精品解析：福建省莆田锦江中学2024-2025学年高一上学期期中质检数学试题

莆田锦江中学2024-2025学年上学期期中质检卷 高一数学 命题人：何琴 审核人：蔡文龙 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上是单调递增的函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知f(x-1)=，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义域为的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，使得对，恒成立 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，则______. 13. 已知关于的二次不等式的解集为，则不等式的解集为______.（用集合表示） 14. 偶函数的定义域为，且对于任意 ，均有 成立，若 ，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，． （1）当时，求与； （2）当时，求实数的取值范围． 16. 已知关于x的不等式的解集为. （1）求的值； （2）若关于x的不等式的解集为R，求k的取值范围. 17. 已知二次函数，满足，且的最小值是． （1）求函数的解析式； （2）设函数，函数，求函数在区间上的最值. 18. 已知函数． （1）请用定义证明函数在上单调递减； （2）若任意，使得恒成立，求实数a的取值范围． 19. 已知函数是定义域在上的奇函数，当时，. （1）当时，求函数的解析式； （2）若函数为单调递减函数. ①直接写出的范围（不必证明）； ②若对任意的，恒成立，求实数的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田锦江中学2024-2025学年上学期期中质检卷 高一数学 命题人：何琴 审核人：蔡文龙 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集及交集运算即可. 【详解】由题意得,所以. 故选：B. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由且可求得结果. 【详解】由题意得，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要性定义判断条件间的推出关系，即可得答案. 【详解】由，则必成立，充分性成立；而，不一定成立，必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论． 【详解】命题，，为全称量词命题， 则该命题的否定为：，. 故选：C． 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 6. 若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先对a是否为零讨论，再让在对称轴的右边即可求得结果 【详解】当时，上单调递减，满足题意； 当时，的对称轴为直线，由在上单调递减， 知，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：D. 7. 已知，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式凑和为定值直接求解. 【详解】已知， 则 . 当且仅当，即等号成立. 故的最大值是. 故选：A 8. 已知函数在上是单调递增的函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要使分段函数在上是单调递增函数，则需在每一段上都是增函数，同时还要保证在上的最大值小于等于在上的最小值. 【详解】由题意得，在和上均为增函数. ∵当时，， ∴，解得. 当时，， 由得，为二次函数，图象开头向上，对称轴为直线，满足在上为增函数. 又∵， ∴， 综上得，的取值范围为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】采用作差法可知AB正确；通过反例可说明CD错误. 【详解】对于A，， ，，， ，即，A正确； 对于B，， ，，， ，即，B正确； 对于C，当，，，时，，C错误； 对于D，当，，，时，，D错误. 故选：AB. 10. 已知f(x-1)=，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用换元法求出函数的解析式逐一判断即可. 【详解】由f(x-1)=，令，即， 所以， 即， 所以，故A正确； ，B正确、C错误； ，故D正确； 故选：ABD 11. 已知定义域为的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，使得对，恒成立 【答案】CD 【解析】 【分析】由已知可判断函数的奇偶性与单调性，进而判断各选项. 【详解】由已知，，且，当时，都有， 则函数为上的偶函数，且当时函数单调递增， 则当时函数单调递减， 所以，A选项错误； 且若，则，解得，B选项错误； 又，所以，又函数的图象是连续不断的， 所以当时，，当时，，当时，， 所以的解集为，C选项正确； 由函数图象连续不断及函数的单调性可知，当时，取最小值， 所以当时，，恒成立，D选项正确； 故选：CD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，则______. 【答案】20 【解析】 【分析】根据自变量范围选择对应解析式依次求解即可. 【详解】解：∵函数， ， . 故答案为：20. 13. 已知关于的二次不等式的解集为，则不等式的解集为______.（用集合表示） 【答案】或 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集和韦达定理可解得的值，从而代入所求不等式，解之即可. 【详解】由题意可知方程的两根分别为， 由韦达定理得，所以， 所以不等式即为，， 解得或. 所以解集为：或. 故答案为：或. 14. 偶函数的定义域为，且对于任意 ，均有 成立，若 ，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据单调性和奇偶性的概念求出在上的单调性，再将函数不等式转化为自变量不等式求解即可. 【详解】因为对于任意 ，均有 成立， 所以在上单调递减， 又是偶函数，所以在单调递增， 所以不等式即等价于， 即，整理得， 解得或，即实数的取值范围为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，． （1）当时，求与； （2）当时，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）求出集合，当时，写出集合，利用交集和并集的定义可得出集合、； （2）分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时， 又因为， 所以，，. 【小问2详解】 解：因为，分以下两种情况讨论： 当时，，解得； 当时，由可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是或. 16. 已知关于x的不等式的解集为. （1）求的值； （2）若关于x的不等式的解集为R，求k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式和对应一元二次方程的关系列出方程组，解之即得； （2）将（1）求得的的值代入不等式并整理，由题意得到关于的不等式，解之即得. 【小问1详解】 依题意知，方程有两根为2和3， 则由韦达定理可得，，解得，； 【小问2详解】 由可得，， 依题意需使，，解得，，即. 17. 已知二次函数，满足，且的最小值是． （1）求函数的解析式； （2）设函数，函数，求函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）由，得图象的对称轴为直线，所以，由此可得关于a，b，c的方程，解出即可； （2）根据开口方向和对称轴，判断的单调性，再求最值即可. 【小问1详解】 ∵，图象的对称轴为直线， ∴，，， 由此解得，， ∴函数的解析式为. 【小问2详解】 依题意得，对称轴为直线， 所以在单调递减，在单调递增， ∴当时，有最大值68，当时，有最小值． 18. 已知函数． （1）请用定义证明函数在上单调递减； （2）若任意，使得恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）证明：任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （2）根据题意，转化为任意，使得恒成立，由（1），得到函数在为单调递减函数，求得，即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：因为任意，使得恒成立， 即任意，使得恒成立， 由（1）知，函数在为单调递减函数， 当时，可得，所以， 所以实数a的取值范围． 19. 已知函数是定义域在上的奇函数，当时，. （1）当时，求函数的解析式； （2）若函数为单调递减函数. ①直接写出的范围（不必证明）； ②若对任意的，恒成立，求实数的范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义和时，的解析式，即可得出时的解析式，进而得出答案； （2）①由二次函数的对称轴和区间的关系可得的范围； ②对任意的，恒成立，可得，由的单调性和参变分离、换元法、函数的单调性、不等式恒成立问题的解法，求得函数的最值，可得所求范围. 【小问1详解】 ，当时，. 设时，则，. 所以. 【小问2详解】 ①因奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性. 故在单调递减， 又其对称轴为，故当时满足条件，故的范围为. ②因函数是定义域在上的奇函数，由， 可得， 又函数为单调递减函数， 故，即， 又注意到，结合， 知，得：. 令，其中.任取，，且. 故， 因，，，则，， 故，即. 所以在上单调递增，得. 又令，则转化为，其中. 要使式子成立，需小于的最小值. 又注意到函数与函数均在上单调递增， 则函数在上单调递增. 故，得，则t的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $