，还可能， 所以是是真命题的一个充分不必要条件. 对于选项B：与或无包含关系. 当时，不成立，所以不是充分条件. 对于选项C：是或的一部分. 当时，成立，是充分不必要条件. 对于选项D：或是的充要条件，不是充分不必要条件. 故选：AC. 11. 已知定义在上的函数满足，当时，，且，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上单调递减 D. 任意，存在，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用赋值法，结合函数定义逐项判断即可得. 【详解】对于A，令，，因为，所以解之可得，故A错误； 对于B，由题设有，即， 所以为奇函数，故B正确； 对于C，令，则有，当时，， 故，则 所以，所以可得， 则在上单调递减，故C正确； 对于D，，由于为奇函数， 设，对任意， 都有，所以为奇函数， 故对任意，存在， 使得，使得， 即任意，存在，使得， 故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式，利用分段函数求函数值，可得答案. 【详解】由函数，则， 即. 故答案为：. 13. 若函数为奇函数，则实数_______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，即对于任意实数，都有根据这个定义列出等式，然后通过化简等式来求解实数的值. 【详解】因为为奇函数，所以. 先求出，将换为，可得. 而. 所以. . 展开左边式子. 展开右边式子. 左右两边的系数应该相等，，解得. 故答案为：2. 14. 已知正数满足，，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当，即时，等号成立； ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上可得的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的定义域为集合A，集合 （1）求集合A； （2）设全集，求 ， 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据具体函数有意义的条件列不等式计算； （2）求出集合B，再根据交并补概念计算. 【小问1详解】 要使函数有意义，则有， 解之可得：，所以集合. 【小问2详解】 由可得：，解得或， ,则,则. 16. 已知函数. （1）用定义证明：函数在上是增函数； （2）解不等式： 【答案】（1）证明：当时，， 任取，且， 可得， 因为，且，可得，， 所以，即， 所以函数在上是增函数. （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义直接证明即可； （2）先判断函数为定义域上的奇函数，再结合单调性得到函数在上是增函数， 进而结合函数的奇偶性可将不等式化为，进而结合单调性求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由函数，定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数. 由（1）可得函数在上是增函数， 所以函数在上也是增函数， 又因为，所以函数在上是增函数， 由，即 即， 所以，即， 解得， 即实数的取值范围. 17. 某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入72万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入15万元，在对市场进行调研分析完后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）满足，，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总收益为（单位：万元）． （1）求的表达式，并求当甲产品投入26万元时，两种产品的总收益为多少万元； （2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总收益最大？ 【答案】（1），88万元 （2）在甲产品投入39万元，在乙产品投入33万元 【解析】 【分析】（1）根据题意，分情况列出关系式，写成分段函数形式即可；（2）分情况求出各段的最大值，结合换元，基本不等式，二次函数知识求解即可. 【小问1详解】 甲产品的投入为万元，则乙产品的投入为万元， 当时， 当时， 综上： , 即当甲产品投入26万元时，两种产品的总收益为88万元. 【小问2详解】 当时,令， 则总收益为 显然当时，（万元）. 当时, , 当且仅当.. , 该公司在甲产品投入39万元，在乙产品投入33万元，总收益最大，最大总收益为89.5万元. 18. 已知二次函数满足，且 （1）求函数的解析式； （2）解关于的不等式: （3）若，对于实数，，记函数在区间上的最小值为，且恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1） （2）当时，解集为：； 当时，解集为：； 当时，解集为：； 当时，解集为：； 当时，解集为：； （3） 【解析】 【分析】（1）设，利用待定系数法求解； （2）由（1）得到，再分分类求解即可； （3）由（1）得到，利用二次函数的性质求得，再由恒成立求解. 【小问1详解】 解：设， ， ，解得：， 又 ； 【小问2详解】 由（1）可得：即， 当 ，解得：； 由可得， ，解得：， 当时，， 当，即时，解得：， 当，即解得：， 当即时，解得：， 综上：当时，解集为：； 当时，解集为：； 当时，解集为：； 当时，解集为：； 当时，解集为：； 【小问3详解】 由（1）可得，则函数在上连续. ①当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以； ②当时，在上单调递增， 所以． 综上，. 当时，恒成立， 即对恒成立，即， 易得函数在上单调递增，，所以，； 当时，恒成立，即恒成立， 因为函数、在上均为增函数， 则函数在上单调递增，且其最大值为，所以，. 综上所述，实数的最小值为. 19. 已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. （1）若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； （2）若，函数是函数在上的“L函数”，求实数的取值范围； （3）试比较和的大小， 并证明：若，函数是函数在上的“L函数”，且，则对任意的都有. 【答案】（1）是，理由如下： 对任意的，且， ，. 显然有， 所以函数是函数在上的“L函数”. （2） （3），证明如下： 对于，不妨设， （i）当时， 因为函数是函数在上的“L函数”， 所以.   此时成立； （ii）当时，由得， 因为，函数是函数在上的“函数， 所以 ， 此时也成立， 综上，恒成立. 【解析】 【分析】（1）根据“L函数”的定义进行判断即可. （2）根据“L函数”的定义把问题转化成关于恒成立的问题，求的取值范围. （3）先用作差法证明，再分情况讨论，根据“L函数”的定义证明. 【小问1详解】 函数是函数在上的“L函数”，理由略； 【小问2详解】 因为函数是函数在上的“L函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 化简得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即，解得. 【小问3详解】 因为，，所以. 所以当时，. 当 时，. 综上：. 证明略. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是弄清楚“L函数”的定义，注意不能转化成两个函数的值域的包含关系分析问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学 2024年秋季高一年期中联考 考试科目：数学 满分：150分 考试时长：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题：的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则函数的解析式为（    ） A. B. C. D. 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间[2，4]上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，给出下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在上的函数满足，当时，，且，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上单调递减 D. 任意，存在，使得 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，则_______. 13. 若函数为奇函数，则实数_______. 14. 已知正数满足，，则的最小值为_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的定义域为集合A，集合 （1）求集合A； （2）设全集，求 ， 16. 已知函数. （1）用定义证明：函数在上是增函数； （2）解不等式： 17. 某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入72万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入15万元，在对市场进行调研分析完后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）满足，，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总收益为（单位：万元）． （1）求的表达式，并求当甲产品投入26万元时，两种产品的总收益为多少万元； （2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总收益最大？ 18. 已知二次函数满足，且 （1）求函数的解析式； （2）解关于的不等式: （3）若，对于实数，，记函数在区间上的最小值为，且恒成立，求实数的最小值． 19. 已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. （1）若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； （2）若，函数是函数在上的“L函数”，求实数的取值范围； （3）试比较和的大小， 并证明：若，函数是函数在上的“L函数”，且，则对任意的都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $