第三章 函数的概念与性质 章末综合提升-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

　章末综合提升 　 第三章　函数的概念与性质 概念梳理 构建体系 1 分层探究 提升能力 2 教考衔接 明确考向 3 内容索引 单元检测卷 4 概念梳理 构建体系 返回 返回 分层探究 提升能力 返回 探究点一　求函数的定义域 例1 √ (2)已知函数y＝f(x－1)的定义域是[－1，2]，则y＝f(1－3x)的定义域为 √ 由y＝f(x－1)的定义域是[－1，2]，得x－1∈[－2，1]，即f(x)的定义域是[－2，1]，令－2≤1－3x≤1，解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定义域为[0，1]．故选C. 规律方法 求函数定义域的方法 1．已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． 2．实际问题：求函数的定义域既要考虑使解析式有意义，又要考虑使实际问题有意义．　　 √ 探究点二　分段函数及应用 例2 √ 3 规律方法 解决分段函数问题的方法 对于分段函数求值问题，首先判断自变量所在区间，然后代入对应解析式求值，对于“嵌套”求值问题，要从内往外逐层计算． 1．解分段方程(不等式)：若方程(不等式)一边含有自变量，则按自变量在不同区间讨论求解，最后求并集；若方程(不等式)两边都含有自变量，则可以画出分段函数图象，利用数形结合法求解，也可以利用分段函数的单调性转化求解． 2．由分段方程(不等式)求参数：与分段函数求值类似，讨论参数所在区间，代入相应解析式求解．　　 √ 4 探究点三　函数的性质及应用 已知函数f(x)＝2x2－3x＋1. (1)函数h(x)是奇函数，当x>0时，h(x)＝f(x)，求h(x)在R上的解析式； 例3 (2)若g(x)＝－f(x)＋mx＋1，当x∈[1，2]时，g(x)的最大值为2，求m的值． 综上，m＝1. 规律方法 函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响．　　 (2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数； (3)解关于t的不等式f(2t－1)＋f(t)<0. 探究点四　函数的图象及应用 例3 √ (2)在平面直角坐标系中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________． 函数y＝|x－a|－1的大致图象如图所示， 因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，所以2a＝－1，解得a＝－ . 规律方法 作函数图象的方法 规律方法 (3)翻折：去掉y轴左侧的y＝f(x)的图象，将右侧图象沿y轴翻折到左侧就得到y＝f(|x|)的图象；将x轴下方的y＝f(x)的图象沿x轴翻折到x轴上方就得到y＝|f(x)|的图象． 提醒　要利用函数的单调性、奇偶性、对称性简化作图． 要满足题意，需(m－1)2≥1＋m，解得m≥3或m≤0(舍去)，所以m≥3.综上，正实数m的取值范围为(0，1]∪[3，＋∞)． 返回 教考衔接 明确考向 返回 √ 真题 1 (2021·北京卷)已知f(x)是定义在[0，1]上的函数，那么“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的____条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 A 真题 2 2 真题 3 0(答案不唯一) 1 综上可得0≤a≤1. 返回 真题 4 单元检测卷 返回 √ A．[1，＋∞) B．[1，2)∪(2，＋∞) C．[1，2) D．(1，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A．3 B．13 C．－43 D．2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是 A．y＝x3 B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝ √ 对于A，y＝x3是奇函数，故不符合题意；对于B，y＝|x|＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，故正确；对于C，y＝－x2＋1是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递减，不符合题意；对于D，y＝ 是奇函数，不符合题意．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4．已知f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，它们的部分图象如图所示，则f(x)g(x)的大致图象是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意，得f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．令F(x)＝f(x)g(x)，则F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F(x)，所以函数F(x)＝f(x)g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A，B.又由函数f(x)，g(x)的图象可知，当x>0时，f(x)>0，g(x)>0，所以F(x)>0，可排除D.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5．若函数f(x)＝x2＋a|x－2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 A．[－4，0] B．(－∞，0] C．(－∞，－4] D．(－∞，－4]∪[0，＋∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7．若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(3)＝0，则满足xf(x＋1)≥0的x的取值范围是 A．(－∞，－4]∪{0}∪[2，＋∞) B．(－∞，－2)∪[0，1]∪[4，＋∞) C．[－4，－1]∪[0，2] D．(－∞，－4]∪[－1，0]∪[2，＋∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8．函数f(x)＝x2－2tx＋2，若对∀x1，x2∈[0，2]，都有|f(x1)－f(x2)|≤8，则实数t的取值范围为 A．[－1，0] B．[－1，3] C．[0，3] D．[－1，2] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ √ 根据分段函数的解析式可知，f(x)的定义域为R，故选项A正确；f(x)的值域为(－∞，－1)∪{0}∪(1，＋∞)，故选项B不正确；画出函数图象(图略)可知，故选项C、D正确．故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y＝ x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．以下判断正确的是 A．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 B．该单位每月最低可获利20 000元 C．该单位每月不获利也不亏损 D．每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：设x＜0，则－x＞0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2×(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 所以当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．(8分) 故实数a的取值范围是(1，3]． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16．(本小题满分15分)已知a∈R，函数f(x)＝x2－2ax＋5. (1)若a>1，且函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17．(本小题满分15分)(2024·江苏南京高一期末)已知正数x，y满足xy－4＝x＋y. (1)将y表示为x的函数y＝f(x)，并证明f(x)在其定义域内单调递减；(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为x1，x2∈(1，＋∞)且x1<x2，所以x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0， 从而f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 故f(x)在其定义域(1，＋∞)上单调递减． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求2x＋y的最小值．(10分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：根据题意，L(x)＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)当2025年产量为多少千部时，企业所获利润最大？并求出最大利润．(10分) 解：当x∈(0，40)时，L(x)＝600x－10x2－250＝－10(x－30)2＋8 750， 当x＝30时，L(x)max＝8 750(万元)； 所以当x＝100时，L(x)max＝9 000(万元)， 综上，当2025年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润为9 000万元． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19．(本小题满分17分)设a，b∈R，若函数f(x)定义域内的任意一个实数x都满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)的图象关于点(a，b)对称；反之，若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，则函数f(x)定义域内的任意一个实数x都 满足f(x)＋f(2a－x)＝2b.已知函数g(x)＝ . (1)证明：函数g(x)的图象关于点(－1，5)对称；(7分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 即对任意的x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，都有g(x)＋g(－2－x)＝10成立，所以函数g(x)的图象关于点(－1，5)对称． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设函数y＝h(x)，x∈[0，2]的值域为A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为当x∈[0，1]时，h(x)＝x2－mx＋m＋1， 所以h(1)＝2，即函数h(x)的图象过对称中心点(1，2)． 易知h(0)＝m＋1.又h(0)＋h(2)＝4，所以h(2)＝3－m， 则A＝[m＋1，3－m]． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回 易知h(0)＝m＋1，又h(0)＋h(2)＝4，所以h(2)＝3－m，则A＝[3－m，m＋1]． 又m≥2，所以2≤m≤3. 综上可知，实数m的取值范围为[－1，3]． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 ！ 第 三 章 　 函 数 的 概 念 与 性 质 返回 (1)函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为 A． B． C． D．∪ (1)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f ＝ A．2 B．4 C．6 D．8 (2)若函数f(x)＝则f(f(－2))＝______． (2)已知函数f(x)＝若f(f(9))＝6，则m＝______． ③当≥2，即m≥5时，g(x)max＝g(2)＝－8＋2m＋6＝2，解得m＝2(舍去)． (1)函数y＝的图象大致为 － 1．描点法：求定义域；化简；列表；描点；连线． 2．变换法：熟知函数图象的平移、对称、翻折． (1)平移：y＝f(x)的图象y＝f(x±h)的图象；y＝f(x)的图象y＝f(x)±k的图象(其中h>0，k>0)； (2)对称：y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象． (2022·天津卷)函数y＝的图象大致为 (2021·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝若f ＝3，则a＝_______. (2022·北京卷)设函数f＝若f(x)存在最小值，则a的一个取值为__________________；a的最大值为______． 若a＝0，f(x)＝所以f(x)min＝0；若a<0，当x<a时，f(x)＝－ax＋1单调递增，当x→－∞时，f(x)→－∞，故f(x)没有最小值，不符合题目要求；若a>0，当x<a时，f(x)＝－ax＋1单调递减，f(x)>f(a)＝－a2＋1， 当x>a时，f(x)min＝所以－a2＋1≥0或－a2＋1≥(a－2)2，解得0<a≤1. 11．对于定义域为D的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y＝f(x)(x∈D)称为闭函数．下列结论正确的是 A．函数y＝x是闭函数 B．函数y＝x2＋1是闭函数 C．函数y＝－x2(x≤0)是闭函数 D．函数f(x)＝(x＞－1)是闭函数 f(x)＝(x≠－1，且x≠0) －1或－ 14．已知f(x)＝2x＋1，g(x)＝x|x－2|，若对任意x1，x2∈[0，t]，当x1≠x2时，都有<2成立，则t的最大值为_______． 当x∈[40，＋∞)时，L(x)max＝－x－＋9 200≤－2＋9 200＝ 9 000(万元)， $$