5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦和余弦公式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

第2课时　两角和与差的正弦和余弦公式 [学习目标]　1.能用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦和余弦公式，培养逻辑推理的核心素养． 2．会运用两角和与差的公式进行化简、求值与证明，培养数学运算的核心素养． 问题1.若用－β代替两角差的余弦公式中的β，结果是什么？ 提示：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 问题2.如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？ 提示：sin(α＋β)＝cos＝cos＝coscos β＋sinsin β＝sin αcos β＋cos αsin β. 两角和与差的正弦、余弦公式 名称 简记符号 公式 适用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝ cos__αcos__β＋sin__αsin__β α，β∈R 两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos__αcos__β－sin__αsin__β α，β∈R 两角和的正弦公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin__αcos__βcos__αsin__β α，β∈R 两角差的正弦公式 S(α－β) sin(α－β)＝ sin__αcos__βcos__αsin__β α，β∈R [微提醒]　两角和与差的正弦、余弦公式的记忆方法 (1)理顺公式间的联系： C(α＋β)C(α－β)S(α＋β)S(α－β) (2)注意公式的结构特征和符号规律． 对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”． (链教材P219例4)求值：(1)sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°； (2)sin 15°＋sin 75°. 解：(1)sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40° ＝sin(20°＋40°)＝sin 60°＝. (2)sin 15°＋sin 75° ＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋sin 45°cos 30°＋cos 45°·sin 30° ＝2sin 45°cos 30°＝. 学生用书↓第164页 解决给角求值问题的策略 1．对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部变形． 2．一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分．解题时要注意逆用或变形用公式． 对点练1.(1)cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为(　　) A．－ B．－ C． D． (2)cos 105°＋sin 195°＝________． 答案：(1)D　(2) 解析：(1)因为cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin 70°，所以原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)·cos 50°＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝.故选D. (2)cos 105°＋sin 195°＝cos(90°＋15°)＋sin(180°＋15°)＝－sin 15°－sin 15°＝－2sin 15°＝－2sin(45°－30°)＝－2sin 45°cos 30°＋2sin 30°cos 45°＝. 应用一　给值求值问题 (链教材P218例3)已知α，β均为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝. (1)求cos的值； (2)求sin β的值． 解：(1)因为α为锐角，sin α＝， 所以cos α＝＝，所以cos＝cos αcos－sin αsin＝×－×＝. (2)因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)， 由cos(α＋β)＝， 得sin(α＋β)＝＝， 所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝. 解决给值求值问题的策略 1．当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 对点练2.(1)已知α∈，sin＝，则sin α＝(　　) A． B． C． D． (2)在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为，，则α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标为____________． 答案：(1)A　(2)1 解析：(1)因为α∈，α＋∈，所以cos＝＝，所以sin α＝sin＝sincos－cossin＝.故选A. (2)以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，因为P，Q的纵坐标分别为，，所以sin α＝，sin β＝，可得cos α＝，cos β＝，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝1， 所以α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标为1. 应用二　给值求角问题 若cos 2α＝－，sin(α－β)＝，且α∈，β∈，则α＋β＝________． 答案：－ 解析：因为α∈，所以2α∈， 所以sin 2α＝＝； 又β∈，所以α－β∈， 所以cos(α－β)＝－＝－， 因为α＋β∈， 所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝－×＋×＝， 所以α＋β＝－. 解决给值求角问题的方法 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值． 对点练3.已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，则α－β的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：B 解析：因为α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，所以cos α＝＝，sin β＝＝，又因为α，β均为锐角，所以－<α－β<，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－， 所以α－β＝－.故选B. 知识 (1)公式的推导．(2)给角求值、给值求值、给值求角．(3)公式的正用、逆用、变形用 方法 构造法 易错误区 求值或求角时忽视角的范围 学生用书↓第165页 1．若0<α<，0<β<，cos α＝，cos β＝，则sin(α＋β)＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由0<α<，0<β<，cos α＝，cos β＝， 得sin α＝＝，sinβ＝＝， 所以sin＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝.故选C. 2．(多选)下列计算中正确的是(　　) A．sin 15°－cos 15°＝－ B．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝ C．sin －cos ＝ D．sin 105°＝ 答案：AB 解析：对于A，sin 15°－cos 15°＝sin 15°cos 60°－sin 60°cos 15°＝sin(15°－60°)＝sin(－45°)＝－，故A正确；对于B，sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故B正确；对于C，sin－cos＝2＝2sin＝2sin＝－，故C错误；对于D，sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝×＋×＝，故D错误．故选AB. 3．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos αcos β的值为________． 答案：0 解析：因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin α sin β＝－，②由①＋②得2cos αcos β＝＋＝0，所以cos αcos β＝0. 4．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝________． 答案：－ 解析：因为sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝，所以sin β＝－，又β是第三象限角，所以cos β＝－＝－，所以sin＝sin βcos ＋cos βsin ＝×＋×＝－. 课时测评51　两角和与差的正弦和余弦公式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．求值：sin 10°cos 50°＋cos 40°cos 10°＝(　　) A． B． C． D．－ 答案：C 解析：sin 10°cos 50°＋cos 40°cos 10°＝sin 10°cos 50°＋cos(90°－50°)cos 10°＝cos 50°sin 10°＋sin 50°cos 10°＝sin(50°＋10°)＝sin 60°＝.故选C. 2．在△ABC中，sin A·sin B<cos A·cos B，则这个三角形为(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 答案：B 解析：因为在△ABC中，sin A·sin B<cos A·cos B，所以cos(A＋B)>0，所以cos C<0，则C为钝角，故△ABC是钝角三角形．故选B. 3．sin θ＋sin＋sin的值为(　　) A．0 B． C．1 D．2 答案：A 解析：原式＝sin θ＋sin θcos ＋cos θsin ＋sin θcos ＋cos θsin ＝sin θ－sin θ＋cos θ－sin θ－cos θ＝0.故选A. 4．若锐角α满足sin＝，则cos＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为α∈，所以α＋∈，又因为sin＝∈，所以α＋∈，cos＝－＝－，所以cos＝cos＝＝×＝.故选D. 5．(多选)cos α－sin α化简的结果可以是(　　) A．cos B．2cos C．sin D．2sin 答案：BD 解析：cos α－sin α＝2＝2＝2cos＝2sin.故选BD. 6．已知sin＋cos θ＝－，则cos＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：A 解析：sin＋cos θ＝－可化为sin θ＋cos θ＝－，整理得sin θ＋cos θ＝－，即cos cos θ＋sin sin θ＝－，所以cos＝－，所以cos＝－cos＝.故选A. 7．已知cos αcos β－sin αsin β＝1，那么sin αcos β＋cos αsin β＝________． 答案：0 解析：由题设，得cos(α＋β)＝1，所以sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝0. 8．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________． 答案：－ 解析：因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，所以sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1①，cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，所以sin(α＋β)＝－. 9．(新定义)形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，则行列式的值是________． 答案：－1 解析：＝sin 15°－cos 15°＝2＝2sin(15°－45°)＝2sin(－30°)＝－1. 10．(10分)已知<α<，0<β<，cos＝，sin＝，求sin(α＋β)的值． 解：因为<α<，0<β<， 所以－<－α<0，<＋β<π. 所以sin＝－，cos＝－. 所以sin(α＋β)＝－cos＝－cos ＝－coscos－sinsin＝×－×＝. (11—13每小题5分，共15分) 11．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C等于(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：A 解析：因为cos B＝，且0<B<π，所以sin B＝，又A＝，C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin(A＋B)＝sincos B＋cossin B＝×＋×＝.故选A. 12．设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　) A．2α－β＝0 B．2α＋β＝ C．2α＋β＝0 D．2α－β＝ 答案：D 解析：因为＝⇒sin α·cos β＝cos α＋cos α·sin β，所以sin(α－β)＝cos α＝sin，因为－＜α－β＜，0＜－α＜，所以α－β＝－α，所以2α－β＝.故选D. 13.＝________． 答案： 解析： ＝ ＝＝＝sin 30°＝. 14．(10分)已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.求： (1)cos(2α－β)的值；(4分) (2)β的值．(6分) 解：(1)因为α，β∈，所以α－β∈.又因为sin(α－β)＝>0，所以0<α－β<. 所以sin α＝＝，cos(α－β)＝＝. cos(2α－β)＝cos [α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝×－×＝. (2)cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝， 又因为β∈，所以β＝. 15．(5分)若方程12x2＋πx－12π＝0的两个根分别是α，β，则cos αcos β－sin αcos β－cos αsin β－sin αsin β＝________． 答案： 解析：由题意知α＋β＝－，所以cos αcos β－sin αcos β－cos αsin β－sin αsin β＝cos(α＋β)－sin(α＋β)＝2＝2sin＝2sin＝2sin＝. 16．(15分)已知α，β∈，cos α＝，cos(α＋β)＝. (1)求sin β的值；(5分) (2)求2α＋β的值．(10分) 解：(1)因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π)， 又cos α＝，cos (α＋β)＝， 则sin α＝＝， sin(α＋β)＝＝， 所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝. (2)cos(2α＋β)＝cos[(α＋β)＋α]＝cos(α＋β)cos α－sin α sin(α＋β)＝×－×＝0， 由α，β∈，得2α＋β∈， 所以2α＋β＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$