5.5.1 第3课时 两角和与差的正切公式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

第3课时　两角和与差的正切公式 [学习目标]　1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，培养逻辑推理核心素养．　2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值．　3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用，培养数学运算核心素养． 问题1.你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？ 提示：tan(α＋β)＝＝(α＋β≠＋kπ，k∈Z)．tan(α－β)＝＝(α－β≠＋kπ，k∈Z)． 问题2.如何由两角和的正切公式得到两角差的正切公式？ 提示：以－β代替tan(α＋β)中的β. 1．两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 适用条件 两角和的正切公式 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠1 两角差的正切公式 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1 2.两角和与差的正切公式的变形与特例 (1)变形公式： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)； tan αtan β＝1－. (2)公式的特例：tan＝；tan＝. [微提醒]　公式的结构特征及符号特征 (1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和． (2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 学生用书↓第166页 (1)tan 255°等于(　　) A．－2－ B．－2＋ C．2－ D．2＋ (2)化简等于(　　) A． B． C．3 D．1 (3)求值：tan 23°＋tan 37°＋tan 23° tan 37°＝________． 答案：(1)D　(2)B　(3) 解析：(1)tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75° ＝tan(45°＋30°)＝ ＝＝2＋.故选D. (2)＝＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.故选B. (3)因为tan 23°＋tan 37°＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)，所以原式＝－tan 23°tan 37°＋tan 23°tan 37°＝. 正切公式的应用技巧 1．先从所要化简式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用公式，并注意整体代换． 2.化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用，如“1＝tan”“＝tan”，这样可以构造出利用公式的条件，从而进行化简求值． 3．整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式． 对点练1.求值：(1)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝________． (2)＝________． 答案：(1)2　(2)－1 解析：(1)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋(tan 18°＋tan 27°)＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°＝2. (2)原式＝＝＝＝－1. 应用一　给值求值(角) (1)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　) A．－ B． C． D．－ (2)在△ABC中，tan A＝，tan B＝－2，则C＝________． 答案：(1)A　(2) 解析：(1)因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－，即tan α＝－.因为tan(π－β)＝－tan β，故tan β＝－.所以tan(α－β)＝＝＝－.故选A. (2)tan(A＋B)＝＝＝－1，因为A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，所以C＝π－(A＋B)＝. [变式探究]　(变问法)若本例(1)条件不变，求tan(α＋β)的值． 解：因为α∈，sin α＝， 所以cos α＝－，tan α＝－， 又tan β＝－， 所以tan(α＋β)＝ ＝＝－2. 1．关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，建立与待求式间的联系，进而求值． 2．关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小． 对点练2.已知tan(α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 解：因为tan(α－β)＝，tan β＝－， 所以tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝＝＝<1. 因为α∈(0，π)，所以0<α<，0<2α<. 又tan β＝－<0，β∈(0，π)， 所以<β<π，所以－π<2α－β<0. 又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝＝＝1， 所以2α－β＝－. 学生用书↓第167页 应用二　两角和与差的正切公式的综合应用 已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若tan A，tan B是方程3x2－6x＋2＝0的两个根，试判断△ABC的形状． 解：依题意得 所以tan A>0，tan B>0， 又A，B，C∈(0，π)， 所以A∈，B∈， 又tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－＝－＝－6<0， 所以C∈， 所以△ABC为钝角三角形． 1．当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β ”的形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似． 2．在应用公式求值时，要注意隐含的条件，能缩小角的范围． 对点练3.已知tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0<α<，π<β<，求tan(α＋β)及α＋β的值． 解：因为tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根， 所以tan α＋tan β＝，tan αtan β＝， tan(α＋β)＝＝＝1. 又因为0<α<，π<β<， 所以π<α＋β<2π，所以α＋β＝. 知识 (1)两角和与差的正切公式的推导． (2)公式的正用、逆用、变形用 方法 转化法 易错误区 公式中加减符号易记错 1．已知tan α＝－，则tan等于(　　) A．－ B．－5 C． D．5 答案：D 解析：tan＝＝＝5.故选D. 2．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－1. 又因为α为锐角，所以0<2α<π，所以2α＝，所以α＝.故选C. 3.＝________． 答案：－ 解析：＝ ＝＝tan(15°－45°) ＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－. 4．化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于________． 答案：1 解析：原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)＝tan 10°tan 20°＋tan (20°＋10°)·(1－tan 20°tan 10°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°·tan 10°＝1. 课时测评52　两角和与差的正切公式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．已知α，β都是锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β的值为(　　) A. B． C． D． 答案：C 解析：tan(α＋β)＝＝＝1，又α，β都是锐角，知0<α＋β<π，故α＋β＝.故选C. 2．化简的值等于(　　) A．tan 42° B．tan 3° C．1 D．tan 24° 答案：A 解析：因为tan 60°＝，所以原式＝＝tan(60°－18°)＝tan 42°.故选A. 3．若α＋β＝，则(1－tan α)·(1－tan β)等于(　　) A. B．2 C．1＋ D．不确定 答案：B 解析：因为α＋β＝，所以tan(α＋β)＝＝－1，所以tan α＋tan β＝tan α·tan β－1，所以(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan α·tan β＝1－(tan α·tan β－1)＋tan α·tan β＝2.故选B. 4．若tan 28°·tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°等于(　　) A．m B．(1－m) C．(m－1) D．(m＋1) 答案：B 解析：因为28°＋32°＝60°，所以tan 60°＝tan(28°＋32°)＝＝，所以tan 28°＋tan 32°＝(1－m)．故选B. 5．(多选)已知cos α＝－，则tan的可能取值为(　　) A．－ B．－7 C． D．7 答案：CD 解析：因为cos α＝－，所以sin α＝±＝±，所以tan α＝±.当tan α＝时，tan＝＝；当tan α＝－时，tan＝＝7.故选CD. 6．(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式中正确的是(　　) A．A＋B＝2C B．tan(A＋B)＝－ C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A 答案：CD 解析：因为C＝120°，所以A＋B＝60°，所以2(A＋B)＝C，所以tan(A＋B)＝，所以选项A、B错误；因为tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝，所以tan A·tan B＝①，又tan A＋tan B＝②，所以联立①②解得tan A＝tan B＝，所以cos B＝sin A，故选项C、D正确．故选CD. 7．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为________． 答案：－3 解析：由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， 所以tan(α＋β)＝＝＝－3. 8．已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝________． 答案：2 解析：因为2tan θ－tan＝7，所以2tan θ－＝7，即2tan θ－2tan2θ－tan θ－1＝7－7tan θ，即2tan2θ－8tan θ＋8＝0，即2(tan θ－2)2＝0，解得tan θ＝2. 9．tan＋tan＋tantan＝________． 答案： 解析：tan＋tan＋tantan＝tan＋tantan＝＋tantan＝. 10．(10分)已知tan＝2，tan β＝. (1)求tan α的值；(4分) (2)求的值．(6分) 解：(1)因为tan＝2， 所以＝2， 所以＝2，解得tan α＝. (2)因为tan α＝，tan β＝， 所以原式＝ ＝＝ ＝tan(β－α)＝＝＝. (11—13每小题5分，共15分) 11．在平面直角坐标系xOy中，角α(0<α<π)的顶点为O，始边为x轴的非负半轴．若点P是角α终边上一点，则α＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：tan α＝＝＝tan＝tan.因为0<α<π，所以α＝.故选C. 12．(多选)已知tan α＝lg(10a)，tan β＝lg，且α＋β＝，则实数a的值可以为(　　) A．1 B．10 C． D． 答案：AC 解析：因为α＋β＝，所以tan(α＋β)＝＝1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即lg(10a)＋lg＝1－lg(10a)lg，1＝1－lg(10a)lg，所以lg(10a)lg＝0，所以lg(10a)＝0或lg＝0，解得a＝或a＝1.故选AC. 13．已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，则α＋β＋γ＝________． 答案： 解析：因为tan(α＋β)＝＝＝，tan(α＋β＋γ)＝＝＝1，因为α，β，γ∈，所以α＋β∈(0，π)，又tan(α＋β)＝>0，所以α＋β∈，所以α＋β＋γ∈(0，π)，所以α＋β＋γ＝. 14．(10分)已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝. (1)求tan(α＋β)的值；(4分) (2)求tan β的值．(6分) 解：(1)因为tan(π＋α)＝－，所以tan α＝－， 因为tan(α＋β)＝＝， 所以tan(α＋β)＝＝. (2)因为tan β＝tan[(α＋β)－α]＝， 所以tan β＝＝. 15．(5分)已知sin＝，cos＝－，且α－和－β分别为第二、三象限角，则tan＝________． 答案：－ 解析：因为sin＝，且α－为第二象限角，所以cos＝－＝－.又cos＝－，且－β为第三象限角，所以sin＝－＝－.所以tan＝－，tan＝，所以tan＝tan＝＝＝－. 16．(15分)(新设问)在①角α的终边经过点P(1，2)；②α∈，sin α＝；③α∈，sin α＋2cos α＝.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答． 问题：已知________，且tan(α＋β)＝4，求tan β的值． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解：选择条件①.因为角α的终边经过点P(1，2), 所以tan α＝2，则tan(α＋β)＝＝＝4，解得tan β＝. 选择条件②.因为α∈，sin α＝， 所以cos α＝＝， 所以tan α＝＝，故tan(α＋β)＝＝＝4，解得tan β＝. 选择条件③.因为α∈，sin α＋2cos α＝，又sin2α＋cos2α＝1，则可得sin α＝，cos α＝， 所以tan α＝＝3， 则tan(α＋β)＝＝＝4， 解得tan β＝. 学生用书↓第168页 学科网（北京）股份有限公司 $$