3.1.2 第1课时 函数的单调性-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

3.1.2　函数的单调性 第1课时　函数的单调性 　 第三章　3.1　函数的概念与性质 知识目标 1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性． 2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间． 3．理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值． 4．理解斜率的含义及平均变化率的概念. 素养目标 借助函数单调性的判断与证明，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象素养；利用求单调区间、最值，培养数学运算和直观想象素养；利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题1.观察下面三个函数图象，它们的图象有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？ 问题导思 提示：函数y＝x的图象从左向右看是上升的，相应函数值随自变量x的增大而增大；函数y＝ (x＞0)的图象从左向右看是下降的，相应函数值随自变量x的增大而减小；函数y＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的，相应函数值，当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大． 如图是沙漠地带某天气温随时间的变化曲线． 请回答以下问题： 问题2.该天的最高气温和最低气温分别是多少？ 提示：该天的最高气温为25 ℃，最低气温为－5 ℃. 问题3.设该天某时刻的气温为f(x)，则f(x)在哪个范围内变化？ 提示：该天某时刻的气温变化范围是[－5，25]． 问题4.从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？ 提示：气温的最大值在t＝17时处取得，气温的最小值在t＝6时处取得． 知识点一　函数的单调性 1．增函数、减函数的定义 新知构建 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且区间I⊆D，如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有 ______________ ______________ 结论 则称y＝f(x)在区间I上是增函数(也称在区间I上单调递增) 则称y＝f(x)在区间I上是减函数(也称在区间I上单调递减) 图示 自左向右图象逐渐上升 自左向右图象逐渐下降 f(x1)<f(x2) f(x1)<f(x2) 1．“区间I⊆D”说明函数的单调区间是其定义域的子集，不一定是定义域． 2．x1，x2的三个特征： (1)同区间性，即x1，x2∈I； (2)任意性，即不可用区间I上的两个特殊值代替x1，x2； (3)有序性，即需要区分大小，通常规定x1<x2. 3．自变量的大小与函数值的大小关系： (1)单调递增：x1＜x2⇔f(x1)＜f(x2)，x1＞x2⇔f(x1)＞f(x2)． (2)单调递减：x1＜x2⇔f(x1)＞f(x2)，x1＞x2⇔f(x1)＜f(x2)． 即可以利用单调递增、单调递减的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化． 微提醒 4．若f(x)在区间I上为增(减)函数，则函数f(x)的图象在区间I上的对应部分自左向右逐渐上升(下降)． 2．单调性、单调区间、单调函数 如果一个函数在某个区间I上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间I上具有________．区间I称为函数的单调区间． 如果一个函数在其整个定义域内具有单调性，则称此函数是单调函数． 单调性 1．由于函数在单独的一个x值处不存在单调性，因此写单调区间时可以包括区间端点，也可以不包括，但单调区间一定不包括使函数无意义的x 的值． 2．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或逗号连接． 微提醒 知识点二　函数的最大(小)值 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)____f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点. 函数的最大值对应其图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)____f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点. 函数的最小值对应其图象最低点的纵坐标. 说明：最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点． ≤ ≥ 函数的最值和值域的联系与区别 1．联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域． 2．区别： (1)函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在； (2)若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素； (3)若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值． 微提醒 知识点三　函数的平均变化率 1．直线的斜率 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称 _______ 为直线AB的斜率；当x1＝x2时，称直线AB的斜率________． 不存在 1．直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度． 2．若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，则当Δx≠0时，斜率可记为k＝ . 微提醒 2．平均变化率 为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变 化率． 利用上述结论，我们可以证明一个函数的单调性． 1．Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． 2．注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)． 3．平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f(x)＝x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但f(x)＝x2在[－2，2]上的图象先下降后上升，值域是[0，4]． 微提醒 5．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”．只有当Δx＝x2－x1无限变小时，这种量化才由“粗糙”逼近“精确”． 1．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，且对定义域内任意实数x1，x2，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则f(x)在(a，b)上 A．单调递增 B．单调递减 C．先单调递减再单调递增 D．先单调递增再单调递减 √ 自主检测 2．函数y＝－x2＋1的单调递增区间为 A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞) √ 函数y＝－x2＋1是二次函数，它的图象是开口向下的抛物线，图象的对称轴为x＝0，故该函数的递增区间为(－∞，0]．故选A. 3．函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 A．f(－2)，0 B．0，2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2 √ 由图象知点(1，2)是最高点，故ymax＝2.点(－2，f(－2))是最低点，故ymin＝f(－2)． 4．函数f(x)＝x－2，x∈{0，1，2，4}的最大值为____． 2 函数f(x)自变量的取值是几个孤立的数，用观察法即得它的最大值为f(4)＝2. 5．函数y＝2x＋1在区间[0，5]上的平均变化率为____． 2 返回 合作探究 返回 题型一　利用函数图象求单调区间 　已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为 A．(－3，1)∪(1，4) B．(－5，－3)∪(－1，1) C．(－3，－1)，(1，4) D．(－5，－3)，(－1，1) √ 例1 点拨：观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间． 在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4)．故选C. 规律方法 图象法求函数单调区间的步骤 第一步，作图：作出函数的图象； 第二步，结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间． √ 对点练1.函数f(x)＝|x－1|＋3x的单调递增区间是 A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．[0，＋∞) D．(－∞，＋∞) 当x≥1时，f(x)＝x－1＋3x＝4x－1，在[1，＋∞)递增，当x<1时，f(x)＝1－x＋3x＝2x＋1，在(－∞，1)递增，且函数在x＝1处连续，故f(x)在R递增．故选D. 题型二　函数的单调性判断与证明 　根据定义证明函数y＝x＋ 在区间(1，＋∞)上单调递增． 点拨：在定义域内取x1<x2，代入y求y1－y2，化简的结果与0比较大小，由定义得出函数的单调性． 证明：∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，有 例2 由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1， 所以x1x2>1，x1x2－1>0. 又由x1<x2，得x1－x2<0. 规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤 注意　作差变形是解题关键． 对点练2.已知f(x)＝x＋ ，判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性并用定义法证明． 解：f(x)在[2，＋∞)上单调递增，证明如下： 任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1<x2， 因为2≤x1<x2，所以x1－x2<0，x1x2>4， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 例3 题型三　由函数的单调性求参数的取值范围 　已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围． 点拨：首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x＝1－a，利用对称轴应在直线x＝4的右侧或与其重合求解． 解：因为f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 ＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2， 所以f(x)的减区间是(－∞，1－a]． 因为f(x)在(－∞，4]上是减函数， 所以对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合． 所以1－a≥4，解得a≤－3. 故实数a的取值范围为(－∞，－3]． 规律方法 “函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别 单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义． 对点练3.例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？ 解：由例3知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]． 所以1－a＝4，a＝－3. 易错点　求单调区间时，因忽略定义域而致错 (－∞，－1)，(－1，＋∞) 正解：f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． 设x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， 故f(x)在(－1，＋∞)上为单调递减函数． 同理，可证得f(x)在(－∞，－1)上也为单调递减函数． 综上，原函数的单调减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)． 易错精析 易错探因　本题易错地方(1)是忽略函数的定义域，得到如下错解： 所以f(x)在R上为单调减函数，即单调减区间为(－∞，＋∞)． 事实上，当x2>－1而x1<－1时，(1＋x1)(1＋x2)<0， 于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． 究其原因，没有求得f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，而其单调区间必须是其定义域的某个子区间．所以用定义法求其单调区间时，x1，x2必同为其某一子区间上任取的两个值，而不能分别在两个不同区间上取值． (2)易错在求解完成写单调区间时，没有用“，”连接，而错用“∪”连接． 误区警示　求函数的单调区间时，一般应先考虑定义域，然后在定义域内求出函数的单调区间，否则容易出错. 返回 随堂演练 返回 1．函数y＝f(x)，x∈[－4，4]的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是 A．[－4，4] B．[－4，－3]∪[1，4] C．[－3，1] D．[－3，4] √ 由图象知f(x)的单调递增区间为[－3，1]． 2．下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是 A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x C．f(x)＝2x D．f(x)＝ √ (－∞，1) 当x≥1时，f(x)单调递增；当x<1时，f(x)单调递减．所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)． 4．若函数f(x)＝ax2＋x＋a在[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是__________． [0，＋∞) 返回 课时测评 返回 1．设f(x)是定义在R上的函数． ①若存在x1，x2∈R，x1<x2，使f(x1)<f(x2)成立，则函数f(x)在R上单调 递增； ②若存在x1，x2∈R，x1<x2，使f(x1)≤f(x2)成立，则函数f(x)在R上不可能单调递减； ③若存在x2>0对于任意x1∈R都有f(x1)<f(x1＋x2)成立，则函数f(x)在R上单调递减． 则以上真命题的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于①，“任意”x1，x2∈R，x1<x2，使f(x1)<f(x2)成立，函数f(x)在R上单调递增，故①不对； 对于②，由减函数的定义知，必须有“任意”x1，x2∈R，x1<x2，使f(x1)>f(x2)成立，即若存在x1<x2，使f(x1)≤f(x2)成立，函数f(x)在R上不可能单调递减，故②对；对于③，存在x2>0对于任意x1∈R都有f(x1)<f(x1＋x2)成立，则函数f(x)不在R上单调递减，故③不对．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．下列函数中，在[1，＋∞)上单调递增的是 A．y＝(x－2)2 B．y＝|x－1| √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则 √ 因为函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，所以2k＋1<0，所以k<－ ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是 C．若x1<x2，则f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) √ √ 因为f(x)在[a，b]上是增函数，所以对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A、B正确，D不正确；C中，若x1<x2，则f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)，所以C不正确．故选AB. B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(2a－1)<f(1－a)，则实数a的取值范围是 C．(0，2) D．(0，＋∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．指出如图所示的图象对应的函数的单调递增区间是__________________． [－1.5，3]和[5，6] 由图象可得函数的单调递增区间是[－1.5，3]和[5，6]． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．若函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是____________． f(－3)>f(－π) 因为∀x1，x2∈R且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，所以f(x)在R上是增函数，又－3>－π，故f(－3)>f(－π)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．函数f(x)＝|x2－2x－3|的单调增区间是___________________． [－1，1]和[3，＋∞) 可知函数f(x)的单调递增区间为[－1，1]和[3，＋∞)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)判断函数f(x)的单调性并证明；(4分) 又由2≤x1<x2≤9，则(x1－1)>0，(x2－1)>0，(x2－x1)>0， 则f(x1)－f(x2)>0， 则函数f(x)在[2，9]上为减函数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求函数f(x)的最大值和最小值．(6分) 解：由(1)的结论知，函数f(x)在[2，9]上为减函数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)请在给定的坐标系中画出此函数的图象；(4分) 解：图象如图所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)写出此函数的定义域、单调区间及值域(不需要写过程)．(6分) 解：定义域为R，单调增区间为(－∞，－3)和(－1，0)，单调减区间为 (－3，－1)和(0，＋∞)，值域为R. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)已知函数f(x)的定义域为R，且对任意两个不相等的实数a，b都有(a－b)[f(a)－f(b)]>0，则不等式f(3x－1)>f(x＋5)的解集为 A．(－∞，3) B．(－∞，2) C．(3，＋∞) D．(2，＋∞) √ 不妨设a>b，因为(a－b)[f(a)－f(b)]>0，所以f(a)>f(b)，所以f(x)是R上的增函数，所以f(3x－1)>f(x＋5)⇔3x－1>x＋5，解得x>3，故原不等式的解集为(3，＋∞)．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－ . (1)求证：f(x)在R上是减函数；(4分) 解：证明：在R上任取x1>x2， 则f(x1)－f(x2) ＝f(x1－x2＋x2)－f(x2) ＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2) ＝f(x1－x2)． 因为当x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0， 所以f(x1－x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在R上为减函数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值．(6分) 解：令x＝y＝0可得f(0)＋f(0)＝f(0)， 所以f(0)＝0， 令y＝－x可得，f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0， 即f(x)＝－f(－x)． 由(1)知f(x)在R上是减函数， 所以f(x)在[－3，3]上也是减函数， 所以f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)． 而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2， 所以f(x)在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)已知f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是 A．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b) B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) C．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b) D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b) √ 由a＋b≤0，可得a≤－b且b≤－a，又函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≤f(－b)且f(b)≤f(－a)，所以f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)若f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且满足f ＝f(x)－f(y)，当x>1时，f(x)>0. (1)判断并证明函数的单调性；(5分) 解：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．证明如下： 所以f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：因为f(2)＝1， 所以f(4)＝2， 又f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)为增函数， 所以原不等式的解集为(0，1)． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 三 章 　 函 数 返回 一般地，当x1≠x2时，称＝___________ 4．平均变化率的几何意义是函数y＝f(x)图象上的两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))连线所在直线的斜率． (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则或即当x1<x2时，f(x1)>f(x2)或当x1>x2时，f(x1)<f(x2)．不论哪种情况，都说明f(x)在(a，b)上单调递减．故选B. 由平均变化率的定义可得＝＝2，故函数y＝2x＋1在区间[0，5]上的平均变化率为2. y1－y2＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1x2－1)． 于是(x1x2－1)<0，即y1<y2. 所以，函数y＝x＋在区间(1，＋∞)上单调递增． 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝(x1－x2)＋＝， 所以f(x)＝x＋在[2，＋∞)上为增函数． 函数f(x)＝的单调区间为_______________________． 则f(x1)－f(x2)＝>0，即f(x1)>f(x2)， 设x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝>0，即f(x1)>f(x2)． 根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可知：f(x)＝3－x，f(x)＝在(0，＋∞)上均单调递减；f(x)＝x2－3x在上单调递减，在上单调递增；f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增．故选C. 3．已知函数f(x)＝则f(x)的单调递减区间是____________． 当a＝0时，f(x)＝x在[1，＋∞)上单调递增，满足题意；当a≠0时，f(x)＝ax2＋x＋a图象的对称轴为直线x＝－，要使函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，只需解得a>0.综上，a的取值范围是[0，＋∞)． C．y＝ D．y＝－(x＋1)2 对于A，函数y＝(x－2)2的图象是对称轴为x＝2，且开口向上的抛物线，所以在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以不满足题意；对于B，函数y＝|x－1|＝所以在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，满足题意；对于C，函数y＝，在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减，所以不满足题意；对于D，函数y＝－(x＋1)2的图象是对称轴为x＝－1，且开口向下的抛物线，所以在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减，不满足题意．故选B. A．k> B．k< C．k>－ D．k<－ A．>0 D．<0 A． B． 函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(2a－1)<f(1－a)，则有解得<a<1.故选B. 由x2－2x－3＝0，可得x＝－1或x＝3，且函数y＝x2－2x－3的对称轴为x＝1，所以f(x)＝作出函数f(x)的图象如图所示， 9．(10分)已知函数f(x)＝，x∈[2，9]． 解：根据题意，函数f(x)＝在区间[2，9]上为减函数， 证明：f(x)＝＝2＋， 设任意x1，x2且2≤x1<x2≤9，则f(x1)－f(x2)＝－ ＝2×， 则f(x)在[2，9]上最大值为f(2)＝4，最小值为f(9)＝. 10．(10分)已知函数f(x)＝ 11．(5分)若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为 A． B． C． D．∪ 要使f(x)在R上是减函数，需满足：解得≤a<.故选A. 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1. 因为f ＝f(x)－f(y)，当x>1时，f(x)>0， 所以f ＝f(x1)－f(x2)>0， (2)若f(2)＝1，解不等式f(x＋3)－f <2.(10分) 所以f ＝f(4)－f(2)＝f(4)－1＝1， 所以f(x＋3)－f <2，即f[x(x＋3)]<f(4)， 所以解得0<x<1. $$