1.1.2 集合的基本关系-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

1.1.2　集合的基本关系 　 第一章　1.1　集合 知识目标 1．理解集合之间的包含与相等的含义． 2．能识别给定集合的子集、真子集． 3．会用数学符号和维恩图表示两个集合间的关系. 素养目标 通过对集合之间包含关系与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养；借助子集和真子集的求解，培养数学运算及逻辑推理素养；利用维恩图培养直观想象 素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 1．观察下面的几个例子： (1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}； (2)A＝{高一年级的女生}，B＝{高一年级的全体学生}； (3)A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{偶数}． 问题1.上述实例中，集合A中的元素都是集合B中的元素吗？ 提示：都是． 问题2.实例(3)中，集合B中的元素都是集合A中的元素吗？ 提示：都是． 问题导思 2．观察下面两个例子，回答问题： (1)集合A＝{1，5，6}，B＝{5，6}； (2)集合M＝{x∈R|x2－2x＋2＝0}． 问题3.实例(1)中，集合A中的元素都是集合B中的元素吗？集合B中的元素都是集合A中的元素吗？ 提示：不全是.1∈A，但1∉B；集合B中的元素都是集合A中的元素． 问题4.集合M中有多少个元素？ 提示：集合M中没有元素． 知识点一　子集的概念 新知构建 概念 一般地，如果集合A的______________都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”). 图示 性质 ①任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A； ②空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A； ③传递性：对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C. 任意一个元素 1．“A是B的子集”的含义：集合A的任意一个元素都是集合B的元素，即由任意的x∈A，都能推出x∈B. 2．如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么A不包含于B，或B不包含A，分别记作A B或B⊉A. 3．若A⊆B，则A有以下三种情况： (1)A是空集； (2)A是由B的部分元素构成的集合； (3)A是由B的全部元素构成的集合． 故不能简单地认为“若A⊆B，则A是由B的部分元素构成的集合”． 微提醒 知识点二　真子集 概念 一般地，如果____________________________________________________，那么集合A称为集合B的真子集，记作______(或______)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”). 图示 性质 ①任意集合A都不是它自身的真子集． ②空集是任意一个非空集合A的真子集，即∅A. ③传递性：对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC. 集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A AB B A 1．真子集的概念也可以叙述为：若集合A⊆B，存在元素x满足x∈B且x∉A，则称集合A是集合B的真子集． 2．集合A是集合B的真子集，需要满足以下两个条件：①集合A是集合B的子集；②存在元素x满足x∈B，且x∉A.所以，如果集合A是集合B的真子集，那么集合A一定是集合B的子集，反之不成立． 3．空集是任意非空集合的真子集，这里强调的是“非空”两字，解题时不能丢掉空集这一特例． 4．任意集合都一定有子集，但是不一定有真子集．空集没有真子集．一个集合的真子集的个数比子集的个数少1. 微提醒 知识点三　集合的相等与子集的关系 1．集合相等的定义 给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A＝B. 由集合相等以及子集的定义可知： (1)如果A⊆B且B⊆A，则A＝B； (2)如果A＝B，则A⊆B且B⊆A； (3)A＝B且B＝C，则A＝C. 2．两集合间的关系 两个集合A，B之间的关系如下： (2)A B. 1．注意符号“⊆”与“ ”的区别．A⊆B⇒A＝B或A B.若A⊆B和A B同时成立，则A B更能准确地表示集合A，B之间的关系． 例如，若集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，则集合A是集合B的子集，也是集合B的真子集，用A⊆B与A B均可，但用A B更准确． 2．若A⊆B和A＝B同时成立，则A＝B更能准确地表示出集合A，B之间的 关系． 微提醒 1．下列各式中，正确的个数是 ①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2}⊆{2，1，0}；③∅⊆{0，1，2}；④∅＝{0}；⑤{0，1}＝{(0，1)}；⑥0＝{0}． A．1 B．2 C．3 D．4 √ 自主检测 对①，集合与集合之间不能用∈符号，故①不正确；对②，任何集合都是本身的子集，故②正确；对③，空集是任何集合的子集，故③正确；对④，空集是不含任何元素的集合，而{0}是含有1个元素的集合，故④不正确；对⑤，集合{0，1}是数集，含有2个元素，集合{(0，1)}是点集，只含1个元素，故⑤不正确；对⑥，元素与集合只能用∈或∉符号，故⑥不正确．所以正确的个数有2个．故选B. 2．设集合A＝{m，n}，则集合A的子集个数为 A．1 B．2 C．4 D．6 √ 集合A＝{m，n}，则其子集有22＝4个．故选C. 3．(多选)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有 A．∅⊆A B．－2∈A C．{0，2}⊆A D．A⊆{y|y<3} √ √ √ 由已知，A＝{0，2}，A选项，∅是任何集合的子集，故A正确；B选项，－2∉A，故B错误；C选项，任何集合都是它本身的子集，故C正确；D选项，{0，2}⊆{y|y<3}，故D正确．故选ACD. 4．已知集合U，S，T，F的关系如图所示，则下列结论中正确的是________(填序号)． ①S⊆U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊇F；⑤S⊆F；⑥F⊆U. ①③⑥ 由图可得出集合之间的关系． 5．已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}且B⊆A，则a＝________． －1或2 因为B⊆A，所以a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.①由a2－a＋1＝3得a2－a－2＝0解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，满足B⊆A，当a＝2时，A＝{1，3，2}，B＝{1，3}，满足B⊆A.②由a2－a＋1＝a得a2－2a＋1＝0，解得a＝1，当a＝1时，A＝{1，3，1}不满足集合元素的互异性，综上，若B⊆A，则a＝－1或a＝2. 返回 合作探究 返回 题型一　集合间关系的判断 　指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|0<x<5}； 例1 点拨：中集合表示不等式，可以根据范围直接判断，也可以利用维恩图 判断． 解：集合B中的元素都在集合A中，但集合A中有些元素(比如0，－0.5)不在集合B中，故BA. (2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}； 点拨：根据集合表示数集的意义进行判断． 解：因为A是偶数集，B是4的倍数集，所以BA. 点拨：解集合A中方程得到集合P，再根据集合B中n为奇数、偶数得到集合Q，进行判断． (4)A＝{(x，y)|xy>0}，B＝{(x，y)|x>0，y>0或x<0，y<0}； 点拨：可以根据集合元素的特征或者集合的几何意义判断． 解：方法一　由xy>0得x>0，y>0或x<0，y<0；由x>0，y>0或x<0，y<0得xy>0，从而A＝B. 方法二　集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，从而A＝B. (5)A＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}． 点拨：将A中x关于a的关系式，改写成B中的形式再进行判断． 解：对于任意x∈A，有x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5. 因为a∈N*，所以a＋2∈N*，所以x∈B. 由子集的定义知，A⊆B. 设1∈B，此时a2－4a＋5＝1，解得a＝2∈N*. 因为1＋a2＝1在a∈N*时无解，所以1∉A. 综上所述，AB. 规律方法 判断集合间关系的方法 1．用定义判断 首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B.若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集； 若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B. 2．数形结合判断 对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍． 对点练1.判断下列每组中两个集合的关系： (1)A＝{x|－3≤x<5}，B＝{x|－1<x<2}； 解：将两个集合在数轴上表示出来，如图所示， 显然有BA. 当k∈Z时，2k＋1是奇数，所以集合A中的元素是所有的奇数除以2所得 的数． 当k∈Z时，4k＋1只表示了部分奇数．故BA. (3)A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 解：当n∈N*时，由x＝2n－1知x＝1，3，5，7，9，…. 由x＝2n＋1知x＝3，5，7，9，…. 故A＝{1，3，5，7，9，…}，B＝{3，5，7，9，…}， 因此BA. 题型二　子集、真子集及个数问题 　设A＝{x|(x2－16)(x＋1)(x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 例2 点拨： 用列举法表示集合A 根据子集中所含元素的个数写出子集 从子集中除去集合A本身即得真子集 → → 解：由(x2－16)(x＋1)(x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，则方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4. 故集合A＝{－4，－1，4}． 由0个元素构成的子集为：∅. 由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}． 由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}． 由3个元素构成的子集为：{－4，－1，4}． 因此集合A的子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}，{－4，－1，4}． 真子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}． 规律方法 1．求集合子集、真子集个数的三个步骤 2．若集合A中含有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. √ 对点练2.(1)已知集合A＝{x|mx2－2x＋m＝0}仅有两个子集，则实数m的取值构成的集合为 A．{－1，1} B．{－1，0，1} C．{0，1} D．∅ 由集合A＝{x|mx2－2x＋m＝0}仅有两个子集，说明集合A中元素只有一个，由题意，①当m＝0时，方程为－2x＝0，解得x＝0，满足A＝{0}仅有两个子集；②当m≠0时，方程有两个相等实根，所以Δ＝4－4m2＝0，解得m＝±1；所以实数m的取值构成的集合为：{0，1，－1}．故选B. √ (2)已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为 A．3 B．4 C．8 D．16 由题意可知A＝{1，3}，B＝{1，2，3，4}，若满足条件A⊆C⊆B，则C＝{1，3}，{1，3，2}，{1，3，4}，{1，2，3，4}，共4个集合． 题型三　根据集合的包含关系求参数(范围) 　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}． (1)若BA，求实数m的取值范围； 例3 点拨：两个集合都是连续型的无限集，可考虑用数轴来表示． ①当B≠∅时，如图所示． 解这两个不等式组，得2≤m≤3. ②当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2. 综上可得，m的取值范围为m≤3. (2)若A⊆B，求实数m的取值范围． 当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅. 即不存在实数m使A⊆B. 规律方法 1．分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合． 2．此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示． 3．此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为集合是非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的． 对点练3.已知集合A＝{x|x≤－3或x≥4}，B＝{x|4a≤x≤a＋3}．若B⊆A，求实数a的取值范围． 当B＝∅时，4a>a＋3得a>1， 综上得a≥1或a≤－6. 返回 随堂演练 返回 1．(多选)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则下列结论正确的是 A．∅⊆A B．－2∈A C．{0，2}⊆A D．A⊆{y|y<3} √ √ √ 由题意得A＝{0，2}，且空集是任何集合的子集，故A，C，D正确，B错误． 2．(多选)已知集合A＝{x|ax≤4}，B＝{4，}．若B⊆A，则实数a的值可 能是 A．－1 B．1 C．－2 D．2 √ √ √ 3．已知集合A＝{x|x2＋x＝0，x∈R}，则集合A＝__________；若集合B满足{0}B⊆A，则集合B＝__________． {－1，0} {－1，0} 由x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1，所以A＝{－1，0}．由于{0}B⊆A，知B＝{－1，0}． 4．已知集合A＝{x|x>4}，非空集合B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，则实数a的取值范围为____________． {a|2<a≤3} 返回 课时测评 返回 1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的维恩图是 √ x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N M，其对应的维恩图如选项B所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．已知集合A＝{a，b，1}，B＝{－1，2，a2}，若A＝B，则ab的值为 √ 因为集合A＝{a，b，1}，B＝{－1，2，a2}，A＝B，所以a＝－1，b＝2，所以ab＝(－1)2＝1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．若{1，2} A⊆{1，2，3，4，5}，则满足条件的集合A的个数是 A．6 B．8 C．7 D．9 √ 因为{1，2}是集合A的真子集，集合A是{1，2，3，4，5}的子集，所以集合A中除了1，2两个元素外，至少含有另一个元素，所以满足条件的集合A有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共七种情况．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．AB B．BA C．A＝B D．A与B关系不确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则集合B的子集的个数为 A．4 B．7 C．8 D．16 √ x＝1，y＝1时，x＋y＝2∈A，x＝1，y＝2时，x＋y＝3∈A，x＝2，y＝1时，x＋y＝3∈A，故B＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)}共3个元素，则集合B的子集的个数为23＝8个．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．已知集合：(1){0}；(2){∅}；(3){x|3m<x<m}；(4){x|a＋2<x<a}；(5){x|x2＋2x＋5＝0，x∈R}．其中，一定表示空集的是_______(填序号)． (4)(5) 集合(1)中有元素0，集合(2)中有元素∅，它们不是空集；对于集合(3)，当m<0时，m>3m，不是空集；在集合(4)中，不论a取何值，a＋2总是大于a，故集合(4)是空集；对于集合(5)，x2＋2x＋5＝0在实数范围内无解，故为空集． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．已知集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围为________． a≥2 因为集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，A⊆B，所以2≤a.所以a的取值范围为a≥2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2＋4x＋p＝0}，若B⊆A，则实数p的取值范围为__________． (4，＋∞) A＝{－1，2}，因为B⊆A，所以当B＝∅时，满足B⊆A，此时16－4p＜0，解得：p＞4；当B≠∅时，要使B⊆A，则B＝{－1}或B＝{2}或B＝{－1，2}，因为对于方程x2＋4x＋p＝0，x1＋x2＝－4，所以当方程只有一个根时，该方程根为－2，当方程有两个根时，这两个方程根不可能为－1，2，所以这种情况不存在．所以p的取值范围为(4，＋∞)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)列举满足{1}⊆A{1，2，3}的集合A. 解：因为{1}⊆A {1，2，3}，所以A＝{1}或{1，2}或{1，3}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：因为A＝{x|0<ax＋1≤5}，所以①a＝0时，A＝R， 若A⊆B，集合B＝{x|－0.5<x≤2}， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综上，实数a的取值范围为(－∞，－8)∪[2，＋∞)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)已知集合A＝{1，a，b}，B＝{a2，a，ab}，若A＝B，则a2 025＋ b2 024＝ A．－1 B．0 C．1 D．2 √ 因为集合A＝{1，a，b}，B＝{a2，a，ab}，且A＝B，所以a≠1，则1＝a2且b＝ab，或1＝ab且b＝a2，若1＝a2且b＝ab，则a＝－1，b＝0，此时A＝B＝{－1，0，1}满足条件；若1＝ab且b＝a2，则a＝b＝1不满足条件，综上所述：a＝－1，b＝0.所以a2 025＋b2 024＝－1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)(多选)已知集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}，下列关系正确的是 A．(1，2)∈B B．A＝B C．0∉A D．(0，0)∉B √ √ √ 由已知A＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，B＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示抛物线y＝x2＋1上的点的坐标构成的集合，当x＝1时，y＝x2＋1＝2，所以点(1，2)为抛物线y＝x2＋1上的点，所以(1，2)∈B，即A正确，A≠B，所以B不正确，因为0<1，所以0∉A，所以C正确，当x＝0时，y＝x2＋1＝1，所以点(0，0)不是抛物线y＝x2＋1上的点，所以(0，0)∉B，即D正确．故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)已知集合M＝{x|x2＋2x－a＝0}． (1)若∅ M，求实数a的取值范围；(4分) 解：由题意得，方程x2＋2x－a＝0有实数解， 所以Δ＝22－4×(－a)≥0，解得a≥－1， 所以实数a的取值范围是{a|a≥－1}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若N＝{x|x2＋x＝0}且M⊆N，求实数a的取值范围．(6分) 解：N＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}，且M⊆N， 所以当M＝∅时，Δ＝22－4×(－a)<0，解得a<－1； 当M≠∅时，当Δ＝0时，a＝－1， 此时M＝{－1}，满足M⊆N，符合题意； 当Δ>0时，a>－1，M中有两个元素， 综上，实数a的取值范围为{a|a≤－1}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)已知A＝{1，x，2x}，B＝{1，y，y2}，若A⊆B，且A⊇B，则实数 x＋y＝_______． 因为A⊆B，且A⊇B， 所以A＝B， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)(开放题)已知集合A＝{x|－1≤x≤a，a>－1且a∈R}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}．是否存在实数a，使得C⊆B？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：假设存在这样的实数a. 对于集合B，因为y＝2x－1，且x∈A， 即－1≤x≤a， 所以－3≤y≤2a－1. 对于集合C，因为z＝x2，且x∈A， 所以当－1<a≤0时，a2≤z≤1； 当0<a≤1时，0≤z≤1；当a>1时，0≤z≤a2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当－1<a≤0时，要使C⊆B，则2a－1≥1，即a≥1，矛盾． 当0<a≤1时，要使C⊆B，则有2a－1≥1，即a＝1. 当a>1时，要使C⊆B，则有a2≤2a－1， 即(a－1)2≤0，无解． 综上所述，存在a＝1，使得C⊆B. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 返回 (1)A⊆B⇒ (3)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|x＝，n∈Z}； 解：A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}．在B中，当n为奇数时，x＝＝0，当n为偶数时，x＝＝1，所以B＝{0，1}，所以A＝B. 解：在集合A中，x＝k＋＝，k∈Z. 在集合B中，x＝2k＋＝，k∈Z. (2)A＝，B＝； 所以或 所以即所以m不存在． 当B≠∅时，应满足解得a＝1或a≤－6. 因为B⊆A，且B＝{4，}，所以4∈A且∈A，则解得a≤1.因此a的可能取值为－1，1和－2.故选ABC. 因为B≠∅，根据题意作出如图所示的数轴，则解得2<a≤3.故实数a的取值范围为{a|2<a≤3}． A．1 B． C．－1 D．1或 4．设集合A＝，B＝，则集合A与B的关系是 x＝＋，k∈Z，当k＝2n时，x＝＋，n∈Z；当k＝2n－1时，x＝＋，n∈Z，所以BA.故选B. 10．(10分)已知集合A＝{x|0＜ax＋1≤5}，集合B＝.若A⊆B，求实数a的取值范围． ②a>0时，A＝， ③a<0时，A＝， 那么a>0时，即a≥2， a<0时，即a<－8， 若M⊆N，则M＝N，从而根据一元二次方程根与系数的关系有无解． 4或 所以或 解得或或(舍去)． 所以x＋y＝4或.故答案为4或. $$