模块综合检测卷-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

模块综合检测卷 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分， 共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知集合A＝，B＝，则A∪B＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为集合A＝，B＝，所以A∪B＝.故选A. 2．函数f(x)＝lg x＋2x－5的零点所在的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 答案：C 解析：由题知f(x)＝lg x＋2x－5，由于y＝lg x，y＝2x－5均单调递增，所以随着x的增大f(x)也增大，故f(x)在(0，＋∞)单调递增，因为f(1)＝－3<0，f(2)＝lg 2－1<0，f(3)＝lg 3＋1>0，f(4)＝lg 4＋3>0，根据零点存在定理，f(x)零点在区间(2，3)内．故选C. 3．(2024·江苏南京高一期末)已知a＝sin 36°，b＝log21.41，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<b<a 答案：C 解析：a＝sin 36°>sin 30°＝，b＝log21.41<log2＝log22＝＝c，所以b<c<a.故选C. 4．已知<α<π，则 的化简结果是(　　) A．sin α－cos α B．sin α＋cos α C．sin α D．－cos α 答案：A 解析：因为<α<π，所以sin α>0，cos α<0，则sin α－cos α>0，所以＝＝＝＝|sin α－cos α|＝sin α－cos α.故选A. 5．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知lg 2≈0.3 01 0，lg 3≈0.477 1，设N＝410×95，则N所在的区间为(　　) A．(109，1010) B．(1010，1011) C．(1011，1012) D．(1012，1013) 答案：B 解析：因为N＝410×95，所以lg N＝lg 410＋lg 95＝lg 220＋lg 310＝20lg 2＋10lg 3≈6.020＋4.771＝10.791，N＝1010.791∈(1010，1011)．故选B. 6．已知cos α＋cos β＝，sin α－sin β＝，则cos(α＋β)的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：C 解析：(cos α＋cos β)2＝cos2α＋2 cos αcos β＋cos2β＝，(sin α－sin β)2＝sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝，两式相加得2＋2(cos αcos β－sin αsin β)＝2＋2cos(α＋β)＝＋＝，所以cos(α＋β)＝－.故选C. 7．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝m(m∈R)有三个不相等的实数根x1，x2，x3(x1<x2<x3)，则x1x2x3的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，0] C．(0，9) D．(－2，0] 答案：D 解析：根据f(x)的表达式，作图如下：因为x2，x3为f(x)＝m的根，且x2，x3均大于0，则f(x2)＝f(x3)，则－lg x2＝lg x3，x2·x3＝1.因为f(x)＝m有三个根，根据图象可得8≥m>0，则此时－2<x1≤0，则x1x2x3＝x1，所以x1x2x3的范围为(－2，0]．故选D. 8．已知函数f(x)的定义域是R，函数f(x＋1)的图象的对称中心是(－1，0)，若对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0成立，f(1)＝1，则不等式f(x)－x>0的解集为(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1，1) C．(－∞，－1)∪(0，1) D．(－1，0)∪(1，＋∞) 答案：D 解析：因为f(x＋1)是f(x)向左平移1个单位长度得到，且函数f(x＋1)的图象的对称中心是(－1，0)，所以f(x)的图象的对称中心是(0，0)，故f(x)是R上的奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－1，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0成立，所以>0，令g(x)＝，所以根据单调性的定义可得g(x)在(0，＋∞)上单调递增，由f(x)是R上的奇函数可得g(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，当x＝0时，不等式f(x)－x>0得到0－0>0，矛盾；当x>0时，f(x)－x>0转化成>1＝即g(x)>g(1)，所以x>1；当x<0时，f(x)－x>0转化成<1＝，g(x)<g(－1)，所以－1<x<0.综上所述，不等式f(x)－x>0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)，故选D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．下列叙述中不正确的是(　　) A．若a，b，c∈R，则“不等式ax2＋bx＋c≥0恒成立”的充要条件是“b2－4ac≤0” B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c” C．“a<1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D．“a>1”是“<1”的充分不必要条件 答案：AB 解析：当a<0时，若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≤0恒成立，故A不正确；当b＝0时，“a>c”推不出 “ab2>cb2” ，故B不正确；当 “方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”时“a<0”， “a<0”推出“a<1”成立，反之不成立，故C正确；由 －1＝<0得a>1或a<0，所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故D正确．故选AB. 10．已知x，y∈(0，＋∞)，x＋y＝m(m是常数)，则下列结论正确的是(　　) A．若＋的最小值为m＋1，则m＝3 B．若x(y＋1)的最大值为4，则m＝3 C．若＋的最大值为m，则m＝2 D．若m＝4，则的最小值为2 答案：BC 解析：由已知得＝1，所以＋＝·＝·≥＝m＋1，解得m＝2，当y＋1＝2x时取等号，故A错误；x(y＋1)≤＝4，所以m＝3，当x＝y＋1时取等号，故B正确； (＋)2≤2(x＋y)＝2m＝m2，所以m＝2，当x＝y时取等号，故C正确；对于D，＝＝x＋－8≥2－8＝2，当x＝5时取等号，又x＋y＝4，且x，y∈(0，＋∞)，所以等号取不到，故D错误．故选BC. 11．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，下列说法中正确的有(　　) A．若ω＝1，则f(x)在上是单调增函数 B．若f ＝f ，则正整数ω的最小值为2 C．若ω＝2，把函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)为奇函数 D．若f(x)在(0，π)上有且仅有3个零点，则<ω≤ 答案：ABD 解析：依题意，f(x)＝2sin，对于A，ω＝1，f(x)＝2sin，当x∈时，有x＋∈，则y＝sin t在上单调递增，所以f(x)＝2sin在上单调递增，故A正确；对于B，因为f ＝f ，则x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，ω＋＝kπ＋，k∈Z，整理得ω＝6k＋2，而ω>0，k∈N，所以ωmin＝2，故B正确；对于C，ω＝2，f(x)＝2sin，依题意，函数y＝f ＝2sin＝2sin，这个函数不是奇函数，其图象不关于原点对称，故C不正确；对于D，当x∈(0，π)时，ωx＋∈，依题意，3π<ωπ＋≤4π，解得<ω≤，故D正确．故选ABD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上．) 12．计算log3＋log312－0.60＋0.2－1＝________． 答案：5 解析：log3＋log312－0.60＋0.2－1＝log3－1＋5＝5. 13. 《乐府诗集》辑有晋诗一组，属清商曲辞吴声歌曲，标题为《子夜四时歌七十五首》．其中《夏歌二十首》的第五首曰：叠扇放床上，企想远风来．轻袖拂华妆，窈窕登高台．诗里的叠扇，就是折扇．折扇展开后可看作是半径为R的扇形，是圆面的一部分，如图所示．设某扇形的面积为S1，该扇形所在圆面的面积为S2，当S1与S2－S1的比值为时，该扇面为“黄金美观扇面”．若某扇面为“黄金美观扇面”，扇形的半径R＝，则此时扇形面积为________． 答案：(3－)π 解析：R＝，扇形所在圆面的面积为：S2＝πR2＝2π且＝，2S1＝(－1)(S2－S1)； S1＝S2＝×2π＝(3－)π. 14．已知f(x)＝x2－2x－1，g(x)＝logax(a>0且a≠1)，若对任意的x1∈[－1，2]，都存在x2∈[2，4]，使得f(x1)<g(x2)成立，则实数a的取值范围是________． 答案：(1，2) 解析：当x∈[－1，2]时，f(x)＝(x－1)2－2，则f(x)max＝f(－1)＝2，因为对任意的x1∈[－1，2]时，都存在x2∈[2，4]，使得f(x1)<g(x2)成立，因此函数f(x)在[－1，2]上的最大值小于函数g(x)在[2，4]上的最大值，而当0<a<1时，x∈[2，4]，logax<0，不符合题意，于是a>1，函数g(x)＝logax在[2，4]上单调递增，则loga4>2，即1<a2<4，解得1<a<2，所以实数a的取值范围是(1，2)． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．) 15. (本小题满分13分)如图，在平面直角坐标系中，角α和角β的始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边与单位圆交于点A，将射线OA绕坐标原点沿顺时针方向旋转后，所得射线与单位圆交于点B，且射线OB是角β的终边． (1)求的值；(5分) (2)若点A位于第一象限，且纵坐标为，求tan(π－β)的值．(8分) 解：(1)由已知得α＝β＋＋2kπ，k∈Z， ＝ ＝－＝－＝1. (2)若点A位于第一象限，且纵坐标为， 则sin α＝，cos α＝＝， tan(π－β)＝－tan β＝－＝＝. 16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝a·4x－3·2x－1(a∈R)． (1)当a＝时，求函数f(x)在x∈[0，2]的值域；(5分) (2)若关于x的方程f(x)＝(1－a)·2x＋3有解，求a的取值范围．(10分) 解：(1)因为a＝，f(x)＝·4x－3·2x－1＝·(2x)2－3·2x－1， 令t＝2x，因为x∈[0，2]，所以t∈[1，4]，所以y＝t2－3t－1，t∈[1，4]， 而对称轴t＝3，开口向上， 所以当t＝3时，ymin＝－，当t＝1时，ymax＝－， 所以f(x)在x∈[0，2]的值域是. (2)方程f(x)＝(1－a)·2x＋3有解， 即a·4x－3·2x－1＝(1－a)·2x＋3有解， 即a·(4x＋2x)＝4·2x＋4有解， 所以a＝＝＝有解，所以a∈(0，＋∞)． 17．(本小题满分15分)公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.设直角梯形的高为x cm. (1)当x＝20时，求海报纸的面积；(5分) (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)？(10分) 解：(1)因为宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，直角梯形的高为20 cm， 则梯形长的底边EF＝1 440÷20÷2＝36 cm，因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm， 所以AD＝20＋2×2＝24 cm，DC＝36×2＋2×4＝80 cm， 故海报面积为AD×DC＝1 920 cm2. (2)因为直角梯形的高为x cm，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2， 所以EF＝＝， 因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm， 所以海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝＋8， 故SABCD＝AD·DC＝(x＋4)＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472， 当且仅当8x＝，即x＝12时等号成立， 故当海报纸宽为(12＋4)cm，长为(24＋8)cm时可使用纸量最少． 18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝log3x. (1)设函数g(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，g(x)＝f(x)，求函数g(x)的解析式；(7分) (2)已知集合A＝{x|3(log3x)2－20log9x＋3≤0}． ①求集合A； ②当x∈A时，函数h(x)＝f·f的最小值为－2，求实数a的值．(10分) 解：(1)由题意得，当x>0时，g(x)＝log3x. 因为g(x)为R上的奇函数，所以g(0)＝0，g(x)＝－g(－x)． 当x<0时，－x>0，所以g(x)＝－g(－x)＝－log3(－x)． 综上，g(x)＝ (2)①不等式3(log3x)2－20log9x＋3≤0可化为3(log3x)2－10log3x＋3≤0， 即(3log3x－1)(log3x－3)≤0，所以≤log3x≤3，解得≤x≤27， 所以集合A＝[，27]． ②h(x)＝f·f＝log3·log3 ＝(log3x－a)(log3x－2) ＝(log3x)2－(a＋2)log3x＋2a. 设t＝log3x，则t∈，s(t)＝t2－(a＋2)t＋2a＝－. 当≤，即a≤－时，函数s(t)在上单调递增，所以s(t)min＝s＝a－＝－2， 解得a＝－(舍去)； 当≥3，即a≥4时，函数s(t)在上单调递减， 所以s(t)min＝s(3)＝3－a＝－2，解得a＝5； 当<<3，即－<a<4时，函数s(t)在t＝处取得最小值， 所以s(t)min＝s＝－＝－2， 解得a＝2－2或a＝2＋2(舍去)． 综上，实数a的值为2－2或5. 19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝sin＋2sin2－1(ω>0)的相邻两对称轴间的距离为. (1)求f(x)的解析式；(5分) (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，当x∈时，求函数g(x)的值域；(5分) (3)对于第(2)问中的函数g(x)，记方程g(x)＝在x∈上的根从小到大依次为x1，x2，…xn，试确定n的值，并求x1＋2x2＋2x3＋…＋2xn－1＋xn的值．(7分) 解：(1)由题意，函数f(x)＝sin＋2sin2－1＝sin－cos＝2sin＝2sin ωx， 因为函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为，所以T＝π，可得ω＝2. 故f(x)＝2sin 2x. (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，可得y＝2sin的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数y＝g(x)＝2sin的图象，当x∈时，4x－∈， 当4x－＝－，即x＝－时，函数g(x)取得最小值，最小值为－2， 当4x－＝，即x＝时，函数g(x)取得最大值，最大值为，故函数g(x)的值域为[－2，]． (3)由方程g(x)＝，即2sin＝， 即sin＝， 因为x∈，可得4x－∈，设θ＝4x－，其中θ∈，即sin θ＝， 结合正弦函数y＝sin θ的图象，如图， 可得方程sin θ＝在区间有5个解，即n＝5， 其中θ1＋θ2＝3π，θ2＋θ3＝5π，θ3＋θ4＝7π，θ4＋θ5＝9π， 即4x1－＋4x2－＝3π，4x2－＋4x3－＝5π，4x3－＋4x4－＝7π，4x4－＋4x5－＝9π， 解得x1＋x2＝，x2＋x3＝，x3＋x4＝，x4＋x5＝， 所以x1＋2x2＋2x3＋2x4＋x5＝(x1＋x2)＋(x2＋x3)＋(x3＋x4)＋(x4＋x5)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$