2.1.3 方程组的解集-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版2019）

2．1.3　方程组的解集 知识目标 1.理解方程组的解集的定义及表示方法．　2.掌握二元一次方程组、三元一次方程组、二元二次方程组的解法．　3.掌握用消元法求方程组解集的方法．　4.会利用方程组知识解决一些简单的实际问题. 素养目标 通过理解方程组的定义，培养数学抽象素养；通过求方程组的解集，提升数据分析、数学运算的学科素养. 我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，则 问题　当z＝81时，x，y等多少？ 提示：当z＝81时，原方程组变为 即通过消元法得 知识点一　方程组的解集 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集． 注意：解方程组常用的方法：消元法． 知识点二　二元一次方程组 方程组含有两个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．例如，都是二元一次方程组． 知识点三　三元一次方程组 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．例如，都是三元一次方程组． [微提醒] 解三元一次方程组的基本思路 三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程 知识点四　二元二次方程组 1．二元二次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数为2，像这样的方程叫做二元二次方程． 2．二元二次方程组：方程组中含有两个未知数，含有未知数的项的最高次数为2，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元二次方程组． [微提醒] 1．二元二次方程组有两种类型：一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成；二是由两个二元二次方程组成，我们主要学习第一种类型． 2．解二元二次方程组的思路是消元和降次． 学生用书↓第40页 1．方程组的解集是(　　) A．{x＝3，y＝0} B．{3} C．{(3，0)} D．{(x，y)|(0，3)} 答案：C 解析：由解得 故方程组的解集为{(3，0)}．故选C. 2．三元一次方程组的解集是(　　) A．{(1，0，4)} B．{(1，2，4)} C．{(1，0，5)} D．{(4，1，0)} 答案：C 解析：因为所以①＋②＋③得：2x＋2y＋2z＝12，即x＋y＋z＝6　④，④－①得z＝5；④－②得x＝1；④－③得y＝0，所以方程组的解集为{(1，0，5)}．故选C. 3．由方程组消去y后得到的方程是(　　) A．2x2－2x－3＝0　　　 B．2x2－2x＋5＝0 C．2x2＋2x＋1＝0 D．2x2＋2x＋9＝0 答案：B 解析：由①，得y＝x－1　③.把③代入②，得(x－1)2＋x2＋4＝0.整理，得2x2－2x＋5＝0.故选B. 4．(多选)若方程组的解x和y的绝对值相等，则实数k的值等于(　　) A．0 B．1 C．2 D． 答案：CD 解析：由题意，可知y＝±x，代入4x＋3y＝1，得x＝1，y＝－1或x＝，y＝.分别代入2kx＋(k－1)y＝3，得k＝2或.故选CD. 5．已知方程组则代数式x－y－5z＝__________． 答案：3 解析：对于方程组则下式－上式得x－y－5z＝9－6＝3. 题型一　求二元一次方程组的解集 角度1　用代入消元法求二元一次方程组的解集 例1　求方程组的解集． 点拨：方程变形→代入另一个方程→解方程→回代→方程组的解集 解：方法一　由②，得y＝4x－5　③. 把③代入①，得2x＋3(4x－5)＝－1. 解这个一元一次方程，得x＝1. 把x＝1代入③，得y＝－1. 所以方程组的解集为{(x，y)|(1，－1)}． 方法二　由①，得3y＝－2x－1，即y＝　③， 把③代入②，得4x－＝5， 解这个一元一次方程，得x＝1， 把x＝1代入③，得y＝－1. 所以方程组的解集为{(x，y)|(1，－1)}． 用代入消元法解二元一次方程组的步骤 (1)变形 选取一个系数比较简单的二元一次方程进行变形，变形为y＝ax＋b(或x＝ay＋b)(a，b是常数，a≠0)的形式. (2)代入 把y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个没有变形的方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程. (3)求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值. (4)回代 把求得的未知数的值代入步骤(1)中变形后的方程，求出另一个未知数. (5)写解集 用集合表示为{(x，y)|(…，…)}的形式. 角度2　用加减消元法求二元一次方程组的解集 例2　求下列方程组的解集： (1) (2) 点拨：(1)当两个方程中，同一个未知数的系数相等或互为相反数时，用加减消元法较简单． 学生用书↓第41页 (2)当两个方程通过变形用含有一个未知数的式子来表示另一个未知数比较复杂时，往往选用加减消元法． 解：(1)方法一(加法消元)　①＋②，得6x＝12，解得x＝2.把x＝2代入②，得3×2＋7y＝13，解得y＝1. 所以方程组的解集为{(x，y)|(2，1)}． 方法二(减法消元)　①－②，得－14y＝－14，解得y＝1. 把y＝1代入①，得3x－7×1＝－1，解得x＝2. 所以方程组的解集为{(x，y)|(2，1)}． 方法三(加减法消元)　①＋②，得6x＝12，解得x＝2. ①－②，得－14y＝－14，解得y＝1. 所以方程组的解集为{(x，y)|(2，1)}． (2)①×5－②×2，得7y＝21，解得y＝3， 把y＝3代入①，整理得2x＝4，解得x＝2. 所以方程组的解集为{(x，y)|(2，3)}． 用加减消元法解二元一次方程组的步骤 (1)变形 根据同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数，使两个方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数. (2)加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减. (3)求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值. (4)回代 把求得的未知数的值代入方程组中较简单的方程中，求出另一个未知数的值. (5)写解集 用集合表示为{(x，y)|(…，…)}的形式. [注意]　(1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数． (2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的． 对点练1.求下列方程组的解集： (1)(2) 解：(1)由①得y＝－2x，③， 把③代入②得3x－2(－2x)＝14，解得x＝2， 把x＝2代入③得，y＝－2×2＝－4. 所以方程组的解集为{(2，－4)}. (2)原方程组化为 ①×3－②×2，整理得2y＝－17，解得y＝－， 把y＝－代入①并整理，得x＝－26. 所以方程组的解集为. 题型二　求三元一次方程组的解集 例3　求下列方程组的解集： (1) (2) 点拨：(1)方程2x－y＝7是二元一次方程，可以将另外两个方程结合起来消去z，再和2x－y＝7联立求解即可；或将y用含x的代数式表示出来，再分别代入前两个方程，消去y，解方程组，进而得到原方程组的解集． (2)三个方程中，z的系数的绝对值的最小公倍数是2，y的系数的绝对值的最小公倍数是6，可以消去z，再联立方程求解． 解：(1)方法一　①×2＋②，得5x＋8y＝7　④. ③与④组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把x＝3，y＝－1代入①，得3＋3×(－1)＋2z＝2， 所以z＝1. 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(3，－1，1)}． 方法二　由③，得y＝2x－7　④. 把④代入①，整理得7x＋2z＝23　⑤. 把④代入②，整理得7x－4z＝17　⑥. ⑤与⑥组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把x＝3代入④，得y＝－1. 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(3，－1，1)}． (2)①＋③，得3x＋5y＝11　④. ③×2＋②，得3x＋3y＝9，即x＋y＝3　⑤. ④与⑤组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把x＝2，y＝1代入③，得2＋2－z＝5，所以z＝－1. 所以方程组的解集为{(x，y，z)|(2，1，－1)}． 解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先要消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元，达到消元的目的． 对点练2.求方程组的解集． 解：方法一　(代入消元法)由②得x＝y＋1，④， 将④代入①③得 解这个方程组得 将y＝9代入④得x＝10. 所以原方程组的解集为{(10，9，7)}． 方法二　(加减消元法)③－①，得x－2y＝－8，⑤， 由②⑤组成方程组，得 解这个方程组，得 将其代入①得z＝7. 所以原方程组的解集为{(10，9，7)}． 学生用书↓第42页 题型三　求二元二次方程组的解集 例4　求方程组的解集． 点拨：由于方程组是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，所以可以通过代入法达到消元的目的，由②得y＝2x－1，再将y＝2x－1代入①可以求出x的值，再求出y的值，从而得到方程组的解集． 解：由②，得y＝2x－1.　③ 把③代入①，得x2－4(2x－1)2＋x－3(2x－1)－1＝0. 整理得15x2－11x＋2＝0. 解这个方程，得x＝或x＝. 把x＝代入③，得y＝－. 把x＝代入③，得y＝－. 所以原方程组的解集为 . 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤 对点练3.求下列方程组的解集： (1) (2) (3) 解：(1) 由①得y＝2x　③， 把③代入②得x2－(2x)2＋3＝0，解得x＝1或x＝－1. 把x＝1代入③得y＝2， 把x＝－1代入③得y＝－2， 所以原方程组的解集为{(1，2)，(－1，－2)}． (2) 由①得y＝7－x　③， 把③代入②，整理得x2－7x＋12＝0，即(x－3)(x－4)＝0，解得x＝3或x＝4. 把x＝3代入③得y＝4， 把x＝4代入③得y＝3， 所以原方程组的解集为{(3，4)，(4，3)}． (3) 由①得y＝x＋1　③， 把③代入②，整理得x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，解得x＝1. 把x＝1代入③得y＝2， 所以原方程组的解集为{(1，2)}. 1．方程组的解有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B 解析：由x2＝1，得x＝±1，当x＝1时，y2＝1，得y＝±1，当x＝－1时，y2＝－1，无解， 故方程组的解为或故选B. 2．下列四个集合中为方程组的解集的是(　　) A．{(x，y，z)|(0，1，－2)} B．{(x，y，z)|(1，0，1)} C．{(x，y，z)|(0，－1，0)} D．{(x，y，z)|(1，－2，3)} 答案：D 解析：　①＋②得3x＋y＝1④，③－②得x＝1，将x＝1代入④得y＝－2，将x＝1，y＝－2代入②得z＝3.故选D. 3．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元，若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元．现购甲、乙、丙各1件，共需(　　) A．32元 B．33元 C．34元 D．35元 答案：C 解析：设甲每件x元、乙每件y元、丙每件z元．根据题意列方程组得①×3－②×2得x＋y＋z＝34.故选C. 4．(开放题)设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是和试写出符合要求的方程组________． 答案：(答案不唯一) 解析：由于这两组解都有xy＝2×3＝6，x－y＝－1，故可组成方程组为(答案不唯一)． 课时测评10　方程组的解集 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．方程组的解集是(　　) A．{x＝0，y＝1} B．{0，1} C．{(0，1)} D．{(x，y)|x＝0或y＝1} 答案：C 解析：方程组两式相加得，x＝0，两式相减得，y＝1.所以方程组的解集为{(0，1)}．故选C. 2．若方程组的解集是{(x，y)|(1，－1)}，则(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：将x＝1，y＝－1代入方程组，可得 解得a＝1，b＝0.故选B. 3．已知A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|x2＋y2＝8}，则A∩B＝(　　) A．{(x，y)|(－2，2)，(2，－2)} B．{(x，y)|(－4，4)，(4，－4)} C．{(x，y)|(－2，－2)，(2，2)} D．{(x，y)|(－4，－4)，(4，4)} 答案：C 解析：解方程组得或所以A∩B＝{(x，y)|(－2，－2)，(2，2)}．故选C. 4．若二元一次方程3x－y＝7，2x＋3y＝1，y＝kx－9有公共解，则k的取值为(　　) A．3 B．－3 C．－4 D．4 答案：D 解析：由得代入y＝kx－9得－1＝2k－9，解得k＝4.故选D. 5．方程组有唯一的一组解，则实数m的值是(　　) A． B．－ C．± D．以上答案都不对 答案：C 解析：由y－x－m＝0，得y＝x＋m，代入x2＋y2－1＝0，得2x2＋2mx＋m2－1＝0.由题意，可得Δ＝(2m)2－8(m2－1)＝8－4m2＝0，解得m＝±.故选C. 6．二元一次方程组的解集为，则2m－n的算术平方根为__________． 答案：2 解析：由题意得解得所以2m－n＝4，所以＝2. 7．三元一次方程组的解集是__________． 答案：{(7，0，－8)} 解析：②＋③得3x＝21，解得x＝7，把x＝7代入①得y＝0，把x＝7代入③得z＝－8，则方程组的解集为{(7，0，－8)}． 8．已知关于x，y的方程组与的解相同，则(a＋b)2 024的值为________． 答案：1 解析：由题意，得解得把代入方程组得解得所以(a＋b)2 024＝(－2＋3)2 024＝12 024＝1. 9．(10分)求下列方程组的解集： (1)(4分) (2)(6分) 解：(1)将原方程组化简整理， 得 ②×2－①，得x＝1，将x＝1代入②，得y＝－3， 所以原方程组的解集为{(1，－3)}． (2)将原方程组化简整理，得 ①＋②，得30x＝60，解得x＝2，将x＝2代入①，得y＝3. 所以原方程组的解集为{(2，3)}． 10．(10分)求下列方程组的解集： (1)(4分) (2)(6分) 解：(1)因为 所以①＋②得4x＋y＝16　④， ②×2＋③得3x＋5y＝29　⑤， 由④⑤组成方程组解得 将x＝3，y＝4代入③得z＝5， 所以方程组的解集为{(3，4，5)}． (2)因为 由①得(x＋2y)(x－2y)＝12　③， 将②代入③得6(x－2y)＝12，即x－2y＝2， 由解得 所以原方程组的解集是{(4，1)}． 11．(5分)已知A＝{(x，y)|x＋2y＝5}，B＝{(x，y)|x2－2y2＝25}，则A∩B＝(　　) A．{(x，y)|(5，0)，(5，－5)} B．{(x，y)|(5，0)} C．{(x，y)|(5，0)，(－15，10)} D．{(x，y)|(－15，10)} 答案：C 解析：由题得，A∩B即为方程组 的解集．由①得x＝5－2y.代入②式得2y2－20y＝0，解得y＝0或y＝10.当y＝0时，x＝5；当y＝10时，x＝－15.所以A∩B＝{(x，y)|(5，0)，(－15，10)}．故选C. 12．(5分)若二元一次方程组的解集也是二元一次方程3x－4y＝6的解集，则k的值为(　　) A．－6 B．6 C．4 D．8 答案：D 解析：因为二元一次方程组的解集也是二元一次方程3x－4y＝6的解集，先解①＋②得2x＝k，所以x＝k，代入①得y＝2k－k，得y＝k.将x＝k，y＝k，代入3x－4y＝6，得3×k－4×k＝6，解得k＝8.故选D. 13．(10分)已知x，y满足方程组 (1)甲看了看说：这是二元一次方程组；乙想了想说：这不是二元一次方程组，甲、乙两人的说法正确的是________；(2分) (2)求x2＋4y2的值；(4分) (3)若已知：＋＝和(2y＋x)2＝x2＋4y2＋4xy，求＋的值．(4分) 解：(1)乙　原方程组不是二元一次方程组，故乙的说法正确． (2) ①＋②×2得，7x2＋28y2＝119， 整理得，x2＋4y2＝17. (3)②×3－①×2得，7xy＝14， 解得xy＝2，则(2y＋x)2＝x2＋4y2＋4xy＝17＋4×2＝25， 所以2y＋x＝±5， 所以＋＝＝＝±. 14．(5分)(数学文化)《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾6束，减损其中之“实”十八升，与下禾10束之“实”相当；下禾15束，减损其中之“实”五升，与上禾5束之“实”相当．问上、下禾每束之“实”各为多少升？设上下禾每束之“实”各为x升和y升，则可列方程组为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：设上下禾每束之“实”各为x升和y升，由上禾6束，减损其中之“实”十八升，与下禾10束之“实”相当，得6x－18＝10y；由下禾15束，减损其中之“实”五升，与上禾5束之“实”相当，得15y－5＝5x.所以可列方程组故选B. 15．(15分)水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载) 车型 甲 乙 丙 汽车运载量(吨/辆) 5 8 10 汽车运费(元/辆) 400 500 600 (1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？(5分) (2)市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆)，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？(10分) 解：(1)设需甲车型x辆，乙车型y辆，得： 解得 所以需甲车型8辆，乙车型10辆． (2)设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得： 消去z得5x＋2y＝40，x＝8－y， 因x，y是正整数，且不大于14，得y＝5或10， 由z是正整数，解得或 故有两种运送方案： ①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆； ②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆． 学生用书↓第43页 学科网（北京）股份有限公司 $$