5.3 第1课时 诱导公式二、三、四-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

5.3　诱导公式 第1课时　诱导公式二、三、四 [学习目标]　1.理解诱导公式二～四的推导过程，识记诱导公式，理解和掌握公式的内涵和结构特征．　2.会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简，培养数学运算核心素养． 问题1.如图，设角α，π＋α，－α，π－α的终边与单位圆O的交点分别为P，P1，P2，P3，则P与P1，P与P2，P与P3的坐标有怎样的关系？ 提示：P与P1的纵坐标、横坐标都互为相反数，P与P2的横坐标相同，纵坐标互为相反数，P与P3的横坐标互为相反数，纵坐标相同． 问题2.跟据问题1，你能得出α，π＋α，－α，π－α的三角函数之间的关系吗？ 提示：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α；sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α；sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α. 诱导公式二、三、四 终边关系 图示 公式 公式二 角π＋α与角α的终边关于原点对称 sin(π＋α)＝－sin__α， cos(π＋α)＝－cos__α， tan(π＋α)＝tan__α　 公式三 角－α与角α的终边关于x轴对称 sin(－α)＝－sin__α， cos(－α)＝cos__α， tan(－α)＝－tan__α 公式四 角π－α与角α的终边关于y轴对称 sin(π－α)＝sin__α， cos(π－α)＝－cos__α， tan(π－α)＝－tan__α [微提醒]　诱导公式的记忆方法与口诀：(1)记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．(2)记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”．“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数值在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值． (链教材P189例1)利用公式求下列三角函数值： (1)cos ；(2)tan(－855°)；(3)tan ＋sin . 解：(1)cos＝cos＝cos ＝cos＝－cos＝－. (2)tan(－855°)＝－tan 855° ＝－tan(2×360°＋135°) ＝－tan 135°＝－tan(180°－45°) ＝tan 45°＝1. (3)原式＝tan＋sin ＝－tan －sin ＝－1－＝－. 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 对点练1.计算： (1)sin； (2)sin(－60°)＋cos 225°＋tan 135°； (3)sin ·cos·tan . 解：(1)原式＝－sin ＝－sin ＝－sin ＝－. (2)原式＝－sin 60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°－45°)＝－－cos 45°－tan 45°＝－－－1＝－. (3)原式＝sincostan＝－sin cos tan ＝－××1＝－. 学生用书↓第143页 应用一　化简求值问题 (链教材P190例2)化简： (1)； (2). 解：(1)原式＝＝＝＝1. (2)原式＝ ＝＝＝－1. 三角函数式化简常用的方法 1．合理转化： (1)将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式． (2)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数． 2．切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． 对点练2.化简： (1)； (2). 解：(1)原式＝ ＝＝1. (2)原式＝ ＝＝－＝. 应用二　给值(式)求值问题 已知cos＝，求cos－sin2的值． 解：因为cos＝cos ＝－cos＝－， sin2＝sin2 ＝sin2＝1－cos2 ＝1－＝， 所以cos－sin2 ＝－－＝－. [变式探究] 1．(变设问)若本例中的条件不变，如何求cos？ 解：cos＝cos ＝cos＝cos＝. 2．(变设问)若本例条件不变，求cos－sin2的值． 解：cos－sin2＝cos－sin2 ＝－cos－sin2 ＝－cos－ ＝－－ ＝－－＝－. 学生用书↓第144页 解决条件求值问题的策略 1．解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． 2．可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 对点练3.(1)已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是(　　) A．－ B． C．± D． (2)已知sin＝－，且θ∈，则cos＝________． 答案：(1)B　(2)－ 解析：(1)由sin(π＋α)＝，得sin α＝－，因为cos(α－2π)＝cos α，且α是第四象限角，所以cos α＝＝.故选B. (2)cos＝cos＝－cos，因为θ∈，所以θ－∈，所以cos>0，即cos＝＝，所以cos＝－. 知识 (1)特殊关系角的终边对称性．(2)诱导公式二～四 方法 数形结合、公式法 易错误区 符号的确定 1．cos＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：A 解析：由诱导公式可知cos＝cos＝cos＝cos＝－cos ＝－.故选A. 2．已知角α的终边过点(，－2)，则sin(α－3π)＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：D 解析：由已知得sin α＝－，则sin(α－3π)＝－sin α＝.故选D. 3．tan(5π＋α)＝m，则＝(　　) A． B． C．－1 D．1 答案：A 解析：因为tan(5π＋α)＝tan α＝m，所以原式＝＝＝＝＝.故选A. 4．化简：·tan(2π－α)＝________． 答案：－1 解析：原式＝·tan(－α)＝·＝－1. 课时测评44　诱导公式二、三、四 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．cos 150°等于(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：D 解析：由诱导公式可得cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－.故选D. 2．已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是(　　) A．sin α＝sin β B．sin(α－2π)＝sin β C．cos α＝cos β D．cos(2π－α)＝－cos β 答案：C 解析：由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cos α＝cos β.故选C. 3．化简：sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的结果为(　　) A．1 B．2sin2α C．0 D．2 答案：D 解析：原式＝sin2α＋cos2α＋1＝2.故选D. 4．已知tan(5π＋x)＝－2，则的值为(　　) A．4 B．3 C．－3 D．－4 答案：B 解析：由tan(5π＋x)＝－2可得tan x＝－2，所以＝＝＝3.故选B. 5．(多选)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有(　　) A．sin(B＋C)＝sin A B．cos(B＋C)＝cos A C．tan(B＋C)＝tan A D．若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形 答案：AD 解析：依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，A正确；cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A，B错误；tan(B＋C)＝tan(π－A)＝－tan A，C错误；因为a2＋b2＝c2，由勾股定理可知，△ABC为直角三角形，D正确．故选AD. 6．(多选)下列化简正确的是(　　) A．tan(π＋1)＝tan 1 B．＝cos α C．＝tan α D．＝1 答案：AB 解析：A正确；B正确，＝＝cos α；C错误，＝＝－tan α；D错误，＝＝－1.故选AB. 7．tan 690°＝________． 答案：－ 解析：tan 690°＝tan(2×360°－30°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－. 8．若cos(π－α)＝－，则cos(－2π－α)＝________． 答案： 解析：因为cos(π－α)＝－cos α＝－，所以cos α＝，所以cos(－2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝. 9．化简：·tan(4π－α)＝________． 答案：－1 解析：原式＝·tan(－α)＝·(－tan α)＝－·tan α＝－1. 10．(10分)利用公式求下列三角函数值： (1)tan；(3分) (2)sin 585°＋cos(－420°)；(3分) (3).(4分) 解：(1)tan ＝tan ＝tan ＝tan＝－tan ＝－. (2)因为sin 585°＝sin(360°＋180°＋45°) ＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°， cos(－420°)＝cos 420°＝cos(360°＋60°) ＝cos 60°， 所以原式＝－sin 45°＋cos 60°＝－＋＝. (3)原式＝ ＝ ＝－＝－＝－. (11—13每小题5分，共15分) 11．已知tan＝，则tan等于(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：B 解析：因为tan＝tan ＝－tan，又tan＝，所以tan＝－.故选B. 12．若cos＝－，θ∈，则sin的值为(　　) A． B．－ C．－ D． 答案：D 解析：因为θ∈，所以－θ∈，又因为cos＝－，所以sin＝，所以sin＝sin ＝sin＝.故选D. 13．已知α为第四象限角，化简＋＝________． 答案： 解析：因为α为第四象限角，所以 ＋＝＋＝＋＝＋＝＝. 14．(10分)已知tan α，是关于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的两个实数根，且3π<α<，求cos(3π＋α)－sin(π－α)的值． 解：因为tan α，是关于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的两个实数根， 故由根与系数的关系有tan α·＝k2－3＝1，解得k＝±2. 又3π<α<，所以tan α>0，>0， 所以tan α＋＝k>0，于是k＝2. 因此tan α＝＝1，sin α＝cos α. 又sin2α＋cos2α＝1，解得sin α＝cos α＝－， 所以cos(3π＋α)－sin(π－α)＝－cos α－sin α＝. 15．(5分)(新定义)(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π，则称θ与φ“广义互补”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互补”的是(　　) A．sin β＝ B．cos(π＋β)＝ C．tan β＝ D．cos(2π－β)＝－ 答案：ABD 解析：因为sin(π＋α)＝－sin α＝－，所以sin α＝，若α＋β＝π，则β＝π－α.对于A，sin β＝sin(π－α)＝sin α＝，故A符合条件；对于B，cos(π＋β)＝cos(2π－α)＝cos α＝±，故B符合条件；对于C，tan β＝tan(π－α)＝－tan α＝－＝±，故C不符合条件；对于D，cos(2π－β)＝cos[2π－(π－α)]＝cos(π＋α)＝－cos α＝±，故D符合条件．故选ABD. 16．(15分)(开放题)是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝sin β，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 解：假设存在角α，β满足条件． 由已知条件可得 由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2， 所以sin2α＝，所以sin α＝±. 因为α∈，所以α＝±. 当α＝时，由②式知cos β＝， 又β∈(0，π)，所以β＝，此时①式成立； 当α＝－时，由②式知cos β＝， 又β∈(0，π)，所以β＝，此时①式不成立，故舍去． 所以存在α＝，β＝满足条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$