2.2.4 第2课时 均值不等式的应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版2019）

第2课时　均值不等式的应用 题型一　利用均值不等式证明不等式 例1　已知a，b，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c. 点拨：　判断a，b，c，，，均大于0→证＋b≥2a→证＋c≥2b→证＋a≥2c→得所证不等式 证明：　因为a，b，c，，，均大于0， 所以＋b≥2＝2a，当且仅当＝b时等号成立． ＋c≥2＝2b，当且仅当＝c时等号成立． ＋a≥2＝2c，当且仅当＝a时等号成立． 相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c， 所以＋＋≥a＋b＋c. 1．在利用a＋b≥2时，一定要注意是否满足条件a>0，b>0. 2．在利用基本不等式a＋b≥2或≥(a>0，b>0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式． 3．另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用． 对点练1.设a>0，b>0，a＋b＝2.证明：≥4. 证明：　因为a>0，b>0，a＋b＝2. 所以＝＝1＋ 且ab≤＝1(当且仅当a＝b时取等号)， 故1＋≥1＋＝4.所以≥4. 题型二　利用基本不等式解决实际问题 例2　某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计贮水池能使总造价最低，最低总造价是多少？ 点拨：由题意设变量，列出函数关系中利用均值不等式求最值． 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为x m，y m，水池的总造价为z元．根据题意，有 z＝150×＋120(2×3x＋2×3y) ＝240 000＋720(x＋y)． 由容积为4 800 m3，可得3xy＝4 800. 因此xy＝1 600. 所以z≥240 000＋720×2， 当x＝y＝40时，上式等号成立，此时z＝297 600. 所以，将贮水池的池底设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元． 学生用书↓第60页 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： 第一步：理解题意，设变量，设变量时，一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； 第二步：建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； 第三步：在定义域内，求出函数的最大值或最小值； 第四步：正确写出答案． 对点练2.为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，今年冬天，某水利工程队计划在黄河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为40 000 m2的矩形鱼塘，其四周都留有宽3 m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小． 解：设矩形鱼塘长为a m，宽为b m，面积ab＝40 000 m2， 由所选农田的长为(a＋6)m，宽为(b＋6)m， 农田面积为(a＋6)·(b＋6)＝40 036＋6(a＋b)(m2)， 由不等式得a＋b≥2＝400，当且仅当a＝b时，a＋b最小，即农田面积最小， 因为ab＝40 000，所以a＝b＝200 m， 所以农田的长为206 m，宽为206 m时，才能使占有农田的面积最小. 1．∃x>0，使得＋x－a≤0，则实数a的取值范围是(　　) A．a>2 B．a≥2 C．a<2 D．a≤2 答案：B 解析：∃x>0，使得＋x－a≤0，等价于x>0时a≥，因为x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，所以a≥2.故选B. 2．用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为(　　) A．9 cm2 B．16 cm2 C．4 cm2 D．5 cm2 答案：C 解析：设矩形模型的长和宽分别为x，y，则x>0，y>0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤＝＝4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.故选C. 3．某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则(　　) A．x＝ B．x≤ C．x> D．x≥ 答案：B 解析：由题意得，A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，则(1＋a)(1＋b)＝(1＋x)2，因为(1＋a)(1＋b)≤，所以1＋x≤＝1＋，所以x≤，当且仅当a＝b时取等号．故选B. 4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，则矩形花园面积的最大值为________． 答案：400 解析：由题意设矩形花园的长为x(x>0)，宽为y(y>0)，矩形花园的面积为xy，根据题意作图，如图，因为花园是矩形，则△ADE与△ABC相似，所以＝，又因为AG＝BC＝40， 所以AF＝DE＝x，FG＝y，所以x＋y＝40，由基本不等式x＋y≥2，得xy≤400，当且仅当x＝y＝20时，矩形花园面积最大，最大值为400. 课时测评15　均值不等式的应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知a，b>0，且a＋2b＝1，则＋的最小值为(　　) A．6 B．8 C．9 D．10 答案：C 解析：因为a>0，b>0，且a＋2b＝1，所以＋＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即时等号成立，所以＋的最小值为9.故选C. 2．已知正数a，b满足a2＋b2＝13，则a的最大值为(　　) A．6 B．8 C．4 D．16 答案：B 解析：正数a，b满足a2＋b2＝13，则a≤＝＝＝8，当且仅当a＝ ，即a＝2，b＝时取“＝”，所以a的最大值为8.故选B. 3．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为(　　) A．1 680元 B．1 760元 C．1 800元 D．1 820元 答案：B 解析：设水池池底的一边长为xm，则另一边长为m，则总造价y＝4×120＋80××2＝480＋320×≥480＋320×2＝1 760(元)．当且仅当x＝，即x＝2时，y取最小值为1 760.所以水池的最低造价为1 760元．故选B. 4．(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b)，其全程的平均速度为v，则下列结论正确的是(　　) A．a<v< B．v＝ C．<v< D．v＝ 答案：AD 解析：设甲、乙两地之间的距离为s.因为a<b，所以v＝＝<＝.又v－a＝－a＝＝>0，所以v>a，所以a<v<，故选AD. 5．(多选)某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的运营总利润y(万元)与运营年数x的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是(　　) A．车辆运营年数越多，收入越高 B．车辆在第6年时，总收入最高 C．车辆在前5年的平均收入最高 D．车辆每年都能盈利 答案：BC 解析：由题意可知，y＝－x2＋12x－25，是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x＝6，故B正确；＝－x＋12－＝－＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x＝5时，等号成立，故C正确；当x＝1时，y＝－14，故D错误．故选BC. 6．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是__________ . 答案：30 解析：由题意可得，一年的总运费与总存储费用之和＝×6＋4x≥4×2× ＝240(万元)． 当且仅当x＝30时取等号． 7．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是__________． 答案：5 解析：因为x>0，y>0，由x＋3y＝5xy，得＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)＝＝＋≥＋×2＝5，当且仅当即时取等号，所以3x＋4y的最小值为5. 8．某单位要租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到码头的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到码头的距离成正比．经测算，若在距离码头10 km处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万元．那么两项费用之和的最小值是 __________万元． 答案：8 解析：设仓库到车站距离为x km时，土地费用为y1万元，运输费用为y2万元，费用之和为y万元，根据题意，则有y1＝，y2＝k2x，因为在距离码头10 km处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，则有解得k1＝20，k2＝，所以y＝x＋，因为x>0，所以y＝x＋≥2＝8，当且仅当x＝，即x＝5时取等号，所以仓库应建在离车站5 km处，两项费用之和最小值为8万元． 9．(10分)已知x>0，y>0，z>0. 求证：≥8. 证明：因为x>0，y>0，z>0， 所以＋≥>0， ＋≥>0， ＋≥>0， 所以≥ ＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立． 10．(15分)甲、乙两地相距100 km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度为v km/h(v∈[60，120])．已知汽车每小时的运输成本(单位为元)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元(a，b为正的常数)． (1)若b＝，a＝300，要使全程的运输成本w不超过500元，求速度的取值范围；(5分) (2)若已知3 600b≤a≤14 400b.(10分) ①试分析为使全程运输成本w最小，汽车应以多大速度行驶； ②若要使得全程运输成本w的最小值不高于600元，试求a的最大值． 解：(1)由w＝(bv2＋a)＝≤500，v∈[60，120]， 可得，v2－250v＋15 000≤0，解得100≤v≤150， 所以100≤v≤120. (2)w＝(bv2＋a)＝100b(v＋)， ①因为3 600b≤a≤14 400b， 所以∈[60，120]，由v＋≥2，当且仅当v＝，即v＝时，wmin＝200， 所以为使全程运输成本w最小，汽车应以 km/h的速度行驶； ②由题意得，≤120且200≤600，两式相乘得a≤360，所以a的最大值为360. 11．(5分)“a>b>0”是“ab<”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由“a>b>0”可以推出“ab<”，但是“ab<”只需“a，b∈R且a≠b”，故“a>b>0”是“ab<”的充分不必要条件．故选A. 12．(5分)已知函数y＝x＋＋2，若y的取值范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则实数a的值是(　　) A． B． C．1 D．2 答案：C 解析：由题意可得a>0，①当x>0时，y＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；②当x<0时，y＝x＋＋2≤－2＋2，当且仅当x＝－时取等号．所以解得a＝1.故选C. 13．(5分)某商场的某种商品的年进货量为10 000件，分若干次进货，每次进货的量相同，且每次进货的运费为100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，则每次进货量为__________件时，一年的运费和租金之和最少为__________元． 答案：1 000　2 000 解析：设每次进货x件(x∈N*)，一年的总运费与租金的和为y元，则y＝100×＋×2＝＋x ≥2＝2 000，当且仅当x＝1 000时取等号，所以x＝1 000时y最小，最小值为2 000. 14．(20分)某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(10－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格． (1)求每套丛书利润y与售价x的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？(8分) (2)每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润．(12分) 解：(1)因为所以0<x<100， y＝x－＝x－－20(0<x<100)， 当x＝80时，y＝80－－20＝55(元)， 此时销量为10－0.1×80＝2(万套)， 总利润为2×55＝110(万元)． (2)y＝x－－20， 因为0<x<100，所以100－x>0， 所以y＝－＋80≤－2 ＋80＝60， 当且仅当＝100－x，即x＝90时，等号成立，即每套丛书售价定为90元时，每套丛书的利润最大，最大利润为60元． 学科网（北京）股份有限公司 $$