精品解析：上海南汇中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

上海南汇中学2024学年第一学期期中考试 高三数学 满分：150分 完成时间：120分钟 命题人：吴臻 吴世星 审题人：陈广前 注意：答案一律写在答题纸上，否则视为无效. 一、填空题：(本大题满分54分，其中 1-6题每小题4分，7-12题每小题5分) 1. 已知集合，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】解绝对值不等式可求得集合，由交集定义可求得结果. 【详解】，，. 故答案为：. 2. 已知函数 在区间上的最大值为________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性直接求解即可． 【详解】因为在区间上单调递减， 所以当时，函数 在区间上的最大值. 故答案为：0. 3. 已知角的终边经过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式与三角函数的定义可求得所求代数式的值. 【详解】由已知可得. 故答案为：. 4. 已知奇函数的周期为2，且当时，，则的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】由条件可得，然后可得答案. 【详解】因为奇函数的周期为2，且当时， 所以 故答案为：1 5. 若对所有实数x都成立，则等号成立时x的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值三角不等式关系即可求解. 【详解】因为，当且仅当时，即时等号成立． 故答案为： 6. 已知正数，满足则的最大值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】由得，代入，利用基本不等式即可求. 【详解】因为，所以， 因为，为正数，故，所以， 所以， 当且仅当即，此时，取到最大值为. 故答案为： 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足则角_____. 【答案】## 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再由余弦定理可得，即可求角. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 整理得， 由余弦定理可得， 因为， 所以. 故答案为： 8. 已知平面向量，满足且向量，的夹角为 则 在方向上的投影数量为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积来计算投影数量即可. 【详解】因为且向量，的夹角为 所以， 则在方向上的投影数量为：， 故答案为：. 9. 设，函数在处的切线方程为，则______. 【答案】##2.75 【解析】 【分析】求解导函数，计算处的导数值，再由切线方程得切线的斜率，由导数的几何意义列式求解出的值，再根据函数解析式求解切点坐标，并代入切线方程即可求解出的值，从而计算出的值. 【详解】由得， 因为函数在处的切线方程为， 所以， 所以， 所以， 当时，，即切点为， 将代入得， 所以. 故答案为： 10. 将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，若存在使得，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据图象变换求出解析式，根据可知， 即可表示出并求出最小值. 【详解】由题可知， ∵， ∴，，即， ，，即， ， ∴当时，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查三角函数图象的平移以及函数性质，属于基础题. 11. 魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速､盲拧､单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用俯视图分析多出来的表面积部分，结合对称性可解. 【详解】如图，转动了后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，俯视图如图， 由图形的对称性可知，为等腰直角三角形， 设直角边为，则斜边为， 故，可得. 由几何关系得：， 故所求面积. 故答案为： 12. 已知平面向量 满足，且对任意的实数t，均有 则的最小值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算，再用数形结合思想求出最小值. 【详解】 如图，建立直角坐标系，记， 因为，所以点， 作，设其坐标为，因为， 所以点在以点为圆心，1为半径的圆上，即， 因为对任意的实数t，均有 ， 所以， 由于上式对任意的实数t的一元二次不等式恒成立， 则，即， 设又设，则， 整理得：，所以可知点在直线上， 又因为点在以点为圆心，1为半径的圆上，且， 所以可以把看成两动点和的距离， 显然距离最小值为圆心到直线的距离减去半径1， 而点到直线的距离, 所以，即的最小值为3, 故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：确定B，C点轨迹解决问题的关键. 二、选择题(本大题满分18分， 13-14每小题4分， 15-16每小题5分) 13. 设，，则p是q成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分亦非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义即可得出结论． 【详解】由于命题；，推不出 故是的充分不必要条件． 故选：A 14. 若是关于的实系数方程的一根，则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 0 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将方程的根代入方程进行运算化简,然后利用复数相等的条件即得答案. 【详解】由题意可得，即， 所以. 故选：C. 15. 如图是函数在一个周期内的图象，该函数图象分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与过点A的直线相交于另外两点C、D，为x轴正方向的单位向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和三角函数的图象与性质，求得，，根据向量的线性运算，求得，结合向量的数量积的坐标运算，即可求解. 【详解】因为函数，由，所以， 令，即，可得， 即，当时，，所以， 因为函数关于A对称，所以关于A的对称点为，即的中点为A， 所以， 又由为轴正方向的单位向量，所以， 所以. 故选：D. 16. 将函数，的图象绕点顺时针旋转角（）得到曲线C，若曲线C仍是一个函数的图形，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转后的切线倾斜角最多为，故只需求 处的倾斜角即可. 【详解】 函数， ， 当时，，函数在上递增， 当时，，函数在上递减， 可得在处切线的倾斜角为， 因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转后的切线倾斜角最多为，也就是说，最大旋转角为，即的最大值为. 故选：A. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知复数其中. （1）设，若是纯虚数，求实数的值； （2）设，分别记复数，在复平面上对应的点为、，求与的夹角大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，根据是纯虚数即可求解； （2）当时求解，，可得复平面上对应的点、的坐标，利用向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 ， 由是纯虚数，所以， 所以； 【小问2详解】 当时，，所以， 所以，， 所以，， ， 所以与的夹角为. 18. 如图，在四棱锥中，已知平面， ，，，且. （1）求四棱锥的体积; （2）求直线与平面所成角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用锥体的体积公式求解即可； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量以及平面的法向量，利用向量夹角公式计算线面角即可. 【小问1详解】 梯形中，，所以， ， 因为平面，所以四棱锥的高， 所以； 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， ，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 由，所以， 令，可得，，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角为. 19. 某商场零食区改造，如图，原零食区是区域ODBC ，改造时可利用部分为扇形区域OAD，已知，米，米， 区域OBC为三角形， 区域OAB是以OA为半径的扇形，且 . （1）若需在区域OABC外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度； （2）在区域OAD中，设置矩形区域HGIF 作为促销展示区，若设，求当取何值时，促销展示区的面积取到最大值，并求出的最大值. 【答案】（1）米 （2）时，平方米 【解析】 【分析】（1）根据弧长公式及直角三角形的边角关系求解即可； （2）根据锐角三角函数可得，，利用面积公式，结合三角函数恒等变换以及三角函数的性质即可求解最值. 【小问1详解】 因为，，， 所以，， 则，， 所以弧长， 所以广告带的总长度为 米； 【小问2详解】 如图，连接，， 因为，所以，， 因为，所以， 所以， 所以 ， 因为，当，即时取得最大值， 所以， 所以的最大值为平方米. 20. 对于函数如果存在实数 使得那么称为的线性生成函数, 称为生成系数对. （1）已,试判断是否为的线性生成函数，若是，求出生成系数对，若不是，说明理由； （2）已知的线性生成函数为，生成系数对为,试讨论的奇偶性，并说明理由； （3）已知的线性生成函数为，生成系数对为，若对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）不是，理由：若为的线性生成函数，则 即， 所以，无解，故不存在实数 使得 所以不是的线性生成函数. （2）因为的线性生成函数为，生成系数对为， 所以， 当时，， 对任意，都有， 故当时，为偶函数； 当时，， 对任意， 易得到，， 当时，既不是奇函数也不是偶函数. 综上：当时，为偶函数； 当时，既不是奇函数也不是偶函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据定义得，根据多项式相等判断是否有解即可. （2）利用定义表示出借助奇偶性定义分情况讨论即可； （3）利用定义及已知可化简为，转化为在的值域是在的值域的子集，利用函数的单调性及子集知识求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为的线性生成函数为，生成系数对为， 所以， 因为 由， 可得，即 化简得，即 令,，, 易知在单调递减,所以， 在单调递增，所以， 则由题意可得在的值域是在的值域的子集. 所以，即，解得, 所以实数的取值范围. 【点睛】关键点点睛：本题的第三问主要是化简为，进一步转化为在的值域是在的值域的子集. 21. 若定义在上的函数和分别存在导函数和. 且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数. （1）求证: 函数是函数的“控制函数”; （2）若函数是函数的“控制函数”，求控制系数k的取值范围； （3）若函数为偶函数，函数是函数的“控制函数”， 求证:“”的充要条件是“存在常数， 使得恒成立”. 【答案】（1）证明：，，则， 故，即恒成立， 故函数是函数的“控制函数”； （2） （3） 充分性：若存在常数使得恒成立， 则为偶函数， 因为函数为偶函数，所以， 则，即， 所以恒成立，所以； 必要性：若，则，所以函数为偶函数， 函数是函数的“控制函数”， 因此，又， 因此函数是函数的“控制函数”， 所以，即恒成立， 用代换有， 综上可知，记， 则， 因此存在常数使得恒成立， 综上可得，“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 【解析】 【分析】（1）结合定义，只需证明即可得； （2）结合定义，构造函数，结合导数求出最小值即可得； （3）先证明充分性：若存在常数使得恒成立，结合偶函数定义计算即可得；再证明必要性：由题意可得，又，则可结合偶函数性质得到，即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 有， ， 则，， 令， 则 ， 由， 故当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故，即有， 则当时，函数是函数的“控制函数”， 即； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题关键点在于正确理解定义，从而可构造函数或解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海南汇中学2024学年第一学期期中考试 高三数学 满分：150分 完成时间：120分钟 命题人：吴臻 吴世星 审题人：陈广前 注意：答案一律写在答题纸上，否则视为无效. 一、填空题：(本大题满分54分，其中 1-6题每小题4分，7-12题每小题5分) 1. 已知集合，，则___________. 2. 已知函数 在区间上的最大值为________. 3. 已知角的终边经过点，则________． 4. 已知奇函数的周期为2，且当时，，则的值为_______． 5. 若对所有实数x都成立，则等号成立时x的取值范围为________． 6. 已知正数，满足则的最大值为_____. 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足则角_____. 8. 已知平面向量，满足且向量，的夹角为 则 在方向上的投影数量为_____. 9. 设，函数在处的切线方程为，则______. 10. 将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，若存在使得，则的最小值为______. 11. 魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速､盲拧､单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是__________. 12. 已知平面向量 满足，且对任意的实数t，均有 则的最小值为__________ 二、选择题(本大题满分18分， 13-14每小题4分， 15-16每小题5分) 13. 设，，则p是q成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分亦非必要条件 14. 若是关于的实系数方程的一根，则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 0 D. 4 15. 如图是函数在一个周期内的图象，该函数图象分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与过点A的直线相交于另外两点C、D，为x轴正方向的单位向量，则（ ） A. B. C. D. 16. 将函数，的图象绕点顺时针旋转角（）得到曲线C，若曲线C仍是一个函数的图形，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知复数其中. （1）设，若是纯虚数，求实数的值； （2）设，分别记复数，在复平面上对应的点为、，求与的夹角大小. 18. 如图，在四棱锥中，已知平面， ，，，且. （1）求四棱锥的体积; （2）求直线与平面所成角. 19. 某商场零食区改造，如图，原零食区是区域ODBC ，改造时可利用部分为扇形区域OAD，已知，米，米， 区域OBC为三角形， 区域OAB是以OA为半径的扇形，且 . （1）若需在区域OABC外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度； （2）在区域OAD中，设置矩形区域HGIF 作为促销展示区，若设，求当取何值时，促销展示区的面积取到最大值，并求出的最大值. 20. 对于函数如果存在实数 使得那么称为的线性生成函数, 称为生成系数对. （1）已,试判断是否为的线性生成函数，若是，求出生成系数对，若不是，说明理由； （2）已知的线性生成函数为，生成系数对为,试讨论的奇偶性，并说明理由； （3）已知的线性生成函数为，生成系数对为，若对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 21. 若定义在上的函数和分别存在导函数和. 且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数. （1）求证: 函数是函数的“控制函数”; （2）若函数是函数的“控制函数”，求控制系数k的取值范围； （3）若函数为偶函数，函数是函数的“控制函数”， 求证:“”的充要条件是“存在常数， 使得恒成立”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $