5.1.2 弧度制-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

5.1.2　弧度制 [学习目标]　1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．　2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系．　3.理解弧度制下弧长与面积公式，培养数学运算和直观想象核心素养． 知识点一　弧度制的概念 问题1.在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？ 提示：周角的等于1度的角． 问题2.角的度量除了角度制之外，是否也有不同的单位制呢？ 提示：有不同的单位制，即弧度制． 1．弧度制 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 2．弧度数的计算 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|＝. 3．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． [微思考]　“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？ 提示：与圆的半径大小没有关系． 下列各命题中，真命题是(　　) A．1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度等于半径的弧 C．1弧度是1°的弧与1°的角之和 D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小 答案：D 解析：根据弧度制和角度制的规定可知A、B、C均错误，D正确． 1．圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的． 2．任意角的弧度数与实数是一一对应的关系． 对点练1.下列说法正确的是(　　) A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 答案：A 解析：对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误．故选A. 知识点二　角度制与弧度制的相互转化 问题3.根据公式|α|＝，你能得出周角的弧度数吗？ 提示：因为半径为r的圆的周长为l＝2πr，故周角的弧度数α＝2π，而周角的角度数是360，于是我们有了弧度与角度的换算关系． 学生用书↓第133页 [微提醒]　(1)弧度单位rad可以省略．(2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用． (链教材P173例4)将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－π. 解：(1)20°＝20× rad＝ rad. (2)－15°＝－15× rad＝－ rad. (3)π rad＝×180°＝105°. (4)－π rad＝－×180°＝－396°. 角度与弧度的互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数．一般情况下，省略弧度单位rad. 对点练2.将下列角度与弧度进行互化： (1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°. 解：(1)π＝×180°＝15 330°. (2)－＝－×180°＝－75°. (3)10°＝10×＝. (4)－855°＝－855×＝－. 知识点三　扇形的弧长和面积公式 问题4.我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？ 提示：初中我们已学习过，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝，S＝，由弧度与角度的换算关系，我们可以知道α＝. 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝αR． (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2． [微提醒]　在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧度”，再代入计算． (链教材P174例4)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数． 解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，依题意有 ①代入②得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad舍去．当R＝4时，l＝2，此时，θ＝＝rad.综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad. 关于弧度制下扇形问题的解决方法 1．三个公式：|α|＝，S＝lr＝αr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值． 2．弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解． 对点练3.(1)弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________． (2)已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为________． 答案：(1)4　6π　(2)2 解析：(1)因为135°＝135×＝，所以扇形的半径为＝4，面积为×3π×4＝6π. (2)因为120°＝，扇形AOB的面积为，所以＝αr2＝×r2，解得r＝2. 学生用书↓第134页 用弧度制表示角 已知角α＝2 010°. (1)将α改写成θ＋2kπ(k∈Z，0≤θ<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)在区间[0，5π)上找出与α终边相同的角． 解：(1)2 010°＝2 010×＝＝5×2π＋.又π<<，角α与角的终边相同，故α是第三象限角． (2)与α终边相同的角可以写为γ＝＋2kπ(k∈Z)．又0≤γ<5π，所以k＝0，1.当k＝0时，γ＝；当k＝1时，γ＝. 1．弧度制下与角α终边相同的角的表示 在弧度制下，与角α终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍． 2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形； (2)写出区域边界作为终边时角的表示； (3)用不等式表示区域范围内的角． 对点练4.若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在(　　) A．第一象限 B．第四象限 C．x轴上 D．y轴上 (2)若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是(　　) A． B． C． D．(k∈Z) 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)因为＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝6kπ＋π(k∈Z)，所以＝3kπ＋(k∈Z)．当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，的终边在y轴上．故选D. (2)阴影部分的两条边界分别是和角的终边，所以α的取值范围是(k∈Z)．故选D. 知识 (1)弧度制的概念．(2)弧度制与角度制的相互转化．(3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系．(4)扇形的弧长与面积的计算 方法 由特殊到一般、数学运算 易错误区 弧度与角度混用 1．1 920°转化为弧度数是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：1 920°＝1 920×＝.故选D. 2．将弧度化成角度为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案：C 解析： rad＝×°＝120°.故选C. 3．已知扇形的圆心角为，弧长为π，则扇形的面积为________． 答案：2π 解析：由扇形的圆心角α＝，弧长l＝π，得扇形的半径r＝＝4，则扇形的面积S＝lr＝×π×4＝2π. 4．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合为________________． 答案：{θ|kπ＋<θ<kπ＋，k∈Z} 解析：因为30°＝ rad，210°＝ rad，这两个角的终边所在的直线相同，终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z. 从而终边落在阴影部分内的角的集合为{θ|kπ＋<θ<kπ＋，k∈Z}． 课时测评41　弧度制 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．角的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：A 解析：＝2π＋，是第一象限角，故是第一象限角．故选A. 2．在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(　　) A． B． C．9π D．10π 答案：B 解析：l＝αR＝200××1＝.故选B. 3．集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 答案：C 解析：当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x的左上部分(包含边界)；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界)．故选C. 4．把角－570°化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为(　　) A．－3π－π B．－4π＋150° C．－3kπ－30° D．－4π＋π 答案：D 解析：因为－570°＝－570×＝－＝－2×2π＋π，与π的终边相同，所以把角－570°化为2kπ＋α(0≤α<2π)的形式为－4π＋π.故选D. 5．(多选)下列转化结果正确的是(　　) A．67°30′化成弧度是 B．－化成角度是－600° C．－150°化成弧度是－ D．化成角度是15° 答案：ABD 解析：对于A，67°30′＝67.5×＝，故A正确；对于B，－＝－×°＝－600°，故B正确；对于C，－150°＝－150×＝－，故C错误；对于D，＝×°＝15°，故D正确．故选ABD. 6．(多选)下列表示中正确的是(　　) A．终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z} B．终边在第二象限的角的集合为{α|＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z} C．终边在坐标轴上的角的集合是{α|α＝，k∈Z} D．终边在直线y＝x上的角的集合是{α|α＝＋，k∈Z} 答案：ABC 解析：A、B显然正确；对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为{α|α＝＋kπ，k∈Z}，其并集为{α|α＝，k∈Z}，故C正确；对于D，终边在y＝x上的角的集合为{α|α＝＋2kπ，k∈Z}或{α|α＝＋2kπ，k∈Z}，其并集为{α|α＝＋kπ，k∈Z}，故D不正确．故选ABC. 7．－π的角化为角度制的结果为________；－135°的角化为弧度制的结果为________． 答案：－240°　－π 解析：－π＝－×°＝－240°；－135°＝－135×＝－π. 8．弧长为π的扇形的面积为3π，则这个扇形的圆心角为________． 答案： 解析：设扇形的圆心角为α，半径为R，则扇形的弧长为αR＝π①，扇形的面积为αR2＝3π②，由①②解得R＝6，α＝，所以这个扇形的圆心角为. 9．用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(包括边界)的角θ的集合为________________________________________________________________________． 答案： 解析：终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z.终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，即θ＝－＋2kπ，k∈Z，故终边落在阴影部分内(包括边界)的角θ的集合为. 10．(10分)已知角α＝1 200°. (1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(4分) (2)在区间[－4π，0]上找出与角α终边相同的角．(6分) 解：(1)因为α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，所以角α与的终边相同， 又<<π，所以角α是第二象限角． (2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ＋，k∈Z， 所以由－4π≤2kπ＋≤0，得－≤k≤－. 因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1. 当k＝－2时，2×(－2)π＋＝－； 当k＝－1时，2×(－1)π＋＝－， 故在区间[－4π，0]上与角α终边相同的角是－，－. (11—13每小题5分，共15分) 11．折扇是一种用竹木做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子．用时展开成扇形，如图，某折扇的扇骨长度OA＝15 cm，扇面长度AB＝10 cm，已知折扇展开所对圆心角的弧度为，则扇面的面积为(　　) A．100 cm2 B．150 cm2 C．200 cm2 D．300 cm2 答案：B 解析：由题意，知扇面的面积为××152－××52＝150 cm2.故选B. 12．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　) A．α＋β＝0 B．α－β＝0 C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝2kπ＋(k∈Z) 答案：D 解析：因为α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－＋2k2π(k2∈Z)，所以α－β＝＋2(k1－k2)π(k1∈Z，k2∈Z)．因为k1∈Z，k2∈Z，所以k1－k2∈Z.所以α－β＝2kπ＋(k∈Z)．故选D. 13．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为________． 答案： 解析：如图，设圆的半径为R，则正方形边长为R，因为弧长l＝R，所以α＝＝＝. 14．(10分)在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案． (1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；(4分) (2)比较两种方案中扇形面积的大小．(6分) 解：(1)因为△OAB是顶角为、腰长为2的等腰三角形，所以A＝B＝，OM＝ON＝1. 方案一中扇形的周长L1＝2＋2＋2×＝4＋， 方案二中扇形的周长L2＝1＋1＋1×＝2＋， 所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值为＝2－. (2)方案一中扇形的面积S1＝××22＝， 方案二中扇形的面积S2＝××12＝，所以S1＝S2，即两种方案中扇形的面积相等． 15．(5分)(数学文化) 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________m2(精确到1 m2)． 答案：9 解析：＝120°，根据题意得，弦＝2×4sin＝4(m)，矢＝4－2＝2(m)，因此弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2)． 16．(15分)某企业欲做一个介绍企业发展的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10 m，OB＝x m(0<x<10)，线段BA，CD与，的长度之和为30 m，圆心角为θ弧度． (1)求θ关于x的函数解析式；(5分) (2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．(10分) 解：(1)根据题意，可算得＝x·θ(m)，＝10θ(m)． 因为BA＋CD＋＋＝30， 所以10－x＋10－x＋xθ＋10θ＝30， 所以θ＝(0<x<10)． (2)依据题意，知y＝S扇形OAD－S扇形OBC＝θ×102－θx2， 化简得y＝－x2＋5x＋50＝－＋. 所以当x＝时，ymax＝(m2)． 故当x＝时，铭牌的截面面积最大，且最大面积为 m2. 学生用书↓第135页 学科网（北京）股份有限公司 $$