第二章 重点题型强化（二） 不等式恒成立、能成立问题-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

重点题型强化（二） 不等式恒成立、能成立问题 　 第二章　一元二次函数、方程和不等式 1.能用判别式法、数形结合法、分离参数法与主参换位法解不等式恒(能) 成立问题．　 2.解决不等式恒成立、能成立问题的方法灵活多变，需根据具体的条件求 解，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养． 方法一　“Δ”法解决R上的恒成立问题 已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围． 解：当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意． 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立， 所以其图象都在x轴的下方， 即开口向下，且与x轴无交点． 所以 解得－1<k<0. 综上，实数k的取值范围是{k|－1<k≤0}． 例1 规律方法 元二次不等式在R上恒成立 规律方法 提醒 若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0.　　 对点练1.若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2≤0的解集为R，则实数k的取值范围是 当k＝0时，－2≤0恒成立，符合题意；当k≠0时，需满足k<0且 9k2－4k(k－2)＝5k2＋8k≤0，得－ ≤k<0.综上，实数k的取值范围是 .故选D. √ 方法二　数形结合法解决给定范围内的恒成立问题 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围． 解：令y＝x2＋mx＋4， 因为y<0在1≤x≤2上恒成立， 所以y＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，可得 解得m<－5， 所以实数m的取值范围是{m|m<－5}． 例2 规律方法 在给定范围内的恒成立问题 1．当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. 2．当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.　 对点练2.命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 A．a≥4 B．a≥5 C．a≤4 D．a≤5 √ 因为命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”是真命题，所以当1≤x≤2时，a≥x2恒成立，所以a≥4，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.故选B. 方法三　主参换位法解决已知参数范围的恒成立问题 已知 ≤m≤3，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，求x的取值范围． 解：因为 ≤m≤3时，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立， 则m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立． 当x＝2时，不等式不成立，故x≠2. 令y＝m(x－2)＋(x－2)2，m为自变量， 且 ≤m≤3，则其函数图象是一条线段， 例3 故对 ≤m≤3时，y>0恒成立等价于 解得x>2，或x<－1. 所以实数x的取值范围是{x|x>2，或x<－1}． 规律方法 1．在解含有参数的不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，则可以得到意想不到的效果． 2．此题中，y＝m(x－2)＋(x－2)2， ≤m≤3表示一条线段，数形 结合转化为端点函数值大于0，避免了分类讨论． 对点练3.对任意1≤m≤2，函数y＝mx2－mx＋m－6的值恒小于0，求实数x的取值范围． 解：y＝mx2－mx＋m－6＝(x2－x＋1)·m－6，依题意知，当1≤m≤2时，y<0恒成立． 因为x2－x＋1>0， 所以y是关于m的一次函数，且在1≤m≤2上随m的增大而增大，所以y<0对1≤m≤2恒成立等价于y的最大值小于0，即2(x2－x＋1)－6<0， 则x2－x－2<0，解得－1<x<2. 因此x的取值范围是{x|－1<x<2}． 方法四　数形结合法解决能成立问题 当1<x<2时，关于x的不等式x2＋mx＋4>0有解，则实数m的取值范围为____________． 例4 {m|m>－5} 记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4>0(1<x<2)有解，即m＋5>0，或22＋2m＋4>0，解得m>－5. 规律方法 不等式的能成立问题 1．结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决． 2．对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围． 对点练4.若存在x∈R，使得 ≥2成立，求实数m的取值范围． 解：因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， 所以4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， 所以m≥2x2－8x＋6能成立， 又2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，所以m≥－2， 所以实数m的取值范围为{m|m≥－2}． 随堂演练 返回 1．若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是 A．m≥2 B．m≤－2 C．m≤－2，或m≥2 D．－2≤m≤2 不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2，所以实数m的取值范围是－2≤m≤2.故选D. √ 2．已知1≤x≤2，x2－ax>0恒成立，则实数a的取值范围是 A．a≥1 B．a>1 C．a≤1 D．a<1 因为1≤x≤2，故x>0，故x2－ax>0在1≤x≤2上恒成立等价于x－a>0在1≤x≤2上恒成立，故1－a>0，即a<1.故选D. √ 3．关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是_________ ________． {m|m≤－2， 或m≥2} 依题意x2－mx＋1≤0有解，所以Δ＝m2－4≥0，解得m≥2，或m≤－2. 4．对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立，则x的取值范围是__________________． {x|x>3，或x<－1} x2＋px>4x＋p－3⇔(x－1)p＋x2－4x＋3>0.设y＝(x－1)p＋x2－4x＋3，0≤p≤4表示一条线段，依题意，当0≤p≤4时，y>0恒成立，则 解得x>3，或x<－1. 返回 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 一 元 二 次 函 数 、 方 程 和 不 等 式 返回 1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足 2．ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足 3．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足 4．ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足 A． B． C． D． $$