5.2.1 三角函数的概念-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

5．2　三角函数的概念 5．2.1　三角函数的概念 [学习目标]　1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值，并会判断给定角的三角函数值的符号．　2.掌握诱导公式一，并能运用公式解决相关问题，培养数学运算核心素养． 知识点一　任意角的三角函数的定义 问题1.初中我们学习过锐角的三角函数，正弦、余弦和正切，这三个三角函数分别是怎样规定的？ 提示：在初中，我们是在直角三角形中定义的，正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边． 问题2.如图，锐角α的终边与单位圆的交点是P(x，y)，你能否用点P的坐标表示sin α，cos α，tan α？这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢？ 提示：根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，得sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)，这一结论能推广到α是任意角时的情形． 任意角的三角函数的定义 条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y) 定义 正弦 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin__α 余弦 点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos__α 正切 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan__α(x≠0) 三角 函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x∈{x|x≠＋kπ(k∈Z)}. [微提醒]　(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数．(2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合． (链教材P178例1，P179例2)(1)已知角θ的终边经过点P(3，4)，求sin θ＋2cos θ的值． (2)利用定义求的正弦、余弦和正切值． 解：(1)因为角θ的终边经过点P(3，4)，所以sin θ＝＝，cos θ＝＝， 所以sin θ＋2cos θ＝＋2×＝2. (2)如图所示，的终边与单位圆的交点为P，过点P作PB⊥x轴于点B，在△OPB中，|OP|＝1，∠POB＝，则|PB|＝，|OB|＝，则P. 所以sin＝，cos ＝－，tan ＝＝－. 利用三角函数的定义求一个角的三角函数 1．若已知角α终边上一点P(x，y)是单位圆上的点(有时此点的坐标需求出)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． 2．若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上的点，则首先求r＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． 3．终边在已知直线(射线)上，可以在直线(射线)上取两个(一个)点，再利用定义求解． 对点练1.已知角α的终边上一点P(m，)，且cos α＝，则m＝________． 答案： 解析：由题意得x＝m，y＝，所以r＝|OP|＝，所以cos α＝＝＝，很明显m>0，解得m＝. 对点练2.已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值． 解：设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x，y)，则解得即P，所以sin α＝y＝，cos α＝x＝. 学生用书↓第136页 知识点二　正弦、余弦、正切函数值在各个象限内的符号 问题3.根据三角函数的定义，大家猜测一下三角函数值在各个象限内的符号． 提示：三角函数值的符号是根据三角函数的定义和各象限内的坐标符号导出的．根据三角函数的定义可知(sin α＝y，cos α＝x，tan α＝)，正弦的符号取决于纵坐标y的符号，余弦的符号取决于横坐标x的符号，正切的符号是由纵坐标y和横坐标x共同决定的，同号为正，异号为负． 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示： (2)正弦：一、二象限正，三、四象限负； (3)余弦：一、四象限正，二、三象限负； (4)正切：一、三象限正，二、四象限负． (5)口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (1)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)sin 285°·cos(－105°)________0(填“<”或“>”)． 答案：(1)B　(2)> 解析：(1)依题意得由tan α<0知，α是第二、四象限角．当α是第二象限角时，cos α<0，符合题意；当α是第四象限角时，cos α>0，不符合题意．故选B. (2)因为285°是第四象限角，所以sin 285°<0.因为－105°是第三象限角，所以cos(－105°)<0.所以sin 285°·cos(－105°)>0. 判断三角函数值符号的步骤 对点练3.(1)当α为第二象限角时，－＝(　　) A．1 B．0 C．2 D．－2 (2)(多选)下列三角函数值的符号为负的是(　　) A．sin(－100°) B．cos(－220°) C．tan 10 D．cos π 答案：(1)C　(2)ABD 解析：(1)因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.所以－＝－＝2.故选C. (2)因为－100°角是第三象限角，所以sin(－100°)<0；因为－220°角是第二象限角，所以cos(－220°)<0；因为10∈，所以tan 10>0；cos π＝－1<0.故选ABD. 知识点三　诱导公式一 问题4.30°，390°，－330°这三个角的终边有什么关系？它们与单位圆的交点坐标相同吗？这三个角的正弦值、余弦值、正切值分别相等吗？ 提示：这三个角的终边相同，它们与单位圆的交点坐标相同，这三个角的正弦值、余弦值、正切值分别相等． 诱导公式一 即终边相同的角的同一三角函数的值相等． [微提醒]　诱导公式一的结构特点 (1)其结构特点是函数名相同，左边角为α＋2kπ，右边角为α.(2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现．(3)此公式也可以记为：sin(α＋k·360°)＝sin α，cos(α＋k·360°)＝cos α，tan(α＋k·360°)＝tan α.其中k∈Z. 学生用书↓第137页 (链教材P181例5)求下列各式的值： (1)sin＋tan； (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°. 解：(1)sin＋tan＝sin＋tan＝sin＋tan＝＋1. (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125° ＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°)＝sin 90°＋cos 0°－tan 45° ＝1＋1－1＝1. 利用诱导公式求解任意角的三角函数值的步骤 对点练4.计算： (1)sin(－1 380°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°； (2)cos＋tan . 解：(1)原式＝sin(－4×360°＋60°)×cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)×sin(2×360°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝×＋×＝1. (2)原式＝cos＋tan ＝cos＋tan＝＋1＝. 三角函数值符号与诱导公式一的综合应用 (链教材P181例4)确定下列函数值的符号： (1)tan(－672°)；(2)cos ；(3)tan； (4)sin 1 480°10′. 解：(1)tan(－672°)＝tan(48°－2×360°)＝tan 48°>0. (2)cos ＝cos＝cos ＝>0. (3)tan＝tan＝tan ＝>0. (4)sin 1 480°10′＝sin(4×360°＋40°10′)＝sin 40°10′>0. 对于绝对值较大的角先利用诱导公式一转化为[0，2π)范围内的角，然后再判断符号． 对点练5.确定下列三角函数值的符号： (1)tan 505°；(2)tan； (3)cos 950°；(4)sin. 解：(1)tan 505°＝tan(360°＋145°)＝tan 145°<0. (2)tan＝tan＝tan >0. (3)cos 950°＝cos(230°＋2×360°)＝cos 230°<0. (4)sin＝sin＝sin >0. 知识 (1)三角函数的定义及求法．(2)三角函数值在各象限内的符号．(3)诱导公式一 方法 由特殊到一般、转化与化归、分类讨论 易错误区 三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域 学生用书↓第138页 1．已知sin α＝，cos α＝－，则角α的终边与单位圆的交点坐标是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：设交点坐标为P(x，y)，则y＝sin α＝，x＝cos α＝－，故点P.故选D. 2．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α等于(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：D 解析：设点P(－4，3)，则|OP|＝＝5，故cos α＝＝－.故选D. 3．(多选)若sin θ·cos θ>0，则θ的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：AC 解析：因为sin θ·cos θ>0，所以sin θ<0，cos θ<0或sin θ>0，cos θ>0，所以θ的终边在第一象限或第三象限．故选AC. 4．计算：sin＋cos＋tan ＝________． 答案：2 解析：原式＝sin＋cos＋tan＝sin＋cos＋tan ＝＋＋1＝2. 课时测评42　三角函数的概念 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．若角α的终边过点P(4，2)，则sin α＋cos α的值为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为角α的终边过点P(4，2)，则r＝2.所以sin α＝＝，cos α＝＝，所以sin α＋cos α＝.故选D. 2．计算sin(－330°)cos 390°的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：B 解析：sin(－330°)cos 390°＝sin 30°×cos 30°＝×＝.故选B. 3．已知点P(1，t)在角θ的终边上，且sin θ＝－，则cos θ的值为(　　) A． B．± C．－ D． 答案：A 解析：因为点P(1，t)在角θ的终边上，且sin θ＝－＝，解得t＝－.所以cos θ＝＝.故选A. 4．已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：D 解析：因为sin θcos θ<0，所以sin θ，cos θ是一正一负，又|cos θ|＝cos θ，所以cos θ≥0，综上，sin θ<0，cos θ>0，故θ为第四象限角．故选D. 5．(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是(　　) A．sin 165°>0 B．cos 280°>0 C．tan 170°>0 D．tan 310°<0 答案：ABD 解析：165°是第二象限角，因此sin 165°>0正确；280°是第四象限角，因此cos 280°>0正确；170°是第二象限角，因此tan 170°<0，故C错误；310°是第四象限角，因此tan 310°<0正确．故选ABD. 6．(多选)已知函数y＝loga(x－4)－12(a＞0且a≠1)的图象过定点P，且角θ的终边经过点P，则(　　) A．P(4，－12) B．sin θ＝－ C．cos θ＝－ D．tan θ＝－ 答案：BD 解析：因为y＝loga(x－4)－12(a＞0且a≠1)，令x－4＝1，即x＝5，所以y＝loga1－12＝－12，即P(5，－12)，sin θ＝＝－，cos θ＝＝，tan θ＝－.故选BD. 7．若cos α＝－，且角α的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x等于________． 答案：－2 解析：因为cos α＝－<0，所以x<0，又r＝，则＝－，解得x＝－2(x＝2舍去)． 8．求值：cos ＋tan＝________． 答案： 解析：原式＝cos＋tan＝cos ＋tan ＝＋＝. 9．已知角A为第三象限角，且＝－sin ，则是第________象限角． 答案：四 解析：因为A为第三象限角，所以为第二或第四象限角．又因为＝－sin ，所以sin <0，所以为第四象限角． 10．(10分)化简下列各式： (1)sin＋cos ＋cos(－5π)＋tan ；(4分) (2)a2sin 810°－b2cos 900°＋2abtan 1 125°.(6分) 解：(1)原式＝sin ＋cos ＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1. (2)原式＝a2sin 90°－b2cos 180°＋2abtan 45°＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2. (11—13每小题5分，共15分) 11．式子sin 1·cos 2·tan 4的符号为(　　) A．正 B．负 C．零 D．不能确定 答案：B 解析：因为1，2，4分别为第一、二、三象限角，所以sin 1>0，cos 2<0，tan 4>0，所以sin 1·cos 2·tan 4<0.故选B. 12．函数y＝＋＋的值域是(　　) A．{－1，0，1，3} B．{－1，0，3} C．{－1，3} D．{－1，1} 答案：C 解析：依题意，知角x的终边不在坐标轴上，当x为第一象限角时，y＝1＋1＋1＝3；当x为第二象限角时，y＝1－1－1＝－1；当x为第三象限角时，y＝－1－1＋1＝－1；当x为第四象限角时，y＝－1＋1－1＝－1.综上，函数的值域为{－1，3}．故选C. 13．“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角∠BOC的范围为(0，π)时，其所对的“古典正弦”为|BC|(D为BC的中点)．根据以上信息，当圆心角θ对应弧长＝2时，θ的“古典正弦”值为________． 答案：2sin 1 解析：由题意可知，OB＝1，＝2，则圆心角∠BOC＝＝2，|BC|＝2BD＝2×OB×sin 1＝2sin 1. 14．(10分)已知θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ. 解：由题意知r＝|OP|＝，由三角函数定义得cos θ＝＝，又因为cos θ＝x，所以＝x.因为x≠0，所以x＝±1.当x＝1时，P(1，3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3；当x＝－1时，P(－1，3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3. 15．(5分)(多选)下列命题中正确的是(　　) A．若cos θ<0，则θ是第二或第三象限角 B．若sin α＝sin β，则α与β是终边相同的角 C．若α是第三象限角，则sin αcos α>0且cos αtan α<0 D．设角α为第二象限角，且＝－cos ，则角为第三象限角 答案：CD 解析：若cos θ<0，则θ为第二或第三象限角或终边在x轴的负半轴上，故A不正确；若sin α＝sin β，则α与β的终边不一定相同，故B不正确；因为α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，tan α>0，所以sin αcos α>0且cos αtan α<0，故C正确；因为角α为第二象限角，所以在第一或第三象限，又由条件知cos <0，所以在第三象限，故D正确．故选CD. 16．(15分)已知＝－，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限；(5分) (2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．(10分) 解：(1)由＝－，可知sin α<0，由lg(cos α)有意义可知cos α>0，所以角α是第四象限角． (2)因为|OM|＝1，所以＋m2＝1，解得m＝±.又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.由正弦函数的定义可知sin α＝＝＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$