1.1.3 第2课时 补集及综合应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版2019）

第2课时　补集及综合应用 知识目标 1.了解全集的含义及其符号表示．　2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.3.会用维恩图、数轴进行集合的运算. 素养目标 通过补集的运算，培养数学运算素养；借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养. U＝{高一(2)班全班同学}，A＝{高一(2)班中参加足球队的同学}，B＝{高一(2)班中没有参加足球队的同学}． 问题1.集合U，A，B三者有何关系？ 提示：U＝A∪B. 问题2.集合B中元素与U和A有何关系？ 提示：B中元素都在U中，但都不在A中． 知识点　补集 1．全集的概念 在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示． [微提醒] 全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是依据具体问题来选择的．例如，我们在研究数集时，通常把实数集R作为全集；当我们只讨论大于0且小于5的实数时，可选{x|0<x<5}为全集，通常也会把给定的集合作为全集． 2．补集的概念 自然语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA，读作“A在U中的补集”. 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 学生用书↓第15页 [微提醒] 1．补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． 2．补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． 3．集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比： 实数 集合 被减数a 被减集合(全集)U 减数b 减集合A 差a－b 补集∁UA 4.符号∁UA有三层意思：①A是U的子集，即A⊆U；②∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U；③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． 1．已知全集U＝{1，2，3，4}，若A＝{1，3}，则∁UA＝(　　) A．{1，2} B．{1，4} C．{2，3} D．{2，4} 答案：D 解析：因为全集U＝{1，2，3，4}，A＝{1，3}，所以∁UA＝{2，4}．故选D. 2．已知全集U＝R，A＝{x|－2<x≤3}，∁UA＝(　　) A．{x|x≤－2} B．{x|x≤－2或x>3} C．{x|x≥3} D．{x|x≤－2或x≥3} 答案：B 解析：因为全集U＝R，A＝{x|－2<x≤3}，所以∁UA＝{x|x≤－2或x>3}．故选B. 3．(多选)已知集合A＝{x|－3<x<6}，B＝{x|2<x<7}，则∁A(A∩B)的子集可以是(　　) A．{x|－3≤x≤2} B．{x|－3<x≤2} C．{x|－3≤x<2} D．{x|－3<x<2} 答案：BD 解析：因为A＝{x|－3<x<6}，B＝{x|2<x<7}，所以A∩B＝{x|2<x<6}，所以∁A(A∩B)＝{x|－3<x≤2}．所以∁A(A∩B)的子集可以是{x|－3<x≤2}，{x|－3<x<2}．故选BD. 4．已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，M＝{1，4}，N＝{1，2，3}，则(∁UM)∩N＝__________． 答案：{2，3} 解析：因为U＝{0，1，2，3，4，5}，M＝{1，4}，N＝{1，2，3}，则(∁UM)∩N＝{0，2，3，5}∩{1，2，3}＝{2，3}． 5．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁UN＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________． 答案：{x|x<1或x≥2} 解析：因为U＝R，∁UN＝{x|0<x<2}，所以N＝{x|x≤0或x≥2}．所以M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x<1或x≥2}. 题型一　补集的运算 例1　(1)设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，B＝{1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合是(　　) A．{4} B．{2，4} C．{4，5} D．{1，3，4} (2)已知集合A＝{x|－1<x－3≤2}，B＝{x|3≤x<4}，则∁AB＝(　　) A．{x|2<x<3或4<x<5} B．{x|2<x≤3或4<x≤5} C．{x|2<x<3或4≤x≤5} D．{x|2<x≤3或4≤x≤5} 点拨：注意补集的概念及“∁UA”符号的含义． 答案：(1)A　(2)C 解析：(1)图中阴影部分表示的集合在集合A中但不含集合B中的元素，故图中阴影部分表示的集合是A∩(∁UB)．因为U＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，2，3}，所以∁UB＝{4，5}．因为A＝{2，4}，所以A∩(∁UB)＝{4}．故选A. (2)由A＝{x|－1<x－3≤2}，得A＝{x|2<x≤5}．又因为B＝{x|3≤x<4}，所以∁AB＝{x|2<x<3或4≤x≤5}．故选C. 求集合补集的依据及处理技巧 1．依据：集合补集的定义． 2．两种处理技巧： (1)当集合用列举法表示时，可借助维恩图求解． (2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 对点练1.(1)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2>4}，则∁UA＝(　　) A．{x|－2≤x≤2} B．{x|－2<x<2} C．{x|x<2} D．{x|x≤2} (2)已知全集A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B＝{a|a<0，a∈A}，则∁AB＝__________． 答案：(1)A　(2){0，1，2} 解析：(1)A＝{x|x2>4}＝{x|x>2或x<－2}，∁UA＝{x|－2≤x≤2}．故选A. (2)因为B＝{－2，－1}，所以∁AB＝{0，1，2}． 题型二　集合交、并、补的综合运算 例2　(1)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩(∁UA)＝(　　) 学生用书↓第16页 A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7} (2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)． 点拨：(1)先求∁UA，再求B∩(∁UA)． (2)根据集合的交集、补集、并集运算，画数轴，即可求解． 答案：(1)C　(2)见解析 解析：(1)依题意得∁UA＝{1，6，7}，故B∩(∁UA)＝{6，7}．故选C. (2)将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示． 因为A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，所以A∩B＝{x|－1<x<2}，∁UB＝{x|x≤－1，或x>3}． 又P＝， 所以(∁UB)∪P＝. 又∁UP＝，所以(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1<x<2}∩＝{x|0<x<2}． 求集合交、并、补运算的方法 对点练2.(1)已知全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则A∪(∁UB)＝(　　) A．{1} B．{1，3} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3} (2)设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，则(∁RA)∩B＝(　　) A．{2} B．{4，5} C．{3，4} D．{2，3} 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)因为全集U＝{x∈N*|x≤4}＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，所以∁UB＝{1，3}，则A∪(∁UB)＝{1，2，3}．故选C. (2)因为集合A＝{x|－2<x<4}，所以∁RA＝{x|x≥4或x≤－2}，所以(∁RA)∩B＝{4，5}．故选B. 题型三　补集思想的应用 例3　已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围． 点拨：直接利用A∩B≠∅求解，不好打开解题思路，可以采取补集思想，先求满足A∩B＝∅的情况． 解：先求A∩B＝∅时m的取值范围． (1)当A＝∅时，① 方程x2－4x＋2m＋6＝0无实根， 所以Δ＝(－4)2－4(2m＋6)<0，解得m>－1. (2)当A≠∅，A∩B＝∅时， 方程x2－4x＋2m＋6＝0的根为非负实根．② 设方程x2－4x＋2m＋6＝0的两根为x1，x2， 则③ 即解得－3≤m≤－1， 综上，当A∩B＝∅时， 实数m的取值范围为{m|m≥－3}． 又因为U＝R，所以当A∩B≠∅时，④ 实数m的取值范围为∁R{m|m≥－3}＝{m|m<－3}． 所以，A∩B≠∅时，实数m的取值范围为{m|m<－3}． 1．运用补集思想求参数范围的方法 (1)否定已知条件，考虑反面问题． (2)求解反面问题对应的参数范围． (3)将反面问题对应参数的范围取补集． 2．补集思想适用的情况 从正面考虑，情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想． 对点练3.若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有1个元素，求实数a的取值范围． 解：假设集合A中含有2个元素，即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，则解得a<且a≠0，则此时实数a的取值范围为 .在全集U＝R中，集合的补集是. 所以满足题意的实数a的取值范围为. 学生用书↓第17页 1．已知全集U＝{x|－3<x<3}，集合A＝{x|－2<x≤1}，则∁UA＝(　　) A．{x|－2<x≤1} B．{x|－3<x<－2，或1≤x<3} C．{x|－2≤x<1} D．{x|－3<x≤－2，或1<x<3} 答案：D 解析：由补集定义可知：∁UA＝{x|－3<x≤－2，或1<x<3}．故选D. 2．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则(　　) A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M 答案：A 解析：由题知M＝{2，4，5}，对比选项知，A正确，BCD错误．故选A. 3．(多选)设集合P＝{1，2，3}，Q＝{x|2≤x≤3}，则下列结论中正确的有(　　) A．P⊆Q B．P∩Q＝P C．(P∩Q)⊆P D．(∁RQ)∩P≠∅ 答案：CD 解析：集合P中1∉Q，故A错误；P∩Q＝{2，3}，故B错误，C正确；∁RQ＝{x|x<2或x>3}，(∁RQ)∩P＝{1}≠∅.故D正确． 4．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或x≥3}，B＝{x|2m＋1<x<m＋7}，若(∁UA)∩B＝B，则实数m的取值范围为________． 答案：{m|m≥6} 解析：因为A＝{x|x≤－2，或x≥3}，所以∁UA＝{x|－2<x<3}，因为(∁UA)∩B＝B，所以B⊆(∁UA)． 当B＝∅时，即2m＋1≥m＋7，所以m≥6，满足(∁UA)∩B＝B.当B≠∅时，则无解．故实数m的取值范围是{m|m≥6}． 课时测评4　补集及综合应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知集合U＝{x|x>0}，∁UA＝{x|0<x<3}，那么集合A＝(　　) A．{x|x>3} B．{x|x≥3} C．{x|x<0或x>3} D．{x|x≤0或x≥3} 答案：B 解析：集合U＝{x|x>0}，∁UA＝{x|0<x<3}，所以A＝{x|x≥3}．故选B. 2．设集合U＝{0，1，2，3}，A＝{0，1，3}，B＝{1，2}，则A∩(∁UB)＝(　　) A．{0，3} B．{1，3} C．{1} D．{0} 答案：A 解析：因为集合U＝{0，1，2，3}，A＝{0，1，3}，B＝{1，2}，所以∁UB＝{0，3}，所以A∩(∁UB)＝{0，3}．故选A. 3．若全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x<3}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{0，1，2，3} B．{0，1，2} C．{3，4，5} D．{4，5} 答案：C 解析：由维恩图可知，阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)，因为全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x<3}，所以∁UB＝{x|x≥3}，所以A∩(∁UB)＝{3，4，5}．故选C. 4．已知A，B均为全集U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝(　　) A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9} 答案：D 解析：方法一　由题意画出维恩图，如图所示．由图可知，A＝{3，9}．故选D. 方法二　根据题意易得3∈A，9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈(A∩B))，从而5∈∁UB， 则(∁UB)∩A＝{5，9}，与题中条件矛盾，故5∉A. 同理1∉A，7∉A，故A＝{3，9}．故选D. 5．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}，A∩(∁RB)＝A，则实数m的取值范围为(　　) A．m>5 B．m<－3 C．m>5或m<－3 D．－3<m<5 答案：C 解析：由题意，可得A＝[－1，3]，B＝[m－2，m＋2]，因为A∩(∁RB)＝A，所以A⊆∁RB，所以A∩B＝∅，所以m＋2<－1或m－2>3，解得m<－3或m>5.故选C. 6．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩∁UB＝__________． 答案：{3} 解析：由U＝{1，2，3，4}，∁U(A∪B)＝{4}，知A∪B＝{1，2，3}，又B＝{1，2}，所以A中一定有元素3，没有元素4，所以A∩(∁UB)＝{3}． 7．若U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则B∩(∁UA)＝________，∁U(A∪B)＝________． 答案：{6}　{2，4，8} 解析：因为U＝{n|n是小于9的正整数}，所以U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，则A＝{1，3，5，7}，B＝{3，6}，所以∁UA＝{2，4，6，8}，A∪B＝{1，3，5，6，7}，所以B∩(∁UA)＝{6}，∁U(A∪B)＝{2，4，8}． 8．已知U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁UA＝{x|x<3或x>4}，则ab＝________． 答案：12 解析：因为A∪(∁UA)＝R，所以a＝3，b＝4，所以ab＝12. 9．(10分)已知全集U＝R，集合A＝{x|0<x≤2}，B＝{x|x<－3或x>1}， 求：(1)A∩B；(4分) (2)(∁UA)∩(∁UB)．(6分) 解：(1)因为A＝{x|0<x≤2}，B＝{x|x<－3或x>1}，所以A∩B＝{x|1<x≤2}． (2)因为全集U＝R，A＝{x|0<x≤2}，B＝{x|x<－3或x>1}， 所以∁UA＝{x|x≤0或x>2}，∁UB＝{x|－3≤x≤1}， 则(∁UA)∩(∁UB)＝{x|－3≤x≤0}． 10．(10分)已知全集U＝{不大于20的素数}，M，N为U的两个子集，且满足M∩(∁UN)＝{3，5}，(∁UM)∩N＝{7，19}，(∁UM)∩(∁UN)＝{2，17}，求M，N. 解：方法一　U＝{2，3，5，7，11，13，17，19}， 如图， 所以M＝{3，5，11，13}，N＝{7，11，13，19}． 方法二　因为M∩(∁UN)＝{3，5}， 所以3∈M，5∈M且3∉N，5∉N. 又因为(∁UM)∩N＝{7，19}， 所以7∈N，19∈N且7∉M，19∉M. 又因为(∁UM)∩(∁UN)＝{2，17}， 所以∁U(M∪N)＝{2，17}， 所以M∪N＝{3，5，7，11，13，19}， 所以M＝{3，5，11，13}，N＝{7，11，13，19}． 11．(5分)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝(　　) A．{5} B．{1，2} C．{3，4} D．{1，2，3，4} 答案：A 解析：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，所以M∪N＝{1，2，3，4}，所以∁U(M∪N)＝{5}．故选A. 12．(5分)如图所示，I是全集，M，P，S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是(　　) A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S C．(M∩P)∩(∁IS) D．(M∩P)∪(∁IS) 答案：C 解析：由已知的维恩图可得：阴影部分的元素属于M，属于P，但不属于S，故阴影部分表示的集合为(M∩P)∩(∁IS)，故选C. 13．(10分)(开放题)已知集合A＝{1，3，－x}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数x，使得B∪(∁AB)＝A？若存在，求出集合A和B；若不存在，说明理由． 解：假设存在实数x，使B∪(∁AB)＝A， 所以BA. (1)若x＋2＝3，则x＝1，符合题意． (2)若x＋2＝－x，则x＝－1，不满足集合A或B中元素的互异性，不符合题意． 所以存在x＝1，使B∪(∁AB)＝A， 此时A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}． 14．(5分)已知A＝，B＝{x|x2＋a≤0}，若(∁RA)∩B＝B，则实数a的取值范围为__________． 答案： 解析：∁RA＝，由(∁RA)∩B＝B得B⊆∁RA，当a>0时，B＝∅，满足B⊆∁RA，则a>0成立， 当a＝0时，B＝{0}，满足B⊆∁RA，则a＝0成立， 当a<0时，B＝{x|－≤x≤}，则可得<，即－<a<0，综上，实数a的取值范围是. 15．(15分)(新定义)我们知道，如果集合A⊆U，那么U的子集A的补集为∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{4，5，6，7，8}，则A－B＝{1，2，3}，B－A＝{4，6，7}． 据此，回答以下问题： (1)若U是高一(1)班全体同学组成的集合，A是高一(1)班女同学组成的集合，求U－A及∁UA；(4分) (2)在图中，分别用阴影表示集合A－B；(4分) (3)如果A－B＝∅，那么A与B之间具有怎样的关系？(7分) 解：(1)U－A＝{x|x是高一(1)班的男同学}，∁UA＝{x|x是高一(1)班的男同学}． (2)阴影部分如下图所示． (3)若A－B＝∅，则A⊆B. 学科网（北京）股份有限公司 $$