1.2.1 命题与量词-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版2019）

1．2　常用逻辑用语 1．2.1　命题与量词 知识目标 1.理解命题的含义，并会判断其真假．　2.理解全称量词与全称量词命题的定义；理解存在量词与存在量词命题的定义．　3.能准确地使用全称量词和存在量词符号(即“∀，∃”)来表述相关的数学内容．　4.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假. 素养目标 通过对命题、全称量词、存在量词的理解，培养数学抽象素养；借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算素养；通过对命题真假的判定，培养逻辑推理素养. 1．给出下列四个语句： (1)x>3； (2)2x＋1是整数； (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x＋1是整数． 问题1.以上四个语句都是命题吗？ 提示：(1)(2)不是命题；(3)(4)是命题． 问题2.比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ 提示：语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句． 2．给出以下4个语句： (1)2x＋1＝3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3； (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除． 问题3.以上4个语句都是命题吗？ 提示：(1)(2)不是命题，(3)(4)是命题． 问题4.比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ 提示：语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句． 学生用书↓第18页 知识点一　命题的概念 一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述语句称为命题．其中，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题． 一个命题，一般可以用一个小写英文字母表示，如p，q，r，…. [微提醒] 1．有一类陈述句在数学或其他科学技术中经常出现，但目前不能确定这些语句的真假，随着时间的推移，总能确定它们的真假，这一类语句仍然是命题． 2．命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为假，不能无法判断． 3．数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题． 4．数学中要判定一个命题为真命题，需要经过严格的数学证明；要判定一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可． 知识点二　全称量词和全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为“∀x∈M，p(x)” 知识点三　存在量词和存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”，可用符号记为“∃x∈M，p(x)” [微提醒] 全称量词命题与存在量词命题的区别 1．全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”． 2．存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”． 1．下列语句中，是命题的个数是(　　) ①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？ ②x，y都是无理数，则x＋y是无理数； ③请完成第九题； ④正方形既是矩形又是菱形． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：①不是命题，因为它不是陈述句；②是命题，是假命题，例如－＋＝0，不是无理数；③不是命题，因为它不是陈述句；④是命题，是真命题．故选B. 2．下列命题中全称量词命题的个数是(　　) ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n边形的内角和是(n－2)×180°. A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：由题意得，①③是全称量词命题，②是存在量词命题．故选C. 3．下列命题是存在量词命题的是(　　) ①有的数比它的倒数小；②平行四边形的对边相等；③存在有理数x，使x2－2＝0；④正方形都是平行四边形． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 答案：A 解析：①中含有存在量词“有的”；②中隐含全称量词“所有”；③中含有存在量词“存在”；④中隐含全称量词“所有”．故①③是存在量词命题．故选A. 4．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 答案：B 解析：A是全称量词命题．B为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确．因为＋(－)＝0，所以C为假命题．对于任意一个负数x，都有<0，所以D错误．故选B. 5．给出下列四个命题： ①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③对任意x∈R，x2－2x＞0；④有一个素数含有三个正因数． 以上命题的否定为真命题的序号是________． 答案：③④ 解析：写出命题的否定，易知③④的否定为真命题，或者根据命题①②是真命题，③④为假命题，再根据命题与它的否定一真一假，可得③④的否定为真命题． 学生用书↓第19页 题型一　命题真假的判断 例1　判断下列语句是不是命题，如果是，说明其真假： (1)奇数不能被2整除； (2)实数的平方是正数； (3)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1； (4)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2. 点拨：数学中要判定一个命题为真命题，需要经过严格的数学证明；要判定一个命题为假命题，只需举出一个反例即可． 解：(1)(2)(3)(4)都是陈述句，且能判断真假，因此都是命题． (1)是真命题．因为奇数是不能被2整除的整数． (2)是假命题．反例：0的平方还是0，不是正数． (3)是真命题．由(a－1)2＋(b－1)2＝0, 可得a－1＝0且b－1＝0，所以a＝b＝1. (4)是假命题．反例：y＝4，x＝3也满足y＝x＋1. 判断命题真假的方法 1．对于一般的命题，可根据我们已学过的定义、定理、公理等判断其真假． 2．将一个命题改写成“若p，则q”的形式后，判断此命题真假的一般方法如下． (1)若通过逻辑推理可以由p得到q，则可确定命题“若p，则q”为真；而要确定命题“若p，则q”为假，则只需举出一个反例． (2)从集合的观点，我们建立集合A，B与p，q之间的一种特殊联系：设集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，就是说，A是能使p成立的对象x所构成的集合，B是能使q成立的对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真(意思就是“使p成立的对象也能使q成立”)，即A⊆B. 对点练1.下列命题中真命题的个数为(　　) ①面积相等的三角形是全等三角形； ②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0； ③若a>b，则a＋c>b＋c； ④矩形的对角线互相垂直． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：①面积相等的三角形不一定全等，故错误；②若xy＝0，则x＝0或y＝0，所以|x|＋|y|不一定为0，故错误；③若a>b，由不等式的性质可得a＋c>b＋c，故正确；④矩形的对角线相等但不一定垂直，故错误．故正确的只有③，个数为1，故选A. 题型二　全称量词命题与存在量词命题的判断与其真假 例2　判断下列命题哪些是全称量词命题，并判断真假： (1)对任意实数x，都有x2>0； (2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则|x1|<|x2|； (3)存在一个x∈R，使x2＋1<0. 点拨：判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题，就是判断这个命题中是否含有全称量词或存在量词，有些命题的量词可能隐含在命题之中，这时要根据命题含义进行判断． 解：(1)(2)是全称量词命题，(3)是存在量词命题． (1)当x＝0时，x2＝0，所以命题是假命题 (2)当x1＝－2，x2＝1时|x1|>|x2|，所以命题是假命题． (3)对任意x∈R，x2＋1>0恒成立，所以命题是假命题． 1．要判定全称量词命题是真命题，需要判断所有的情况都成立；如果有一种情况不成立，那么这个全称量词命题就是假命题． 2．要判定存在量词命题是真命题，只需找到一种情况成立即可；如果找不到使命题成立的特例，那么这个存在量词命题是假命题． 学生用书↓第20页 对点练2.下列命题中，真命题的是(　　) A．∀x∈R，x>0 B．如果x<2，那么x<1 C．∃x∈R，x2≤－1 D．∀x∈R，使x2＋1≠0 答案：D 解析：A显然是假命题，x取负数就不符合；B中取x＝1.5，满足x<2，但x不小于1.故B是假命题；C中不存在x，使得x2≤－1，D中对∀x∈R总有x2＋1≥1，所以x2＋1≠0，故D是真命题．故选D. 题型三　全称量词命题、存在量词命题的求参问题 例3　(1)已知命题“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”是真命题，求实数a的取值范围； (2)已知命题“∃x∈[1，2]，x2－a≥0”是真命题，求实数a的取值范围． 点拨： 解：(1)由已知可得“a≤x2”对∀x∈[1，2]恒成立． 设y＝x2，当x∈[1，2]时，y随x的增大而增大，即y最小值＝1，由不等式恒成立可得，a≤1. (2)由已知可得“a≤x2”对x∈[1，2]能成立． 设y＝x2，当x∈[1，2]时，y随x的增大而增大，即y最大值＝4，由不等式能成立可得，a≤4. 1．全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，这是一类综合性强，且有一定难度的问题，解决有关“恒成立”的问题时，若能分离参数，则尽量利用分离参数法求解． 2．存在量词命题的常见题型是用适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述的．解答这类问题时，一般要先对结论做出肯定存在的假设，然后从此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证．若推出合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则可否定存在性． 对点练3.命题p：存在x>a，使得2x＋a<3.若命题p为假命题，求实数a的取值范围． 解：命题p为假命题，则¬p：对任意的x>a，都有2x＋a≥3为真命题． 由此可得2a＋a≥3，即a≥1. 所以实数a的取值范围为[1，＋∞)． 易错一　命题的概念理解不清 1．判断下列语句是不是命题： (1)哥德巴赫猜想； (2)宇宙中存在外星人． 正解：　(1)(2)都是命题，因为能对它们的真假做出判断，尽管现在不能确定它们的真假，但它们的真假性是客观存在的，并不是无法判断的． [易错探因]　本题易错的地方是认为两个语句目前无法判断真假，从而判断两个语句都不是命题． [误区警示]　对于一些科学技术或大自然中的疑问，虽然现在我们还不能做出相应的判断，但随着科学技术的发展和时间的推移，我们终究会做出相应的判断，所以“判断真假”不是指“现在就进行判断”． 易错二　判断命题真假时忽视特例的作用致错 2．判断下列命题的真假： (1)∀x∈R，x2＋2x＋1>0； (2)∃x∈R，|x|≤0. 正解：　(1)因为当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0， 所以原命题是假命题． (2)因为当x＝0时，|x|≤0成立，所以原命题是真命题． [易错探因]　(1)此处易忽略x＝－1，从而漏掉x2＋2x＋1＝0，导致判断错误． (2)此处易忽略当x＝0时，|x|＝0，而0≤0成立． [误区警示]　判断含量词的命题的真假时，一定要注意特殊情况，如特殊值、特殊点，特别是问题中涉及的临界点．若找不到特例，则需根据相关数学知识进行简单推理． 学生用书↓第21页 1．下列命题中形式不同于其他三个的是(　　) A．∀x∈Z，x2－9<x2 B．∃x∈R，x2－2x＋1≠0 C．每一个正数的倒数都大于0 D．∀x<2，x－3<0 答案：B 解析：A、C、D均为全称量词命题，B为存在量词命题． 2．(多选)下列命题中是真命题的是(　　) A．∃x∈R，x3＝3 B．∃x∈R，3x＋1是整数 C．∀x∈R，|x|>3 D．∀x∈Q，x2∈Z 答案：AB 解析：A是真命题，由x3＝3得x＝，是无理数，所以选项A为真命题；B是真命题，当x＝1时，3x＋1＝4是整数；C是假命题，如x＝2时，|x|<3；D是假命题，如x＝，x2∉Z.故选AB. 3．用量词符号“∀”“∃”表示下列命题． (1)有的实数不能写成小数形式：_____________________________________________； (2)菱形的对角线垂直：________________． 答案：(1)∃x∈R，x不能写成小数形式；(2)∀x∈{x|x是菱形}，x的对角线垂直 4．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，x－a≥0，若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________． 答案：{a|a≤1} 解析：由p为真命题，知a≤x.又1≤x≤3，因此a≤1. 课时测评5　命题与量词 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．有下列命题：①关于x的方程mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何非空集合的真子集．其中真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：取m＝0，可知①是假命题；当Δ＝4＋4a<0，即a<－1时，抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴无交点，②是假命题；③④显然是真命题．故选C. 2．下列命题是全称量词命题的是(　　) A．存在x∈R，使2x2－x＋1<0 B．所有3的倍数都是奇数 C．有一个实数x，使|x＋2|≤0 D．有的四边形是平行四边形 答案：B 解析：对于A，C，D中，分别含有存在量词“存在”“有一个”“有的”，故A，C，D都是存在量词命题；对于B，含有全称量词“所有”，故B是全称量词命题．故选B. 3．下列语句不是存在量词命题的是(　　) A．至少有一个x，使x2＋x＋1＝0成立 B．有的无理数的平方不是有理数 C．存在x∈R，3x＋2是偶数 D．梯形有两边平行 答案：D 解析：因为“至少有一个”“有的”“存在”为存在量词，所以选项A、B、C项均为存在量词命题，选项D为全称量词命题．故选D. 4．下列结论中不正确的个数是(　　) ①命题“所有的六边形内角和都是720°”是存在量词命题； ②命题“任何一个实数都有相反数”是全称量词命题； ③命题“实系数方程都有实数解”，是存在量词命题． A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：对于①：命题“所有的六边形内角和都是720°”是全称量词命题，故①错误；对于②：命题“任何一个实数都有相反数”是全称量词命题；故②正确；对于③：命题“实系数方程都有实数解”是全称量词命题，故③错误．所以错误的命题为①③.故选C. 5．已知四个命题如下： ①无限循环小数都是有理数； ②有的无理数的平方还是无理数； ③∀x∈R，x2＋x＋1>0； ④∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一个实数解． 则这四个命题中既是全称量词命题又是真命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：①省去了全称量词“所有”，是全称量词命题且是真命题；②含有存在量词“有的”，是存在量词命题且是真命题；③是全称量词命题，∀x∈R，x2＋x＋1＝＋≥>0，故③是真命题；④是全称量词命题，当a＝0，b＝1时，方程无实数解，故④是假命题．故选C. 6．下列语句中是命题的有________；是真命题的有________．(只填序号) ①这幅画真漂亮！ ②求证是无理数； ③矩形是平行四边形吗？ ④并非所有的人都喜欢苹果； ⑤x2－1>0(x∈R)． 答案：④⑤　④ 解析：①感叹句，不是命题．②祈使句，不是命题．③疑问句，不是命题．④是命题，有人喜欢苹果，也有人不喜欢苹果，所以可判断该陈述句的真假，故它是命题，并且是真命题．⑤是命题，对于任意的x∈R，x2－1>0，可以判断其真假，故它是命题，当x＝0时，该命题不成立，故它是假命题． 7．下列命题中，是全称量词命题的有 __________，是存在量词命题的有__________．(填序号) ①正方形的四条边相等， ②所有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0， ④至少有一个正整数是偶数； ⑤所有正数都是实数吗？ 答案：①②③　④ 解析：④含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题， 命题“①正方形的四条边相等”可改写为“①所有正方形的四条边都相等”， 命题“③正数的平方根不等于0”可改写为“③所有正数的平方根都不等于0”， 则①②③含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题，而⑤不是命题． 故答案为①②③，④. 8．若命题“∃x0∈[－1，2]，x0－a>0”为假命题，则实数a的最小值为__________． 答案：2 解析：因为命题“∃x0∈[－1，2]，x0－a>0”为假命题，故“∀x∈[－1，2]，x－a≤0”为真命题，即a≥x在x∈[－1，2]恒成立，需a≥2；故实数a的最小值为2. 9．(10分)用量词符号“∀”“∃”表示下列命题，并判断其真假： (1)所有实数x都能使|x|＋1>0成立；(2分) (2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；(2分) (3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；(2分) (4)存在实数m，使得m与m的倒数之和等于1.(4分) 解：(1)∀x∈R，|x|＋1>0，真命题． (2)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一个解，假命题． (3)∃x∈Z，y∈Z，3x－2y＝10，真命题． (4)∃m∈R，m＋＝1，假命题． 10．(10分)判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假： (1)一切矩形都是平行四边形；(1分) (2)有些无理数的平方也是无理数；(1分) (3)对任意x∈{x|x>－1}，使3x＋4>0；(1分) (4)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立；(1分) (5)无论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根；(2分) (6)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个负根；(2分) (7)存在一个x∈R，使＝0.(2分) 解：(1)一切矩形表示所有的矩形，所以是全称量词命题，由矩形的定义可知此命题是真命题； (2)有些无理数表示一部分无理数，所以是存在量词命题，如(＋1)2＝3＋2，＋1和3＋2无均为无理数，所以此命题为真命题； (3)对任意x表示全部的含义，所以是全称量词命题，由x>－1得x＋1>0，所以3x＋3>0，所以3x＋4>1>0，所以此命题为真命题； (4)存在a＝1且b＝2，表示部分含义，所以是存在量词命题，是真命题； (5)无论m取什么实数，表示全部含义，所以是全称量词命题，而当m＝－1时，方程为x2＋x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3<0方程无实根，所以此命题为假命题； (6)至少表示部分含义，所以是存在量词命题， 方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)的根为x＝，因为a<0，所以x＝<0，所以此命题为真命题； (7)存在一个x∈R，表示部分含义，所以是存在量词命题，而＝0无解的，所以此命题是假命题． 11．(5分)设有下面四个命题： p1：∃x∈R，x2＋1<0； p2：∀x∈R，x＋|x|>0； p3：∀x∈Z，|x|∈N； p4：∃x∈R，x2－2x＋3＝0. 其中真命题为(　　) A．p1 B．p2 C．p3 D．p4 答案：C 解析：设有下面四个命题：对于p1：∃x∈R，x2＋1<0不成立，故该命题为假命题；p2：∀x∈R，当x<0时，x＋|x|＝0，故该命题为假命题；p3：∀x∈Z，|x|∈N，该命题为真命题；p4：∃x∈R，由于x2－2x＋3＝0中Δ＝4－12＝－8<0，故不存在实根，故该命题为假命题．故选C. 12．(5分)(多选)下列命题既是全称量词命题又是真命题有(　　) A．∀x∈R，有()3＝x； B．所有的质数都是奇数； C．至少有一个实数x，使x2≤0 D．正方形的四条边相等 答案：AD 解析：对于A，∀x∈R，有()3＝x，既是全称量词命题又是真命题，故A正确；对于B，所有的质数都是奇数，是全称量词命题，但不是真命题，如2是质数，但不是奇数；对于C，至少有一个实数x，使x2≤0，不是全称量词命题；对于D，正方形的四条边相等，既是全称量词命题又是真命题，故D正确．故选AD. 13．(10分)已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________． 答案：[3，8) 解析：由p(1)是假命题，p(2)是真命题，得解得3≤m<8. 14．(5分)(开放题)能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2－ab＋b＝0”是真命题的一组有序数对(a，b)为________． 答案：(2，4)(答案不唯一) 解析：由a2－ab＋b＝0，得ab－b＝a2，即b(a－1)＝a2，则b＝(a≠1)．当a＝2，b＝4时，能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2－ab＋b＝0”是真命题． 15．(15分)已知M＝{x|a≤x≤a＋1}． (1)“∀x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围；(5分) (2)“∃x∈M，x＋1＞0”成立，求实数a的取值范围．(10分) 解：(1)∀x∈M，x＋1＞0是真命题，即a＋1＞0，解得a＞－1， 所以实数a的取值范围是{a|a＞－1}． (2)“∃x∈M，x＋1＞0”成立，即a＋1＋1＞0，解得a＞－2， 所以实数a的取值范围是{a|a＞－2}. 学科网（北京）股份有限公司 $$