4.3.1 对数的概念-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

4.3　对数 4.3.1　对数的概念 [学习目标]　1.了解对数、常用对数、自然对数的概念，培养数学抽象核心素养．　2.会进行对数式与指数式的互化．　3.会求简单的对数值，培养数学运算核心素养． 知识点一　对数的概念 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，以此类推． 问题1.1个这样的细胞分裂5次得到多少个这样的细胞？ 提示：1个这样的细胞分裂5次得到25＝32个这样的细胞． 问题2.1个这样的细胞分裂多少次可得到16个这样的细胞？ 提示：设分裂x次，由2x＝16，得x＝4，即1个这样的细胞分裂4次可得到16个这样的细胞． 问题3.问题1与问题2的运算过程有何区别呢？ 提示：问题1是已知底数和指数求幂，问题2是已知底数和幂求指数． 对数的定义 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． [微思考]　1.式子logmN中，底数m的范围是什么？ 提示：m>0，且m≠1. 2.对数式logaN是不是loga与N的乘积？ 提示：不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数． 学生用书↓第98页 若对数式log(t－2)3有意义，则实数t的取值范围是(　　 ) A．[2，＋∞) B．(2，3)∪(3，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) 答案：B 解析：要使对数式log(t－2)3有意义，需解得t>2，且t≠3.所以实数t的取值范围是(2，3)∪(3，＋∞)．故选B. 关于对数式的范围，利用式子logab⇒求字母的范围． 对点练1.在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为____________． 答案：(3，4)∪(4，＋∞) 解析：由对数的概念可得解得3<x<4或x>4. 知识点二　对数式与指数式的互相转化 问题4.现在你能解指数方程2x＝3，1.11x＝2，10x＝5了吗？ 提示：能．x＝log23；x＝log1.112；x＝log105. 常用对数与自然对数 (链教材P122例1)将下列指数式与对数式互化： (1)log216＝4；(2)log27＝－3； (3)ln 10＝2.303；(4)43＝64； (5)3－2＝；(6)10－3＝0.001. 解：(1)24＝16.(2)＝27.(3)e2.303＝10. (4)log464＝3.(5)log3＝－2.(6)lg 0.001＝－3. 指数式与对数式互化的思路 1．指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． 2．对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 2.对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 对点练2.下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　 ) A．100＝1与lg 1＝0 B．27－＝与log27＝－ C．log39＝与9＝3 D．log55＝1与51＝5 答案：C 解析：因为9＝3化为对数式应为log93＝，故C不正确．故选C. 知识点三　对数的计算 问题5.你能把20＝1，21＝2，log2x＝log2x化成对数式或指数式吗？ 提示：能．log21＝0；log22＝1；2log2x＝x. 1．对数的性质 (1)负数和0没有对数； (2)loga1＝0(a>0，且a≠1)； (3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 2．对数恒等式 (1)alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)； (2)logaab＝b(a>0，且a≠1，b∈R)． 学生用书↓第99页 求下列各式的值： (1)log981＝________． (2)log0.41＝________． (3)ln e2＝________． 答案：(1)2　(2)0　(3)2 解析：(1)设log981＝x，所以9x＝81＝92， 故x＝2，即log981＝2. (2)设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40， 故x＝0，即log0.41＝0. (3)设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2. 对数式中求值的基本思想和基本方法 1．基本思想：在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解． 2．基本方法：(1)将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． (2)利用幂的运算性质和指数的性质计算． 对点练3.求下列各式的值： (1)log28；(2)log9；(3)ln e；(4)lg 1. 解：(1)设log28＝x，则2x＝8＝23， 所以x＝3.所以log28＝3. (2)设log9＝x，则9x＝＝9－1，所以x＝－1. 所以log9＝－1. (3)ln e＝1. (4)lg 1＝0. 利用对数性质求值 求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)x＝71－log75；(4)log27x＝－；(5)logx16＝－4. 解：(1)因为log2(log5x)＝0，所以log5x＝20＝1，所以x＝51＝5. (2)因为log3(lg x)＝1， 所以lg x＝31＝3， 所以x＝103＝1 000. (3)x＝71－log75＝7÷7log75＝7÷5＝. (4)由log27x＝－，得x＝27－＝33×＝3－2＝. (5)由logx16＝－4，得x－4＝16， 即x4＝＝，又x>0，且x≠1，所以x＝. [变式探究]　(变条件)把本例(1)中的“log2(log5x)＝0”改为“log2(log5x)＝1”，求x的值． 解：因为log2(log5x)＝1，所以log5x＝2，则x＝52＝25. 利用对数的性质求值的方法 1．求解此类问题时，有些可根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0，且a≠1)，进行变形求解；若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算． 2．已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解． 对点练4.求下列各式中x的值： (1)logx＝－3；(2)logx49＝4；(3)lg 0.000 01＝x；(4)ln ＝－x；(5)log8[log7(log2x)]＝0； (6)log2[log3(log2x)]＝1. 解：(1)x＝＝27. (2)由x4＝49，x＞0，且x≠1，得x＝. (3)由10x＝0.000 01＝10－5，得x＝－5. (4)由e－x＝＝e，得x＝－. (5)由log8[log7(log2x)]＝0，得log7(log2x)＝1，即log2x＝7，所以x＝27. (6)由log2[log3(log2x)]＝1，得log3(log2x)＝2， 所以log2x＝9，所以x＝29. 知识 (1)对数的概念．(2)自然对数、常用对数．(3)指数式与对数式的互化．(4)对数的性质 方法 转化法 易错误区 易忽视对数式中底数与真数的范围 学生用书↓第100页 1．log3等于(　　) A．4 B．－4 C． D．－ 答案：B 解析：因为3－4＝，所以log3＝log33－4＝－4.故选B. 2．若x＝log16，则x等于(　　) A．－4 B．－3 C．3 D．4 答案：A 解析：由＝16知x＝－4.故选A. 3．(多选)有以下四个结论，其中正确的是(　　) A．lg(lg 10)＝0 B．lg(ln e)＝0 C．若e＝ln x，则x＝e2 D．ln(lg 1)＝0 答案：AB 解析：因为lg 10＝ln e＝1，lg 1＝0，所以A，B均正确；C中若e＝ln x，则x＝ee，故C错误；D中lg 1＝0，而ln 0没有意义，故D错误．故选AB. 4．计算：3log22＋2log31－3log77＋3ln 1＝________． 答案：0 解析：原式＝3×1＋2×0－3×1＋3×0＝0. 课时测评31　对数的概念 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　) A．a>，且a≠1 B．0<a< C．a>1，且a≠1 D．a< 答案：B 解析：由题意知解得0<a<.故选B. 2．方程2log3x＝的解是(　　) A． B． C． D．9 答案：A 解析：由2log3x＝，得2log3x＝2－2，所以log3x＝－2，所以x＝3－2＝.故选A. 3．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－等于(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由条件，知log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，即x＝23＝8，所以x－＝8－＝＝＝.故选C. 4．方程lg(x2－1)＝lg(2x＋2)的根为(　　) A．－3 B．3 C．－1或3 D．1或－3 答案：B 解析：由lg(x2－1)＝lg(2x＋2)，得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.经检验x＝－1不合题意，所以原方程的根为x＝3.故选B. 5．设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于(　　) A．10 B．13 C．100 D．12 答案：B 解析：由5log5(2x－1)＝25，得2x－1＝25，所以x＝13.故选B. 6．设a＝log310，b＝log37，则3a－b的值为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：3a－b＝3a÷3b＝3log310÷3log37＝10÷7＝.故选A. 7．若log3(a＋1)＝1，则loga2＋log2(a－1)＝_____________________________________ ___________________________________. 答案：1 解析：由log3(a＋1)＝1，得a＋1＝3，即a＝2，所以loga2＋log2(a－1)＝log22＋log21＝1＋0＝1. 8．计算：2log23＋2log31－log28＋3ln e2＝________． 答案：6 解析：原式＝3＋2×0－3＋3×2＝6. 9．若log5x＝2，logy8＝3，则x＋y＝________． 答案：27 解析：因为log5x＝2，所以x＝52＝25，因为logy8＝3，所以y3＝8，所以y＝2，所以x＋y＝27. 10．(10分)将下列指数式、对数式互化： (1)35＝243；(2分)(2)2－5＝；(2分) (3)log81＝－4；(3分)(4)log2128＝7.(3分) 解：(1)log3243＝5.(2)log2＝－5. (3)＝81.(4)27＝128. (11—13每小题5分，共15分) 11．若logx＝z，则x，y，z之间满足(　　 ) A．y7＝xz B．y＝x7z C．y＝7xz D．y＝z7x 答案：B 解析：由题意得＝xz，所以y＝(xz)7＝x7z，故选B. 12．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是(　　) A．d＝ac B．a＝dc C．c＝ad D．d＝a＋c 答案：B 解析：由已知得5a＝b，10c＝b，所以5a＝10c，因为5d＝10，所以5dc＝10c，所以5dc＝5a，所以a＝dc.故选B. 13．已知log2[log3(log4x)]＝0，且log4(log2y)＝1，则·y的值是________． 答案：64 解析：因为log2[log3(log4x)]＝0，所以log3(log4x)＝1，即log4x＝3，所以x＝43＝64，同理得y＝16，所以·y＝×16＝8×23＝64. 14．(10分)若log2[log(log2x)]＝log3[log(log3y)]＝log5[log(log5z)]＝0，试确定x，y，z的大小关系． 解：由log3[log(log3y)]＝0，得log(log3y)＝1，log3y＝，y＝3＝(310). 由log2[log(log2x)]＝0，得log(log2x)＝1，log2x＝，x＝2＝(215). 由log5[log(log5z)]＝0，得log(log5z)＝1，log5z＝，z＝5＝(56)， 因为310>215>56，所以y>x>z. 15．(5分)若a>0，a＝，则loga等于(　　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B 解析：因为a＝，a>0，所以a＝＝，设loga＝x，所以＝a，所以＝，即x＝3.故选B. 16．(15分)设实数a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝c2，log4＝1，log8(a＋b－c)＝，求实数a，b，c的值． 解：由log4＝1得1＋＝4，即b＋c＝3a， 由log8(a＋b－c)＝得a＋b－c＝8＝4， 又a2＋b2＝c2，所以a＝6，b＝8，c＝10. 学科网（北京）股份有限公司 $$