2.2.4 第1课时 均值不等式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版2019）

2.2.4　均值不等式及其应用 知识目标 1.掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件．　2.会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小．　3.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题．　4.会用均值不等式求解实际应用题. 素养目标 通过均值不等式求最值问题，提升数学运算素养；借助均值不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养. 如图，是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车． 问题1　你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的关系吗？ 提示：正方形的边长AB＝，故正方形的面积为a2＋b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立． 问题2　现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？ 提示：用，分别替换上式中的a，b可得到a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立．我们习惯表示成≤. 问题3　如图，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作AB的垂线，交于点D，连接AD，OD，BD，根据图形你能得到不等式≥ 吗？ 提示：根据图形可以得到OD＝OA＝；利用三角形相似可证得△ACD∽△DCB，故CD＝，又OD≥CD，故用不等式表示为≥，由此也可以得出圆的半径大于或等于半弦． 知识点一　均值不等式 1．算术平均值与几何平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值． 多个正数的算术平均值和几何平均值可以类似地定义，例如a，b，c的算术平均值为，几何平均值为． 2．均值不等式 如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 均值不等式也称为基本不等式，其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值． [微提醒] 1．“当且仅当”的含义：当a＝b且仅当a＝b时，不等式≥能取到等号，即＝. 2．均值不等式可变形为a＋b≥2，ab≤. 学生用书↓第56页 知识点二　均值不等式与最大(小)值 已知x，y都是正数． (1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2．可以表述为： 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． 可简记为“两正数积定和最小，和定积最大”． [微提醒] 利用均值不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”．具体理解如下： 1．“一正”，即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案． 2．“二定”，即含变量的各项的和或者积必须是常数，即要求a＋b的最小值，ab必须是定值；求ab的最大值，a＋b必须是定值． 3．“三相等”，即必须具备不等式中等号成立的条件，才能求得最大值或最小值． 1．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 解析：当，均为正数时，＋≥2，故只须a、b同号即可，所以①③④均可以． 2．已知函数y＝x＋，函数y的最小值等于(　　) A． B．4＋1 C．5 D．9 答案：C 解析：因为x>1，所以x－1>0，所以y＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5，仅当x－1＝，即x＝3时取等号，所以y＝x＋(x>1)的最小值为5.故选C. 3．已知t>0，则y＝的最小值为(　　) A．－1 B．－2 C．2 D．－5 答案：B 解析：依题意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝(t>0)的最小值是－2.故选B. 4．已知x，y都是正数． (1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________； (2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________． 答案：(1)2　(2) 解析：(1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；当且仅当x＝y＝时取最小值． (2)xy≤＝＝，即xy的最大值是.当且仅当x＝y＝时，xy取最大值． 5．若a>0，b>0，3a＋2b＝1，则ab的最大值是__________． 答案： 解析：a>0，b>0，3a＋2b＝1，所以1＝3a＋2b≥2，当且仅当a＝，b＝时，取等号，所以ab≤，所以ab的最大值是. 第1课时　均值不等式 题型一　对均值不等式的理解 例1　(1)下列不等式中，不正确的是(　　) A．a2＋b2≥2|a||b| B．≥2a－b(b≠0) C．≥－1(b≠0) D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2 (2)给出下列命题： ①若x∈R，则x＋≥2； ②若a<0，b<0，则ab＋≥2； ③不等式＋≥2成立的条件是x>0且y>0.其中正确命题的序号是________． 点拨：(1)举反例、基本不等式⇒逐个判断． (2)明确基本不等式成立的条件⇒逐个判断． 答案：(1)B　(2)② 解析：(1)A中，a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|，所以A正确；B中，由a2＋b2≥2ab，得a2≥2ab－b2.当b<0时，≤2a－b，所以B不正确；C中，b≠0，则≥－1，所以C正确；D中，由a2＋b2≥2ab，得2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，所以D正确．故选B. (2)只有当x>0时，才能由基本不等式得到x＋≥2＝2，故①错误；当a<0，b<0时，ab>0，由基本不等式可得ab＋≥2＝2，故②正确；由基本不等式可知，当>0，>0时，有＋≥2＝2成立，这时只需x与y同号即可，故③错误． 学生用书↓第57页 均值不等式的两个关注点 1．一正数：指式子中的a，b均为正数． 2．二相等：即“＝”成立的条件． 对点练1.若0<a<b，则下列不等式成立的是(　　) A．<<a<b B．a<<<b C．<a<<b D．a<<<b 答案：B 解析：因为b>a>0，所以b>，>a，又因为>，所以b>>>a，即a<<<b.故选B. 题型二　利用均值不等式求最值 例2　解答下列问题： (1)已知0<x<，求函数y＝x(1－3x)的最大值； (2)求函数y＝(x>1)的最小值； (3)已知x>0，函数y＝，求y的取值范围． 点拨：常用构造定值条件的技巧：(1)添项变换；(2)拆项变换；(3)统一变换；(4)平方后利用均值不等式． 解：(1)因为0<x<，所以1－3x>0. 所以y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤2＝， 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立． 故当x＝时，y取得最大值. (2)y＝＝＝x－1＋＋2， 因为x>1，所以x－1>0， 所以y≥2＋2＝2×3＋2＝8， 当且仅当x－1＝，即x＝4时取等号． 故当x＝4时，ymin＝8. (3)当x>0时，y＝＝. 因为x＋≥4，所以0<≤， 所以0<y≤， 当且仅当x＝(x>0)，即x＝2时，等号成立． 所以y的取值范围为{y|0<y≤}． 1．利用基本不等式求最值的策略 2．拼凑法求解最值，就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用均值不等式求解最值． 3．通过消元法利用基本不等式求最值的方法 消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解． [注意]　利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成立的条件． 对点练2.(1)已知正数x，y满足(x－1)(y－1)＝4，则x＋y的最小值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 (2)(多选)设a>1，b>1且ab－(a＋b)＝3，那么(　　) A．a＋b有最小值6 B．a＋b有最大值6 C．ab有最小值9 D．ab有最大值9 答案：(1)B　(2)AC 解析：(1)由题意可知y≠1，因为(x－1)(y－1)＝4，所以x＝＋1，因为x>0，y>0，所以y－1>0，所以x＝＋1>1，即x－1>0，因为(x－1)＋(y－1)≥2＝4，所以x＋y≥6，当且仅当x－1＝y－1＝2，即x＝y＝3时，等号成立，故x＋y的最小值为6.故选B. (2)ab＝3＋a＋b≤，(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，a＋b>2，所以a＋b≥6, a＋b有最小值6，当且仅当a＝b＝3时等号成立，故A正确；ab－3＝a＋b≥2，所以ab≥9，则ab有最小值9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，故C正确． 易错一　忽略“正”的条件致误 1．求函数y＝1－2x－(x<0)的最值． 正解：　因为x<0，所以y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋≥1＋2＝1＋2，当且仅当－2x＝－，即x＝－时，等号成立，故y有最小值1＋2，无最大值． [易错探因]　解本题时易忽略x<0，而直接由y＝1－2x－＝1－，并根据均值不等式，得2x＋≥2＝2，即y≤1－2，得到y有最大值1－2. [误区警示]　均值不等式≥使用的前提是a，b都是正数．在解题时如果a，b为负数，可提取负号，使之满足使用均值不等式的条件，再利用均值不等式解题． 学生用书↓第58页 易错二　忽略“定”的条件致误 2．求函数y＝2x(5－3x)，x∈的最大值． 正解：　因为x∈，所以2x>0，5－3x>0， y＝2x(5－3x)＝·3x·(5－3x)≤＝，当且仅当3x＝5－3x，即x＝∈时，等号成立，故函数y的最大值为. (本题也可利用配方法求最大值： y＝2x(5－3x)＝－6x2＋10x＝－6＋，当x＝时，ymax＝.) [易错探因]　一些同学看到要求y＝2x(5－3x)的最大值，就会直接使用均值不等式，如y＝2x(5－3x)≤2＝，当且仅当x＝5－3x，即x＝∈时，等号成立．忽略了x＋5－3x＝5－2x不是定值，这样虽求得的x∈，但＝却不是y的最大值． [误区警示]　利用均值不等式求最值时，取定值是前提(和定积最大，积定和最小)，求出的最值应该是一个常数，而不应该是一个变量． 易错三　忽略等号成立的条件致误 3．求函数y＝的最小值． 正解：　y＝＝＝＋＝＋－≥4－(当且仅当x＝0时等号成立)． 又≥2(当x＝0时等号成立)，所以－≥－，所以所求最小值为4－＝. [易错探因]　求解本题时易得到如下错解： 因为y＝＋≥2，所以函数的最小值为2. 事实上，使用均值不等式时，等号成立的条件为＝，即x2＋4＝1，显然x2≠－3，即等号无法取到，最小值为2不正确． [误区警示]　利用均值不等式求最值时，等号必须取得到才能求出最值，若由于题设的限制使等号不能取到，则要换另一种方法解答，除本题介绍的方法外，还可用下章学习的函数单调性求解． 易错四　忽略等号成立的一致性致误 4．已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，求＋的最小值． 正解：　因为x＋2y＝1，x>0，y>0， 所以＋＝(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即x＝y时，等号成立． 因为x＋2y＝1，所以 所以当x＝－1，y＝1－时，＋有最小值，最小值为3＋2. [易错探因]　本题易出现的一种错误解法为：因为x>0，y>0， 所以1＝x＋2y≥2，所以8xy≤1， 所以xy≤，所以≥8. 因为＋≥2， 所以＋≥2＝4， 所以＋的最小值为4. 事实上，错解在求解过程中使用了两次均值不等式：x＋2y≥2，＋≥2.但这两次取等号需 学生用书↓第59页 满足x＝2y与x＝y，结合题意可知这两个条件相矛盾，所以等号取不到，故＋的最小值不是4. [误区警示]　多次应用均值不等式求最值时，要注意各次取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件一致，方可求其最值．也可以利用条件将所求式变形成只利用一次均值不等式即可求最值的形式，如本题正解所示. 1．(多选)下列不等式一定成立的是(　　) A．x2＋>x(x>0) B．x＋≥2(x>0) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D．>1(x∈R) 答案：BC 解析：对于A，当x＝时，x2＋＝x，所以A不一定成立；对于B，当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，所以B一定成立；对于C，不等式x2＋1－2|x|＝(|x|－1)2≥0，即x2＋1≥2|x|恒成立，所以C一定成立；对于D，因为x2＋1≥1，所以0<≤1，所以D不成立．故选BC. 2．已知0<x<1，则当x(1－x)取最大值时，x的值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为0<x<1，所以1－x>0，所以x(1－x)≤＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．故选B. 3．若a，b都是正数，则的最小值为________． 答案：9 解析：因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号． 4．函数f(x)＝x＋(x>1)的最小值为________． 答案：3 解析：因为x>1，所以x－1>0，由基本不等式可得f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，函数取得最小值3. 课时测评14　均值不等式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．下列不等式恒成立的是(　　) A．a2＋b2≤2ab B．a2＋b2≥－2ab C．a＋b≥2 D．a2＋b2≤－2ab 答案：B 解析：对于A，显然当a<0，b>0时，不等式a2＋b2≤2ab不成立，故A错误；对于B，因为(a＋b)2≥0，所以a2＋b2＋2ab≥0，所以a2＋b2≥－2ab，故B正确，D错误；对于C，显然当a<0，b<0时，不等式a＋b≥2不成立，故C错误．故选B. 2．设0<a<b，且a＋b＝1，在下列四个数中最大的是(　　) A． B．b C．2ab D．a2＋b2 答案：B 解析：因为0<a<b，a＋b＝1，所以ab<＝，所以2ab<.因为a2＋b2>2ab，所以2a2＋2b2>a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，所以 >>0，所以>，所以a2＋b2>.因为b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，所以b>a2＋b2.综上，b>a2＋b2>>2ab，所以b最大． 3．设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a<b<< B．a<<<b C．a<<b< D．<a<<b 答案：B 解析：0<a<b⇒a2<ab<b2⇒a<<b.0<a<b⇒2a<a＋b<2b⇒a<<b.又<，所以a<<<b. 4．已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝(　　) A．－3 B．2 C．3 D．8 答案：C 解析：因为x>－1，所以x＋1>0，所以y＝x－4＋＝(x＋1)＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＝2时取等号．所以a＝2，b＝1，所以a＋b＝3.故选C. 5．若a，b都为正实数，2a＋b＝1，则ab的最大值是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为a，b都为正实数，2a＋b＝1，则ab＝(2a·b)≤＝×＝，当且仅当2a＝b＝时取等号．故选B. 6．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________． 答案：a＝1 解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0时“＝”成立，此时a＝1. 7．已知a>0，b>0，a＋4b＝4，则＋的最小值为________． 答案：16 解析：因为＋＝(a＋4b)＝，＋≥2＝24，当且仅当a＝1，b＝时取等号，所以＋≥16. 8．已知x>0，y>0且＋＝1，求使不等式x＋y≥m恒成立的实数m的取值范围为__________． 答案：(－∞，16] 解析：因为x>0，y>0且＋＝1，所以x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当y＝3x＝12时取等号．因为不等式x＋y≥m恒成立⇔(x＋y)min≥m. 所以m∈(－∞，16]． 9．(10分)已知x<2，求y＝＋x的最大值． 解：因为x<2， 则y＝＋x－2＋2＝2－ ≤2－2＝－4， 当且仅当2－x＝，即x＝－1时取等号，此时y取得最大值－4. 10．(10分)已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值． 解：因为f(x)＝4x＋≥2＝4， 当且仅当4x＝，即4x2＝a时，f(x)取得最小值． 又因为x＝3，所以a＝4×32＝36. 11．(5分)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案：B 解析：不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(1＋)2≥9，所以≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4.故选B. 12．(5分)已知x>1，则函数y＝的最小值为__________． 答案：3＋2 解析：因为x>1，y＝＝＝(x－1)＋＋3≥2＋3＝3＋2，当且仅当x＝1＋时，函数取得最小值，所以最小值为3＋2. 13．(10分)已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值；(4分) (2)x＋y的最小值．(6分) 解：(1)由2x＋8y－xy＝0， 得＋＝1， 又x>0，y>0， 则1＝＋≥2＝，得xy≥64， 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立． 所以xy的最小值为64. (2)由2x＋8y－xy＝0， 得＋＝1， 则x＋y＝·(x＋y) ＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当x＝12，y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18. 14．(5分)(新定义)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________． 答案： 解析：x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝＝＝＋.因为x>0，y>0，所以＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝y时等号成立，故所求最小值为. 15．(15分)(开放题)是否存在正实数a和b，同时满足下列条件： ①a＋b＝10；②＋＝1(x>0，y>0)且x＋y的最小值为18，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由． 解：因为＋＝1， 所以x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2， 又x＋y的最小值为18，所以(＋)2＝18. 由得或 故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$