第五节　二次函数的图象和性质 课件 2025年九年级中考数学人教版一轮复习（广西）

第五节　二次函数的图象和性质 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 1．二次函数的概念及三种解析式的形式 概念 形如y＝ax2 ＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)的函数叫做y是x的二次函数 解析式的 三种形式 一般式 y＝ax2 ＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0) 顶点式 y＝a(x－h)2 ＋k(a≠0) 交点式 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标 【提示】特别地，若已知二次函数的解析式为y＝ax2＋bx，则二次函数图象必过原点；反之，若已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过原点，则必有c＝0 2025版 数学 广西专版 2.二次函数三种解析式的图象性质对比 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 3.二次函数图象与系数a，b，c的关系 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 1．在探究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质的过程中，x与y的几组对应值列表如下： x … －2 －1 0 1 2 3 … y … －5 0 3 4 m 0 … 2025版 数学 广西专版 根据表格所提供的数据，完成下列习题： (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； 解：如图所示． 2025版 数学 广西专版 (2)该二次函数的解析式为y＝ ，m＝ ； (3)该二次函数图象的开口向 ，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，函数有最 值，其值为 ； (4)当－2≤x≤5时，y的取值范围为 ； (5)若二次函数图象上的点A(－3，n)关于对称轴对称的点为B，则点B的坐标为 ； －x2＋2x＋3 3 下 x＝1 (1，4) 大 4 －12≤y≤4 (5，－12) 2025版 数学 广西专版 (6)若(－3，y1)，(1，y2)，(2，y3)都是该函数图象上的点，则y1，y2，y3的大小关系为 ；(用“<”连接) (7)点A(m－1，y1)，B(m，y2)都在该函数图象上，若y1<y2，则m的取值范围为 . y1<y3<y2 m< 2025版 数学 广西专版 2．(1)下列函数中，是二次函数的有④⑤⑥(选填序号)； ①y＝x；②y＝x－2；③y＝；④y＝－2x2； ⑤S＝x2－2x；⑥s＝t2－2t＋1. (2)二次函数y＝3x－x2的二次项系数是 . － 2025版 数学 广西专版 3．(2024•浦北县期末)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③m为任意实数，则a＋b＞am2＋bm；④a－b＋c＞0；⑤若a＋bx1＝a＋bx2且x1≠x2，则x1＋x2＝2.其中正确的有 (选填序号). ②⑤ 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 重难点：巧用二次函数的对称性解题 1．求对称轴 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过(0，4)和(－6，4)两点，则此抛物线的对称轴为( ) A．直线x＝4　　　　　　B．直线x＝0　　　　　　 C．直线x＝－3　　　　　D．直线x＝－6 C 2025版 数学 广西专版 【总结归纳】如图①，若纵坐标相等(y1＝y2)，且横坐标不等(x1≠x2)，则对称轴为直线x＝. 2025版 数学 广西专版 2．利用对称轴求点坐标 抛物线y＝x2－4x＋m2与x轴的一个交点的坐标为(1，0)，则另一个交点的坐标是 ． 【变式】如图②，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y＝t交于点A(3，t)，若抛物线的对称轴是直线x＝1，则点A关于对称轴对称的点B的坐标是 ． (3，0) (－1，t) 2025版 数学 广西专版 【总结归纳】已知对称轴为直线x＝a，与x轴的一个交点为(b，0)，则与x轴的另一个交点坐标为 ；若已知抛物线上任意一点的坐标为M(m，n)，则点M关于对称轴对称的点的坐标为 . (2a－b，0) (2a－m，n) 2025版 数学 广西专版 3．利用对称轴比较函数值大小 若二次函数y＝a(x－3)2 ＋c(a>0)的图象过A(－1，y1)，B(2，y2)，C(5，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是 . 【总结归纳】方法1.异侧转化为同侧：先求出点关于对称轴对称的点的横坐标，然后利用同侧的增减性比较. (如图③，图④) y1>y3>y2 2025版 数学 广西专版 方法2.距离法：先定开口方向，再算距离．开口向上，距离对称轴越近的值越小；开口向下，距离对称轴越近的值越大．如图⑤，可得点A，C，B到抛物线对称轴x＝t的距离的大小关系为 > > (均用含t的代数式分别表示距离)，因为抛物线开口向上，所以yA，yB，yC的大小关系是 ＞ ＞ . |xB－t| |xC－t| |xA－t| yB yC yA 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 【考情分析】广西近6年二次函数的图象与性质主要考查：二次函数的增减性、顶点坐标、与坐标轴的交点坐标、对称轴、自变量的取值范围、图象与系数a，b，c的关系．难度较小，分值一般3－6分． 2025版 数学 广西专版 命题点1：二次函数的图象和性质(近6年考查3次) 1．(2024•贺州第11题3分)已知二次函数y＝2x2－4x－1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 D 2025版 数学 广西专版 2．(2023•贵港第18题3分)我们规定：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a•b＝x1x2＋y1y2.例如a＝(1，3)，b＝(2，4)，则a•b＝1×2＋3×4＝2＋12＝14.已知a＝(x＋1，x－1)，b＝(x－3，4)，且－2≤x≤3，则a•b的最大值是 . 8 2025版 数学 广西专版 命题点2：二次函数图象与系数a，b，c的关系(近6年考查5次) 3．(2024•河池第11题3分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中错误的是( ) A．ac＜0 B．b2－4ac＞0 C．2a－b＝0 D．a－b＋c＝0 C 2025版 数学 广西专版 4．(2024•梧州第12题3分)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx－2的对称轴是x＝－1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，下列结论中错误的是( ) A．b2＞－8a B.若实数m≠－1，则a－b＜am2＋bm C．3a－2＞0 D．当y＞－2时，x1•x2＜0 C 2025版 数学 广西专版 简写过程： 根据函数图象可知a＞0，根据抛物线的对称轴公式可得b＝2a，∴b2＞0，－8a＜0，∴b2＞－8a.故A正确；∵函数的最小值在x＝－1 处取到，∴若实数m≠－1，则a－b－2＜am2＋bm－2，即若实数m≠－1，则a－b＜am2＋bm .故B正确；∵l∥x轴，∴y1＝y2，令x＝0，则y＝－2，即抛物线与y轴交于点(0，－2)，∴当y1＝y2＞－2时，x1＜0，x2＞0.∴当y1＝y2＞－2时，x1•x2＜0.故D正确；∵a＞0，∴3a＞0，没有条件可以证明3a＞2.故C错误． 2025版 数学 广西专版 5．(2024•贺州第17题3分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，下列说法：①abc＜0；②a－b＋c＜0；③3a＋c＝0；④当－1＜x＜3时，y＞0.其中正确的是 (选填序号)． ①③④ 2025版 数学 广西专版 6．(2024•上海)对于一个二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)中存在一点P(x′，y′)，使得x′－m＝y′－k≠0，则称2|x′－m|为该抛物线的“开口大小”，求抛物线y＝－x2＋x＋3的“开口大小”． 2025版 数学 广西专版 解：∵抛物线y＝－ x2＋ x＋3 ＝－ (x－ )2＋， ∴x′－ ＝－ (x′－ )2＋－， ∴解得x′－ ＝－2， ∴抛物线y＝－ x2＋ x＋3的“开口大小”为 2|x′－ |＝2×|－2|＝4. 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 $$