1.1.3 第1课时 交集与并集-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版2019）

1．1.3　集合的基本运算 知识目标 1.理解两个集合交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．　2.能使用维恩图、数轴表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用. 素养目标 通过理解集合交集、并集的概念，提升数学抽象素养；借助维恩图、数轴培养直观想象及数学运算素养. 第1课时　交集与并集 1．观察集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{2，3}，回答下面的问题： 问题1.集合A与集合B有公共元素吗？它们组成的集合是什么？ 提示：有公共元素．它们组成的集合是{2，3}． 问题2.集合C中的元素与集合A，B有什么关系？ 提示：集合C中的元素既属于集合A，又属于集合B. 2．某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，我们用集合A表示第一次进货的品种，用集合B表示第二次进货的品种． 问题3.通过观察，你能用集合C表示两次一共进货的品种吗？ 提示：A＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水}，B＝{圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面}，则C＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水，铅笔，火腿肠}． 问题4.集合C中元素的个数等于集合A，B中元素的个数和吗？ 提示：不等于． 知识点一　交集 自然语言 一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”. 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 (1)A与B相交(有公共元素，A与B相互不包含)．　(2)A与B相离(没有公共元素，A∩B＝∅)． (3)AB，则A∩B＝A.　(4)BA，则A∩B＝B.　(5)A＝B，则A∩B＝B＝A. 学生用书↓第12页 [微提醒] 对交集概念的理解 1．对于“A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}”，包含以下两层意思：①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；②A与B的公共元素都属于A∩B，这就是文字定义中“所有”二字的含义，如A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∩B＝{2，3}，而不是{2}或{3}． 2．任意两个集合并不是总有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅. 3．当A＝B时，A∩B＝A和A∩B＝B同时成立． 知识点二　并集 自然语言 一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”. 符号语言 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 图形语言 (1)A与B有公共元素相互不包含．　(2)A与B没有公共元素． (3)AB.　　(4)BA.　　(5)A＝B. 说明：由上述五个图形可知，无论集合A，B是何种关系，A∪B恒有意义，图中阴影部分表示并集. [微提醒] 1．并集符号语言中，“x∈A或x∈B”包括下列三种情况：①x∈A，且x∉B；②x∉A，且x∈B；③x∈A，且x∈B，可用下图形象地表示． 2．求A∪B时要注意集合中元素的互异性，相同的元素(即A与B的公共元素)只能算作并集中的一个元素．例如，A＝{1，2，3}，B＝{1，3，5，7}，A∪B＝{1，2，3，5，7}，而不能写成A∪B＝{1，2，3，1，3，5，7}. 1．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝(　　) A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} 答案：C 解析：因为A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0，1，2}，所以A∩B＝{1，2}．故选C. 2．已知M＝{x|0<x<1}，N＝{x|x≥－1}，则M∪N＝(　　) A．{x|0<x<1} B．{x|－1≤x<1} C．{x|x≥－1} D．{－1，0，1} 答案：C 解析：由题意，M∪N＝{x|0<x<1}∪{x|x≥－1}＝{x|x≥－1}．故选C. 3．设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是(　　) A．1 B．3 C．4 D．8 答案：C 解析：因为A＝{1，2}，A∪B＝{1，2，3}，所以B＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}．故选C. 4．设集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x||x＋3|<3}，则A∪B＝__________． 答案：{x|－6<x<2} 解析：集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x||x＋3|<3}＝{x|－6<x<0}，可知A∪B＝{x|－6<x<2}． 5．已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则A∩B＝__________． 答案：{1，2} 解析：B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}＝{1，2，5}，又A＝{－2，－1，0，1，2}，所以A∩B＝{1，2}. 题型一　交集的运算 例1　(1)已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B＝(　　) A．(－1，＋∞) B．(－∞，2) C．(－1，2) D．∅ (2)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝(　　) A．{－1，0，1} B．{0，1} C．{－1，1} D．{0，1，2} 答案：(1)C　(2)A 解析：(1)依题意得A∩B＝{x|－1<x<2}．故选C. (2)集合B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1，0，1}．故选A. 学生用书↓第13页 求两个集合的交集的方法 1．对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． 2．对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍． 对点练1.(1)设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x|2x>7}，则M∩N＝(　　) A．{7，9} B．{5，7，9} C．{3，5，7，9} D．{1，3，5，7，9} (2)已知集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|x≤0或x>3}，则A∩B＝__________． 答案：(1)B　(2)(－1，0] 解析：(1)因为N＝{x|2x>7}＝{x|x>}，M＝{1，3，5，7，9}，所以M∩N＝{5，7，9}．故选B. (2)集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|x≤0或x>3}，则A∩B＝(－1，0]． 题型二　并集的运算 例2　(1)已知集合A＝{x∈R|x2≥9}，集合B＝{x∈R|2≤x<6}，则A∪B＝(　　) A．{x∈R|x≤－3或x≥3} B．{x∈R|x≤－3或x>6} C．{x∈R|－3≤x<6} D．{x∈R|x≤－3或x≥2} (2)设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝(　　) A．{2} B．{2，3} C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4} 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)由题意知A＝{x∈R|x≥3或x≤－3}，B＝{x∈R|2≤x<6}．利用数轴将集合A，B表示出来，如右图所示，可知A∪B＝{x∈R|x≤－3或x≥2}．故选D. (2)由条件可得A∩C＝{1，2}，故(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}．故选D. 1．在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次． 2．此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合．若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用维恩图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意端点值的取舍． 对点练2.(1)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝(　　) A．(－1，3) B．(－1，0) C．(0，2) D．(2，3) (2)已知集合A＝{1，3，4，6}，B＝{x|x＝2k，k∈A}，则集合A∪B中元素的个数为________． 答案：(1)A　(2)7 解析：(1)因为A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，所以A∪B＝{x|－1<x<3}．故选A. (2)因为A＝{1，3，4，6}，B＝{x|x＝2k，k∈A}，所以B＝{2，6，8，12}，所以集合A∪B中元素的个数为7. 题型三　交集、并集性质的运用 例3　已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋8＝2}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，若∅(A∩B)，且A∩C＝∅，求a的值． 点拨： 审结论(明解题方向) 审条件(挖解题信息) 求a的值，需建立关于a的方程 (1)集合A，B，C是由相应方程的解构成的，先要解方程求B，C； (2)由∅(A∩B)，知A∩B≠∅，结合A∩C＝∅，可确定集合A中的元素，建立关于a的方程. 建关系——找解题突破口 ∅(A∩B)、A∩C＝∅→确定集合A中的元素→建立关于a的方程→检验集合中元素的互异性. 解：A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}， B＝{2，3}，C＝{－4，2}． 因为∅(A∩B)，且A∩C＝∅， 所以3∈A，故9－3a＋a2－19＝0. 即a2－3a－10＝0. 所以a＝－2或a＝5. 当a＝－2时，A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意． 当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}， 不符合A∩C＝∅. 综上知，a＝－2. 1．连续数集求交、并集时，要借助数轴，采用数形结合法． 2．利用A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A可实现交、并运算与集合间关系的转化． [注意]　(1)借助数轴求交、并集时注意端点的实虚． (2)关注维恩图在解决复杂集合关系中的作用． 对点练3.已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}． (1)当a＝10时，求A∩B，A∪B； (2)求能使A∪B＝B成立的实数a的取值范围． 解：(1)当a＝10时，集合A＝{x|21≤x≤25}，B＝{x|3≤x≤22}， 所以A∩B＝{x|21≤x≤22}，A∪B＝{x|3≤x≤25}． (2)因为非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，A∪B＝B，所以A⊆B， 因为A≠∅，所以解得6≤a≤9. 所以实数a的取值范围为[6，9]． 学生用书↓第14页 1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝(　　) A．{－1，0，1} B．{0，1} C．{－1，1} D．{0，1，2} 答案：A 解析：集合B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1，0，1}． 2．已知集合A＝{x|0<x<3}，B＝{x|x≥2}，则A∪B＝(　　) A．{x|x>0} B．{x|2≤x<3} C．{x|x≥2} D．{x|x<3} 答案：A 解析：由A＝{x|0<x<3}，B＝{x|x≥2}得A∪B＝{x|0<x<3}∪{x|x≥2}＝{x|x>0}．故选A. 3．若集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________． 答案：{a|a≥－1} 解析：A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，由A∩B≠∅，得a≥－1. 4．若集合A＝{x|－3≤x<1}，B＝{x|x≤a}，且A∪B＝{x|x<1}，则实数a的取值范围为________． 答案：{a|－3≤a<1} 解析：因为A＝{x|－3≤x<1}，B＝{x|x≤a}，A∪B＝{x|x<1}，所以－3≤a<1. 课时测评3　交集与并集 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．设集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，3，5，8}，则A∩B＝(　　) A．{1，3，5，7} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{1，2，3，5，7，8} 答案：C 解析：因为集合A，B的公共元素为：2，3，5，故A∩B＝{2，3，5}．故选C. 2．已知A＝{2，4，5}，B＝{3，5，7}，则A∪B＝(　　) A．{5} B．{2，4，5} C．{3，5，7} D．{2，3，4，5，7} 答案：D 解析：因为集合A＝{2，4，5}，B＝{3，5，7}，所以A∪B＝{2，3，4，5，7}．故选D. 3．设集合M＝{x|0<x<4}，N＝，则M∩N＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：集合M＝{x|0<x<4}，N＝，则M∩N＝.故选B. 4．设集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则(A∩B)∪C＝(　　) A．{0} B．{0，1，3，5} C．{0，1，2，4} D．{0，2，3，4} 答案：C 解析：因为集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，所以A∩B＝{1}，则(A∩B)∪C＝{0，1，2，4}．故选C. 5．已知M∪{a，b}＝{a，b，c}，则满足条件的集合M的个数是(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 答案：C 解析：因为M∪{a，b}＝{a，b，c}，所以M可以为{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，共有4个．故选C. 6．已知A＝{x|2x≥1}，B＝{－1，0，1}，则A∩B＝__________． 答案：{1} 解析：因为A＝{x|2x≥1}＝，B＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{1}． 7．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝__________． 答案：2 解析：因为集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2＝3，或a＋2＝a2，解得a＝1，或a＝2，或a＝－1，当a＝－1时，B＝{1，1}，不成立；当a＝1时，A＝{1，3，1}，不成立；当a＝2时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，成立．故实数a＝2. 8．若集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|x≥k}，若A∩B≠∅，则实数k的取值范围是__________． 答案：(－∞，2] 解析：集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|x≥k}， 因为A∩B≠∅，可知k≤2. 9．(10分)已知集合A＝{x|－2<x<3)，B＝{x|k－1<x<3－k}．当k＝－1时，求A∪B. 解：当k＝－1时，B＝{x|－2<x<4}， 则A∪B＝{x|－2<x<4}． 10．(10分)已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－6或x>1}． (1)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围；(4分) (2)若A∪B＝B，求实数a的取值范围．(6分) 解：(1)因为A∩B＝∅，所以 解得－6≤a≤－2， 所以实数a的取值范围为{a|－6≤a≤－2}． (2)因为A∪B＝B， 所以A⊆B，所以a＋3<－6或a>1，解得a<－9或a>1， 所以实数a的取值范围为{a|a<－9或a>1}． 11．(5分)已知集合A＝{x|a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3<x<22}，且A∩B＝A，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，9] B．(－∞，9) C．[2，9] D．(2，9) 答案：B 解析：因为A∩B＝A，所以A⊆B，且A＝{x|a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3<x<22}，所以①A＝∅时，a＋1>3a－5，解得a<3；②A≠∅时，解得3≤a<9，所以综上得，实数a的取值范围为(－∞，9)．故选B. 12．(5分)已知集合M＝{x|x2－x－6＝0}，N＝{x|x<a}，若M∩N≠∅，则实数a的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞) B．[－2，＋∞) C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 答案：A 解析：由题意得M＝{－2，3}，当a≤－2时，M∩N＝∅，要使M∩N≠∅，则a>－2.故选A. 13．(10分)已知集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|m<x<m＋9}． (1)若A∪B＝B，求实数m的取值范围；(4分) (2)若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．(6分) 解：(1)因为A∪B＝B，所以A⊆B， 所以 解得－6≤m≤－2， 所以实数m的取值范围是{m|－6≤m≤－2}． (2)当A∩B＝∅时，3≤m或m＋9≤－2， 解得m≥3或m≤－11， 所以A∩B≠∅时，－11<m<3， 所以实数m的取值范围是{m|－11<m<3}． 14．(5分)已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x<0或x>19}．若A⊆(A∩B)，则实数a的取值范围为__________． 答案：{a|a<6或a>9}(a<6或a>9，(－∞，6)∪(9，＋∞)均可) 解析：已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x<0或x>19}．若A⊆(A∩B)，则A⊆B，当2a＋1>3a－5，即a<6时，A＝∅满足条件；当2a＋1≤3a－5，即a≥6时，若A⊆B，则2a＋1>19或3a－5<0，得a>9或a<(舍)；综上，实数a的取值范围为{a|a<6或a>9}． 15．(15分)已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}． (1)若A∩B＝A∪B，求实数a的值；(5分) (2)若∅A∩B，A∩C＝∅，求实数a的值．(10分) 解：由已知，得B＝{2，3}，C＝{2，－4}． (1)因为A∩B＝A∪B，所以A＝B. 于是2，3是一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，由根与系数的关系知解得a＝5. (2)由A∩B∅⇒A∩B≠∅，又A∩C＝∅，得3∈A，2∉A，－4∉A. 由3∈A，得32－3a＋a2－19＝0，解得a＝5或a＝－2. 当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，与2∉A矛盾； 当a＝－2时，A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意． 所以a＝－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$