2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版2019）

2．1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 知识目标 1.理解一元二次方程的定义，并会求一元二次方程的解集．　2.掌握一元二次方程的根的判别式，并会用其判断根的个数．　3.掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会用其求一些关于方程两根的代数式的值. 素养目标 通过对一元二次方程的解集及根与系数的关系的学习，培养数学抽象、逻辑推理素养；通过求一元二次方程的解集，提升数学运算素养. 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 提示：设切去的正方形的边长是x cm，则有方程(100－2x)(50－2x)＝3 600；整理得到方程x2－75x＋350＝0(0<x<25)，解之x＝5，所以铁皮各角应切去边长为5 cm的正方形． 知识点一　一元二次方程的解集 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其判别式Δ＝b2－4ac. (1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程的解集为 ； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为； (3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程的解集为∅. [微提醒] 一元二次方程的基本特征有两个：一是最高次幂，其指数为2；二是二次项系数不为0.判断方程解的情况，需依据判别式的符号．若二次项系数含有参数，则需要对参数进行分类讨论． 知识点二　一元二次方程根与系数的关系 当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解不是空集时，这个方程的解可以记为x1＝，x2＝，则有 [微提醒] 1．如果方程x2＋px＋q＝0的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q. 2．以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0. 1．下列实数中，是方程x2－4＝0的解集的是(　　) A．{1，－1} B．{2，－2} C．{3，2} D．{4，－2} 答案：B 解析：移项得x2＝4，开方得x＝±2，所以x1＝2，x2＝－2.解集为{2，－2}．故选B. 2．(多选)一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根分别为x1，x2，则下列结论正确的是(　　) A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝－2 学生用书↓第37页 C．x1＋x2＝3 D．x1x2＝2 答案：CD 解析：因为一元二次方程x2－3x－2＝0的两根分别为x1，x2，所以由根与系数关系得：x1＋x2＝3，x1x2＝2，故选CD. 3．(多选)若一元二次方程x2＝m有解，则m的取值可以是(　　) A．正数 B．负数 C．一切实数 D．零 答案：AD 解析：当m≥0时，一元二次方程x2＝m有解．故m可以是正数或0. 4．方程x2－2x＋3＝0的解集是__________． 答案：∅ 解析：因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，所以方程的解集为∅. 5．若2和－5为一元二次方程x2＋bx－c＝0的两根，则b，c的值分别等于________． 答案：3，10 解析：由一元二次方程根与系数的关系，可得解得 题型一　求一元二次方程的解集 例1　用适当的方法求下列方程的解集： (1)x2－2x－8＝0； (2)2x2－7x＋6＝0； (3)(x－1)2－2x＋2＝0. 点拨：根据方程的特征，合理选用配方法、公式法或因式分解法解方程． 解：(1)方法一　移项，得x2－2x＝8.配方，得(x－1)2＝9.由此可得x－1＝±3. 所以x1＝4，x2＝－2.所以方程的解集为{－2，4}． 方法二　原方程可化为(x－4)(x＋2)＝0， 所以x－4＝0或x＋2＝0.所以x1＝4，x2＝－2. 所以方程的解集为{－2，4}． (2)方法一　原方程可化为(x－2)(2x－3)＝0， 所以x－2＝0或2x－3＝0.所以x1＝2，x2＝. 所以方程的解集为. 方法二　因为a＝2，b＝－7，c＝6，所以Δ＝b2－4ac＝1>0. 所以x＝＝，即x1＝2，x2＝. 所以方程的解集为. (3)原方程可化为(x－1)2－2(x－1)＝0. 因式分解，得(x－1)(x－1－2)＝0.所以x－1＝0或x－3＝0.所以x1＝1，x2＝3.所以方程的解集为{1，3}． 解一元二次方程时，首先考虑用直接开平方法或因式分解法求解，如果不能用这两种方法，再考虑用公式法或配方法．公式法是解一元二次方程的通用方法，可以解所有的一元二次方程． 对点练1.求下列方程的解集： (1)3x2＋8x－3＝0； (2)x2＋3x－1＝0； (3)(x＋4)2＝5(x＋4)； (4)(x－1)2－2(x－1)＝15. 解：(1)因式分解法：(3x－1)(x＋3)＝0， 所以3x－1＝0或x＋3＝0， 解得x＝或x＝－3， 所以方程的解集为. (2)公式法：因为Δ＝32－4×1×(－1)＝13>0， 所以x1＝，x2＝. 所以方程的解集为. (3)因式分解法：(x＋4)[(x＋4)－5]＝0， 即(x＋4)(x－1)＝0，所以x＋4＝0或x－1＝0， 解得x＝－4或x＝1，所以方程的解集为{－4，1}． (4)因式分解法：方程化为(x－1)2－2(x－1)－15＝0， 所以[(x－1)－5][(x－1)＋3]＝0， 所以(x－6)(x＋2)＝0， 所以x－6＝0或x＋2＝0， 解得x＝6或x＝－2， 所以方程的解集为{－2，6}． 题型二　一元二次方程根的判别式的应用 例2　已知关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)m为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个实数根． 点拨：(1)方程的二次项系数为m＋1，因此不确定方程是否为一元二次方程，需对m＋1与0的关系进行讨论． (2)方程有两个相等的实数根，则该方程为一元二次方程，故可利用根的判别式进行求解． 解：(1)关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根，分两种情况讨论： ①当m＋1＝0，即m＝－1时，原方程是一元一次方程，此时方程为－2x－4＝0，必有实数根； ②当m＋1≠0，即m≠－1时，原方程是一元二次方程， 因为已知方程有实数根，所以Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12≥0， 解得m≥－且m≠－1. 综上可知，当m≥－时，方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根． (2)因为关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12＝0，解得m＝－，所以方程为－x2－3x－＝0， 两边同时乘以－2，得x2＋6x＋9＝0，即(x＋3)2＝0， 解得x1＝x2＝－3. 1．只有当方程是一元二次方程时，才能利用根的判别式确定字母的取值范围． 2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判别式为Δ＝b2－4ac. (1)“方程有两个不相等的实根”的充要条件是“Δ>0”． (2)“方程有两个相等的实根”的充要条件是“Δ＝0”． (3)“方程有两个实根”的充要条件是“Δ≥0”． (4)“方程没有实根”的充要条件是“Δ<0”． 学生用书↓第38页 对点练2.方程(x－1)2＝t－2(t为常数)的解集为(　　) A．∅ B．{1} C．{1－，1＋} D．∅或{1}或{1－，1＋} 答案：D 解析：当t－2<0，即t<2时，方程的解集为∅；当t－2＝0，即t＝2时，方程的解集为{1}；当t－2>0，即t>2时，方程的解集为{1－，1＋}．综上知，方程的解集为∅或{1}或{1－，1＋}．故选D. 题型三　一元二次方程根与系数的关系 例3　若一元二次方程x2－x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且满足＋＝－2，则m的值是(　　) A．－2 B．－ C． D．2 点拨：先把代数式＋变形为两根之积与两根之和的形式，然后将两根之和、两根之积代入，得出关于m的方程，再解方程即可． 答案：B 解析：根据根与系数的关系有x1＋x2＝1，x1x2＝m， 所以＋＝＝.又＋＝－2，所以＝－2，解得m＝－. 与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形 1．x＋x＝(x＋2x1x2＋x)－2x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2. 2．＋＝. 3．|x1－x2|＝＝. 4．＋＝＝. 5．(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2. 6．(x1＋k)(x2＋k)＝x1x2＋k(x1＋x2)＋k2. 对点练3.已知x1，x2是方程x2－x＋1＝0的两根，则x＋x＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：D 解析：因为x1，x2是方程x2－x＋1＝0的两根，所以x1＋x2＝，x1x2＝1，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝7－2＝5.故选D. 1．一元二次方程x2＝3x的解集是(　　) A．{0} B．{3} C．{－3} D．{0，3} 答案：D 解析：因为x2＝3x，所以x2－3x＝0，所以x(x－3)＝0，解得x1＝0，x2＝3.故选D. 2．(多选)下列一元二次方程中有实数根的是(　　) A．x2＋x＝2 B．x2－4x＋4＝0 C．2x2＋＝4x D．5x－1＝4x2 答案：ABD 解析：对于A，方程可化为x2＋x－2＝0，因为Δ＝1＋8＝9＞0，所以方程有两个不相等的实数根；对于B，因为Δ＝16－16＝0，所以方程有两个相等的实数根；对于C，方程可化为2x2－4x＋＝0，因为Δ＝16－20＝－4＜0，所以方程没有实数根；对于D，方程可化为4x2－5x＋1＝0，因为Δ＝25－16＝9＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选ABD. 3．已知关于x的一元二次方程2x2－kx＋3＝0的解集中只有一个元素，则k的值为(　　) A．±2 B．± C．3或4 D．2或3 答案：A 解析：因为方程的解集中只有一个元素，所以Δ＝k2－24＝0, 解得k＝±2.故选A. 4．已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，则m的值是________． 答案：3 解析：一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝(2m＋3)2－4m2＞0，解得m＞－.α＋β＝－2m－3，αβ＝m2，则＋＝＝＝－1，即m2－2m－3＝0，解得m＝3或m＝－1，因为m＞－，所以只有m＝3符合题意． 课时测评9　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．方程(x＋3)2＝25的解集是(　　) A．{5，－5} B．{2，－2} C．{8，2} D．{－8，2} 答案：D 解析：两边开平方，得x＋3＝±5，即x＝±5－3，所以x1＝－8，x2＝2，所以方程的解集为{－8，2}． 2．已知关于x的方程x2＋mx＋m＝0有两个实数根，则m的取值范围为(　　) A．m≥4 B．m>4或m<0 C．m≥4或m≤0 D．0<m<4 答案：C 解析：由题意知：Δ＝m2－4m≥0，解得m≥4或m≤0.故选C. 3．已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程可以是(　　) A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0 C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0 答案：D 解析：设所求方程为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则由题意，可得4＋(－5)＝－，4×(－5)＝，即＝1，＝－20，验证四个选项，只有D项符合条件． 4．已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是(　　) A．－3 B．3 C．－2 D．2 答案：C 解析：Δ＝k2＋8>0，故方程必有两个不同的根，设另一个根为x2，则由韦达定理可知x2×1＝－2，故x2＝－2.故选C. 5．已知α，β是一元二次方程x2＋3x－1＝0的两个实根，则＋的值为(　　) A．3 B．－ C． D．－3 答案：A 解析：利用根与系数的关系，得α＋β＝－3，αβ＝－1, 所以＋＝＝＝3.故选A. 6．方程8(x＋1)2＝27的解集为__________． 答案： 解析：8(x＋1)2＝27，(x＋1)2＝，x＋1＝±，x＝－1＋或x＝－1－. 7．已知集合A＝{1，2}，B＝{x|x2－mx＋n＝0}．若A＝B，则m＋n的值为__________． 答案：5 解析：由题意知1，2是方程x2－mx＋n＝0的两根，则解得所以m＋n＝5. 8．若m是方程3x2－2x－2＝0的一个根，则m2－m＋1＝________． 答案：2 解析：因为m是方程3x2－2x－2＝0的一个根，所以3m2－2m－2＝0，即m2－m＝1，所以m2－m＋1＝2. 9．(10分)求下列方程的解集： (1)2x2－3x－3＝0；(3分) (2)(x－1)·(x＋2)＝4；(3分) (3)(x＋1)2＝(2x－1)2.(4分) 解：(1)2x2－3x－3＝0， 因为a＝2，b＝－3，c＝－3， 所以Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－3)＝33>0， 所以x＝， 所以x1＝，x2＝； 所以方程的解集为，. (2)因为(x－1)·(x＋2)＝4， 所以x2＋x－2＝4， 所以x2＋x－6＝0， 所以(x＋3)(x－2)＝0， 所以x＋3＝0或x－2＝0， 解得，x1＝－3，x2＝2； 所以方程的解集为{－3，2}． (3)(x＋1)2＝(2x－1)2， 所以(x＋1)2－(2x－1)2＝0， 所以[(x＋1)＋(2x－1)][(x＋1)－(2x－1)]＝0， 所以3x(－x＋2)＝0， 解得，x1＝0，x2＝2. 所以方程的解集为{0，2}． 10．(10分)已知一元二次方程x2＋4x－1＝0的两根分别是x1，x2，利用根与系数的关系求下列式子的值： (1)(x1－x2)2；(4分) (2)＋.(6分) 解：(1)一元二次方程x2＋4x－1＝0的两根分别是x1，x2， 则Δ＝16＋4>0， 则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2＝16＋4＝20. (2)＋＝＝＝＝18. 11．(5分)用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，方程可变形为(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 答案：A 解析：二次项系数化为1得x2＋x＋＝0，移项得x2＋x＝－，配方得x2＋x＋＝－＋，即＝.故选A. 12．(5分)已知2＋是关于x的方程x2－4x＋c＝0的一个根，则方程的另一个根与c的值分别是(　　) A．2－，1 B．－6－，15－8 C．－2，－1 D．2＋，7＋4 答案：A 解析：设方程的另一个根为a，则由根与系数的关系，可得解得故选A. 13．(10分)已知一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有两个元素． (1)求实数k的取值范围；(4分) (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，求此时m的值．(6分) 解：(1)由一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有两个元素，得Δ＝(－4)2－4k＞0， 解得k＜4. 所以实数k的取值范围为(－∞，4)． (2)由k是符合条件的最大整数，得k＝3， 所以一元二次方程为x2－4x＋3＝0， 解得x1＝1，x2＝3. 因为一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根， 所以当x＝1时，把x＝1代入x2＋mx－1＝0， 得1＋m－1＝0，解得m＝0； 当x＝3时，把x＝3代入x2＋mx－1＝0， 得9＋3m－1＝0，解得m＝－. 综上，m＝0或m＝－. 14．(5分)若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0的解集中含有两个元素，则实数k的取值范围是__________． 答案：∪(1，＋∞) 解析：由题意，得 解得k>且k≠1. 15．(15分)(新角度)在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x2－3|x|＋2＝0. 解：设|x|＝y，则原方程可化为y2－3y＋2＝0. 解得y1＝1，y2＝2. 当y＝1时，|x|＝1，所以x＝±1； 当y＝2时，|x|＝2，所以x＝±2. 所以原方程的解是x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2. 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：x4－10x2＋9＝0；(5分) (2)若实数x满足x2＋－3x－＝2，求x＋的值．(10分) 解：(1)设x2＝a，则原方程可化为a2－10a＋9＝0， 即(a－1)(a－9)＝0， 解得a＝1或a＝9， 当a＝1时，x2＝1，所以x＝±1； 当a＝9时，x2＝9，所以x＝±3. 所以原方程的解是x1＝1，x2＝－1，x3＝3，x4＝－3.(2)设x＋＝y， 则原方程可化为y2－2－3y＝2，即y2－3y－4＝0， 所以(y＋1)(y－4)＝0， 解得y＝－1或y＝4， 即x＋＝－1(方程无解，舍去)或x＋＝4， 故x＋＝4. 学生用书↓第39页 学科网（北京）股份有限公司 $$