1.2.3 充分条件、必要条件-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

1.2.3　充分条件、必要条件 　 第一章　1.2　常用逻辑用语 知识目标 1．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 3．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 4．运用集合的包含关系解释充分条件、必要条件、充要条件． 5．充分条件与必要条件的判断与探求. 素养目标 通过充分条件、必要条件、充要条件的判断，提升逻辑推理素养；通过充分条件、必要条件、充要条件的应用，培养数学运算素养. 新知导学 1 课时测评 5 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 微专题 4 新知导学 返回 阅读以下四个语句： (1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点； (2)同位角相等； (3)两个面积相等的三角形全等； (4)同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行． 问题1.以上四个语句的表述形式有什么特点？ 提示：两个特点：①均是陈述句；②能够判断真假． 问题2.你能判断这些语句的真假吗？ 提示：(1)(4)为真；(2)(3)为假． 问题导思 知识点一　充分条件、必要条件 当p⇒q时，我们称p是q的______条件，q是p的______条件；当p q时，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． 新知构建 充分 必要 对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释： 1．“若p，则q”形式的命题为真命题； 2．由条件p可以得到结论q； 3．p是q的充分条件或q的充分条件是p； 4．只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的； 5．q是p的必要条件或p的必要条件是q； 6．一旦q不成立，p一定也不成立，q成立对于p成立是必要的． 显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已． 微提醒 知识点二　充要条件 一般地，如果p⇒q且q p，则称p是q的充分不必要条件． 如果p q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． 如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的__________条件(简称为充要条件)，记作p⇔q，读作“p与q等价”“p当且仅当q”． 显然，p是q的充要条件时，q也是p的充要条件． 如果p q且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要 p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等． 微提醒 1．已知a∈R，则“a>1”是“ <1”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 自主检测 2．设集合A、B是全集U的两个子集，则“A⊆B”是“A∩(∁UB)＝∅”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 如下图所示， A⊆B⇒A∩(∁UB)＝∅，同时A∩(∁UB)＝∅⇒A⊆B.故选C. 3．(新角度)唐代诗人杜牧的七绝唐诗《偶题》传诵至今，“道在人间或可传，小还轻变已多年．今来海上升高望，不到蓬莱不是仙”，由此推断，后一句中“是仙”是“到蓬莱”的 A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 √ 由已知：由“是仙”可以推出“到过蓬莱”，而“到过蓬莱”不一定推出“是仙”，所以“是仙”是“到蓬莱”的充分不必要条件．故选B. 4．用符号“⇒”与“ ”填空： (1)x2>1____x>1； 命题“若x2>1，则x>1”是假命题，故x2>1 x>1. (2)a，b都是偶数____a＋b是偶数． ⇒ 命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数⇒a＋b是偶数． 5．已知集合A为数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的__________条件． 必要不充分 A∩{0，1}＝{0}⇒/A＝{0}；反之，A＝{0}⇒A∩{0，1}＝{0}，所以“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件. 返回 合作探究 返回 题型一　充分条件、必要条件、充要条件的判断 　(1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件： ①若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； 点拨：判断p是q的什么条件，关键先判断p⇒q，q⇒p，最后用定义下结论． 解：这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件． ②若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； 解：这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件． ③若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； 解：这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件． ④若x2＝1，则x＝1； 解：由于(－1)2＝1，但－1≠1，p q，所以p不是q的充分条件． 例1 ⑤若a＝b，则ac＝bc； 解：由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件． ⑥若x，y为无理数，则xy为无理数． (2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件： ①若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； 解：这是平行四边形的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件． ②若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； 解：这是三角形相似的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件． ③若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； 解：如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，p q，所以，q不是p的必要条件． ④若x＝1，则x2＝1； 解：显然，p⇒q，所以，q是p的必要条件． ⑤若ac＝bc，则a＝b； 解：由于(－1)×0＝1×0，但－1≠1，p q，所以，q不是p的必要条件． ⑥若xy为无理数，则x，y为无理数． 规律方法 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 1．定义法 (1)分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论． (2)找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假． (3)根据推式及条件得出结论． 规律方法 2．等价转化法 (1)等价法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的 命题． (2)逆否法：这是等价法的一种特殊情况． ①若¬p⇒¬q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件； 规律方法 3．集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断． 4．传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断． 5．特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题． 对点练1.判断下列p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件，充分必要条件)． (1)p：x是无理数；q：x2是有理数； 当x2＝4时，x＝±2，所以必要性也不成立． 所以p是q的既不充分也不必要条件． (2)p：x－1>0；q：x2>1； 解：当x－1>0，即x>1，有x2>1，所以充分性成立； 当x＝－2时，x2＝4>1，而x－1＝－2－1<0，所以必要性不成立． 所以p是q的充分不必要条件． (3)p：xy>0；q：点(x，y)在第一象限； 解：若xy>0，则点(x，y)在第一、三象限，所以充分性不成立； 若点(x，y)在第一象限，则xy>0，所以必要性成立， 所以p是q的必要不充分条件． (4)p：集合A＝{x∈R|ax2＋x＋2＝0}有两个子集；q：a＝0或 . 解：因为集合A＝{x∈R|ax2＋x＋2＝0}有两个子集， 所以集合A只有一个元素． 当a＝0时，x＋2＝0，解得x＝－2，即A＝{－2}， 所以p是q的充分必要条件． 题型二　求条件(充分条件、必要条件和充要条件) 　一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是 A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a>1 例2 √ 点拨：依题意知本题是寻找一个“选项”，使得该“选项”⇒“题干”，但“题干” “选项”． 规律方法 本题易错的地方是颠倒充分性和必要性，根据一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根解得a<0，而误选A.因为(－∞，－1)(－∞，0)．故选C. 对点练2.(多选)命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是 A．a≥4 B．a≥5 C．a≥8 D．a≤4 √ √ 因为命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”是真命题，所以∀1≤x≤2，a≥x2恒成立，所以a≥4，对于A，a≥4是它为真命题的充要条件，对于D，a≤4是它为真命题的既不充分也不必要条件，所以命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5，a≥8.故选BC. 题型三　充分条件、必要条件、充要条件的应用 　已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围． 例3 点拨： 构造集合M＝{x|p(x)}；N＝{x|q(x)} 由已知MN 解关于a的不等式组 结果 ―→ N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}， 规律方法 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解． 对点练3.p：x＝2，q：x2－(a＋1)x＋a＝0，p是q的充分不必要条件，则a＝_____． 2 由x2－(a＋1)x＋a＝0得x＝1或x＝a， 因为p是q的充分不必要条件，所以a＝2. 返回 随堂演练 返回 1．已知p：x(x－1)＝0，q：x＝1，则p是q的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 √ 由x(x－1)＝0得x＝0或x＝1，所以p q，q⇒p，故p是q的必要不充分条件．故选B. 2．已知集合A＝{3，m}，B＝{1，3，5}，则m＝1是A⊆B的 A．充分条件 B．必要条件 C．无法判断 D．既不充分条件也不必要条件 √ 若A⊆B，则有m∈B且m≠3，所以m＝1或m＝5，故当m＝1时，有A⊆B，而A⊆B时，m不一定是1，故m＝1是A⊆B的充分条件，不是必要条件．故选A. 3．“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 因为由“三角形的三条边相等”可以得出“三角形为等边三角形”，由“三角形为等边三角形”也可以得出“三角形的三条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件．故 选C. 4．若“－1<x<3”是“x>2a－3”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是__________． {a|a≤1} 因为“－1<x<3”是“x>2a－3”的充分不必要条件，所以{x|－1<x<3}是{x|x>2a－3}的真子集，则2a－3≤－1，解得a≤1. 返回 微专题 返回 在如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件？ 点拨：若p⇒q，则称p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．我们可以把“闭合开关A”当作条件p，把“灯泡B亮”当作结论q，结合简单的电学知识，就可以得出正确的答案． 解：如图①，闭合开关A或者闭合开关C都可以使灯泡B亮；反之，若要使灯泡B亮，不一定非要闭合开关A.因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件．如图②，闭合开关A而不闭合开关C，灯泡B不亮；反之，若要使灯泡B亮，则开关A必须闭合．因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件．如图③，闭合开关A可使灯泡B亮；反之，若要使灯泡B亮，开关A一定是闭合的．因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充要条件．如图④，闭合开关A但不闭合开关C，灯泡B不亮；反之，若要使灯泡B亮，不一定非要闭合开关A，只要闭合开关C即可．因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件． 名师点评：“充分”的含义是“有它即可”，“必要”的含义是“无它不可”．用日常生活中的现象来说明“条件”和“结论”之间的关系，更容易理解和接受．反之，用“条件”和“结论”之间的关系来解释生活中的现象，则更加明白和透彻． 返回 课时测评 返回 1．设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 √ 当a＝1时，N＝{1}，此时“N⊆M”，满足充分性；当N⊆M时，a＝±1或± ，不满足必要性，所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是 A．若两个三角形全等，则这两个三角形相似 B．若x>5，则x>10 C．若ac＝bc，则a＝b D．若0<x<5，则|x－1|<1 √ √ √ 对于A，两个相似的三角形不一定全等，故A不正确；对于B，x>10能推出x>5，故B正确；对于C，由a＝b，能推出ac＝bc，故C正确；对于D，若|x－1|<1，则0<x<2，能推出0<x<5，故D正确．故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．二次函数y＝x2＋mx＋n的图象与x轴没有交点的充要条件是 A．m2－4n>0 B．m2－4n<0 C．m2－4n＝0 D．m＝1，n＝2 √ 由二次函数y＝x2＋mx＋n的图象与x轴没有交点，故Δ＝m2－4n<0.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．“2x2－3x－2<0”的一个充分不必要条件可以是 A．x>－1 B．－1<x<1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．已知p：|x＋1|≤2，q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 A．a≤1 B．a≥1 C．a≥－1 D．a≤－3 √ 由|x＋1|≤2得－3≤x≤1，即p：－3≤x≤1，若p是q的充分不必要条件，则a≥1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．(1)“x1>0且x2>0”是“x1＋x2>0且x1x2>0”的______条件； (从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择恰当的填空) 充要 因为x1>0且x2>0，则可以推出x1＋x2>0且x1x2>0，反之，x1＋x2>0且x1x2>0，可以推出x1>0且x2>0，则“x1>0且x2>0”是“x1＋x2>0且x1x2>0”的充要条件． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)“x1>2且x2>2”是x1＋x2>4且x1x2>4的____________条件． (从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择恰当的填空) 充分不必要 因为x1>2且x2>2，则可以推出x1＋x2>4且x1x2>4，反之，x1＋x2>4且x1x2>4，可以取x1＝8，x2＝1，满足条件，但不能推出x1>2且x2>2，则“x1>2且x2>2”是x1＋x2>4且x1x2>4的充分不必要条件． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．如果命题“若A则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的____________条件． 必要不充分 因为逆否命题为假，那么原命题为假，即A B，又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．集合A＝{x|x≤2 025}是集合B＝{x|x≤a}子集的充要条件是____________． {a|a≥2 025} 由题意可知2 025≤a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：a2＝4，q：a＝－2；(3分) 解：由a2＝4得a＝±2，所以由p：a2＝4不能推出q：a＝－2，由q：a＝－2能推出p：a2＝4，所以p是q的必要不充分条件． (2)p：A⊆B，q：A∪B＝B；(3分) 解：由A∪B＝B得A⊆B，所以p⇔q，即p是q的充要条件． (3)p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等．(4分) 解：若两个三角形全等，则两个三角形面积必相等，即由p能推出q；由两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，即由q不能推出p，所以p是q的充分不必要条件． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}．若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解：因为P是非空集合， 所以2a＋1≥a＋1，即a≥0. 若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，即PQ， 解得0≤a≤2， 即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 11．(5分)设x∈R，则“－1≤x<2”是“|x－2|≤3”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 由|x－2|≤3，解得－1≤x≤5，所以“－1≤x<2”是“|x－2|≤3”的充分不必要条件．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)设a是实数，则a<5成立的一个必要不充分条件是 A．a<6 B．a<4 C．a2<25 D． √ 由题意，因为a<5⇒a<6，a<6⇒/a<5，所以a<6是a<5的必要不充分条件．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)(开放题)(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？(4分) 解：欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件， 故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？(6分) 故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1，或x>3的必要条件． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？(6分) 故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1，或x>3的必要条件． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)已知p：4x－m<0，q：1≤3－x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围为__________． (8，＋∞) 由1≤3－x≤4得－1≤x≤2.即q：－1≤x≤2. 因为p是q的一个必要不充分条件， 解得m>8，故m的取值范围为(8，＋∞)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|a≤x≤8}． (1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；(5分) 解：M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是－3≤a≤5，所以实数a的取值范围是{a|－3≤a≤5}． (2)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要不充分条件．(10分) 解：若a＝－5，显然M∩P＝{x|－5≤x<－3或5<x≤8}，则a＝－5是M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要不充分条件．结合数轴可知a<－3时符合题意，则实数a的取值范围是{a|a<－3}． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 返回 由a>1可得<1成立；当<1，即－1＝<0，解得a<0或a>1，推不出a>1一定成立．所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件．故选A. 解：为无理数，但×＝2为有理数，pq，所以p不是q的充 分条件． 解：由于1×＝为无理数，但1，不全是无理数，pq，所以，q不是p的必要条件． ②若¬p⇒¬q，且¬q¬p，则p是q的必要不充分条件； ③若¬p⇔¬q，则p与q互为充要条件； ④若¬p¬q，且¬q¬p，则p是q的既不充分也不必要条件． 解：当x＝1＋时，x为无理数，但x2＝3＋2为无理数，所以充分性不成立； 当a≠0，Δ＝1－8a＝0时，解得a＝，所以A＝{－4}， 所以a＝0或时，集合A有两个子集， 一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，等价于解得a<0.结合题意及选项可知选C. 解：令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝； 由已知p⇒q且q⇒p，得MN. 所以或 解得≤a<2或<a≤2，即≤a≤2， 即所求实数a的取值范围为. C．－<x< D．x<2 由2x2－3x－2<0，得(x－2)(2x＋1)<0，得－<x<2，则2x2－3x－2<0”的一个充分不必要条件是(－，2)的真子集，则－<x<，满足条件．故 选C. 即且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等号不能同时取得， > 则只要⊆{x|x<－1，或x>3}， 即只需－≤－1，所以m≥2. 解：欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}⊆，这是不可能的． 解：欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}⊆，这是不可能的． 由4x－m<0，得x<，即p：x<. 所以{x|－1≤x≤2}{x|x<}， 即>2， $$