3.1.1 第1课时 函数的概念(一)-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

3．1　函数的概念及其表示 3．1.1　函数的概念 第1课时　函数的概念(一) [学习目标]　1.理解函数的概念，培养数学抽象核心素养．　2.会求函数的定义域，培养数学运算核心素养． 已知集合A＝{2 022，2 023，2 024}，B＝{0.07，0.08，0.06}，x与y的对应关系如下表： x 2 022 2 023 2 024 y 0.07 0.08 0.06 问题1.该例中，集合A，B有什么特点？ 提示：A，B为非空数集． 问题2.按照给出的x与y的对应关系，对于A中的任意一个实数，在B中是否都有与之对应的实数？与之对应的实数是否唯一？ 提示：B中都有实数与之对应；对应的实数是唯一的． 函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的 y的值的集合 {f(x)|x∈A} [微思考]　在函数的概念中，集合B是函数的值域吗？ 提示：不是．值域是集合B的子集． [微提醒]　(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．(2)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系．(3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数． (1)下列图形中不能表示y是x的函数的是(　　) (2)(多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的是(　　) A．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：x→y＝|x| B．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2 C．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：x→y2＝x D．A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0 答案：(1)A　(2)ABD 解析：(1)选项A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故选项A中的图形不是函数图象，其余B，C，D均符合函数定义．故选A. (2)选项A、B、D中对集合A中任意实数x，按给定的对应关系f，在集合B中都有唯一实数y与之对应，因此选项A、B、D符合函数的定义．选项C中，对于A中元素1，按对应法则f，在B中有元素－1和1与之对应，不符合函数的定义．故选ABD. 1．判断一个对应关系是否为函数的方法 2．根据图形判断对应关系是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l.　　 (3)若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．　　 学生用书↓第53页 对点练1.(1)已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是(　　 ) A．y＝x2 B．y＝x＋1 C．y＝x－1 D．y＝|x| (2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列五个图形： 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：(1)D　(2)C 解析：(1)只有y＝|x|是符合题意的对应关系．故选D. (2)①中，因为在集合M中当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不能表示；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②可以表示；③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不能表示；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不能表示；⑤中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以⑤可以表示．故选C. 应用一　求函数的定义域 (链教材P65例2)求已知函数的定义域： (1)y＝·； (2)y＝(x－1)0＋. 解：(1)由题意得，⇒x＝1，所以函数的定义域为{1}． (2)由题意得，解得x＞－1且x≠1， 所以函数的定义域为{x|x＞－1，且x≠1}． 已知解析式求函数定义域的一般方法 1．如果f(x)是整式，其定义域是实数集R(通常省略不写)． 2．如果f(x)是分式，其定义域是使分母不为0的实数集合． 3．如果f(x)是二次根式(偶次根式)，其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合． 4．如果f(x)是由以上几部分式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合． 5．f(x)＝x0的定义域是{x|x∈R，且x≠0}．　　 对点练2.求下列函数的定义域： (1)y＝； (2)y＝. 解：(1)由题意得， 即 所以其定义域为. (2)根据函数有意义的条件可得，解得x＜0，且x≠－1， 所以其定义域为{x|x＜0，且x≠－1}． 应用二　求函数值 (1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为________，值域为________． (2)已知函数f(x)由下表给出，则f 的值为(　　) x x≤1 1<x<2 x≥2 f(x) 1 2 3 A．0 B．1 C．2 D．3 答案：(1){x|－2≤x≤4}　{y|－2≤y≤3} (2)D 解析：(1)根据函数y＝f(x)的图象知，定义域为{x|－2≤x≤4}，值域为{y|－2≤y≤3}． (2)因为∈{x|x≤1}，所以f ＝1，则10 f ＝10，所以f ＝f (10)．又因为10∈{x|x≥2}，所以f(10)＝3.因此f ＝3.故选D. 求函数值的方法 1．已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． 2．求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． [提醒]　求f(a)时，a必须是f(x)定义域内x的取值．　　 学生用书↓第54页 对点练3.(1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________． (2)已知函数f(x)＝－1，且f(a)＝3，则a＝________． 答案：(1)　　(2)16 解析：(1)因为f(x)＝，所以f(2)＝＝.又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6，所以f(g(2))＝f(6)＝＝. (2)因为f(x)＝－1，所以f(a)＝－1. 又因为f(a)＝3，所以－1＝3，a＝16. 应用三　创建函数关系的问题情境 (链教材P63例1)已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝2x＋； (3)f(x)＝. 解：(1)设矩形的长为x，宽为f(x)，那么f(x)＝.其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)>0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的宽. (2)设矩形的长为x，周长为f(x)，那么f(x)＝2x＋.其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)>4}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的周长2x＋. (3)设矩形的长为x，对角线长为f(x)，那么f(x)＝.其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)≥2}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的对角线长. 根据函数关系构建问题情境的策略 1．分析条件中的函数解析式，确定其函数类型、定义域、值域、对应关系． 2．从现实生活中寻找和构建合适的问题情境，必要时，可适当限制x的取值范围． 3．既要描述情境，又要描述情境中的定义域、值域和对应关系．　　 对点练4.试创建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝4 来描述． 解：y＝4是含有根式的函数，它的定义域是[0，＋∞)，值域是B＝[0，＋∞)，对应关系f把[0，＋∞)中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数4，如果对x的取值范围作出限制，如x∈(0，＋∞)，那么可以构建如下情境： 正方形的面积为x，周长为y，则y＝4， 其中x的取值范围是A＝{x|x>0}，y的取值范围是B＝{y|y＞0}，对应关系f把每一个正方形的面积x，对应到唯一确定的周长4. 知识 (1)函数的概念．(2)函数的三要素．(3)求简单函数的定义域和求值．(4)构建问题情境 方法 定义法、图象法 常见误区 函数概念的理解 1．下列从集合A到集合B的对应中不是函数的是(　　) 答案：D 解析：选项D中，对于集合A中的元素1，在集合B中有两个元素4和5与之对应，不符合函数的定义．故选D. 2．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 答案：B 解析：选项A中的定义域不是{x|－2≤x≤2}，选项C中图形不满足唯一性，选项D中的值域不是{y|0≤y≤2}，只有选项B满足题意．故选B. 3．函数y＝＋的定义域为(　　) A．{x|x<3，或x>3} B．{x|1≤x<3，或x>3} C．{x|x≥1} D．{x|x≥3} 答案：B 解析：要使原函数有意义，则解得x≥1且x≠3.所以函数y＝＋的定义域为{x|1≤x<3，或x>3}．故选B. 4．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正常数，且f[f(－1)]＝－1，那么a的值是________． 答案：1 解析：因为f(－1)＝a·(－1)2－1＝a－1，所以f[f(－1)]＝a·(a－1)2－1＝－1，所以a·(a－1)2＝0，则a＝0，或a＝1.又a>0，因此a＝1. 课时测评16　函数的概念(一) (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．下列图形中，不能作为函数图象的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答案：C 解析：C选项中，当x取小于或等于0的一个值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义．故选C. 2．函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A． B．{x|x≥－2} C． D． 答案：C 解析：依题意得解得即x≥－2，且x≠.故选C. 3．下列对应关系是从集合M到集合N的函数的是(　　) A．M＝R，N＝{x∈R|x>0}，f：x→|x| B．M＝N，N＝N*，f：x→|x－1| C．M＝{x∈R|x>0}，N＝R，f：x→x2 D．M＝R，N＝{x∈R|x≥0}，f：x→ 答案：C 解析：对于A，当集合M中x＝0时，|x|＝0，但集合N中没有0；对于B，当集合M中x＝1时，|x－1|＝0，但集合N中没有0；对于D，当集合M中x为负数时，集合N中没有元素与之对应；分析知C中对应关系是集合M到集合N的函数． 4．(新情境)托马斯说：“函数是近代数学的思想之花．”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合M＝{－1，1，2}到集合N＝{1，2，4}的函数的是(　　 ) A．y＝2x B．y＝x＋1 C．y＝|x| D．y＝x2＋1 答案：C 解析：根据题意，可知函数的定义域为M＝{－1，1，2}，对于A选项，按照对应关系y＝2x，函数的值域为E＝{－2，2，4}⃘N，故A选项错误；对于B选项，按照对应关系y＝x＋1，函数的值域为E＝{0，2，3}⃘N，故B选项错误；对于C选项，按照对应关系y＝|x|，函数的值域为E＝{1，2}⊆N，故C选项正确；对于D选项，按照对应关系y＝x2＋1，函数的值域为E＝{2，5}⃘N，故D选项错误．故选C. 5．(多选)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A到B的函数关系的是(　　 ) A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x 答案：ABC 解析：根据函数的定义知，A、B、C正确，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确．故选ABC. 6．(多选)下列函数满足f(2x)＝2f(x)的是(　　) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝2x＋1 D．f(x)＝－x 答案：ABD 解析：对于A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；对于B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；对于C，f(2x)＝4x＋1≠2f(x)；对于D，f(2x)＝－2x＝2f(x)．故选ABD. 7．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的定义域为________． 答案：{x|0<x<1，或1<x≤2} 解析：观察函数的图象，图象上所有点的横坐标构成的集合为{x|0<x<1，或1<x≤2}，即为定义域． 8. 如图，函数f(x)的图象是曲线ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0，2)，(1，0)，(3，1)，则f(f(1))的值为________． 答案：2 解析：根据图象知，f(1)＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2. 9．已知函数f(x)，g(x)分别由表给出： x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则方程g(f(x))＝3的解集为________． 答案：{1，3} 解析：根据题意，若方程g(f(x))＝3，必有f(x)＝1，则有x＝1或3，即方程g(f(x))＝3的解集为{1，3}． 10．(10分)记函数f(x)＝的定义域为A，g(x)＝(a<1)的定义域为B. (1)求A；(4分) (2)若B⊆A，求实数a的取值范围．(6分) 解：(1)由2－≥0，得≥0，解得x<－1，或x≥1，即A＝{x|x<－1，或x≥1}． (2)由(x－a－1)(2a－x)≥0， 得(x－a－1)(x－2a)≤0， 由a<1，得a＋1>2a，所以B＝{x|2a≤x≤a＋1}． 又B⊆A，所以2a≥1或a＋1<－1，即a≥，或a<－2. 又a<1，所以≤a<1，或a<－2. 故当B⊆A时，实数a的取值范围是. (11—13每小题5分，共15分) 11．已知函数y＝f(x)，则函数图象与直线x＝a的交点(　　) A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．至多有一个 答案：D 解析：根据函数的概念可知，对于定义域中的任意一个数x，都有唯一确定的函数值y与之对应．故选D. 12．已知等腰三角形ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，则此函数的定义域为____________． 答案： 解析：因为△ABC的底边长大于0，所以y＝10－2x＞0，所以x＜5.又两边之和大于第三边，所以2x＞10－2x，所以x＞，所以此函数的定义域为. 13．已知函数f(x)的定义域为A＝{1，2，3，4}，值域为B＝{7，8，9}，且对任意的x<y，恒有f(x)≤f(y)，则满足条件的不同函数共有________个． 答案：3 解析：由题意知，当1，2对应7时，3对应8，4对应9；当1对应7时，2，3对应8，4对应9；当1对应7时，2对应8，3，4对应9，所以一共有3个． 14．(10分)已知函数f (x)＝. (1)若f(a)＝2，求a的值；(4分) (2)求证：f ＝－f (x)．(6分) 解：(1)因为f(x)＝，且f(a)＝2， 所以f(a)＝＝2，即a2＝，解得a＝±. (2)证明：由已知得f ＝＝， －f(x)＝－＝， 所以f ＝－f(x)． 15．(5分)(新定义)若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数，那么与函数y＝x2，x∈{－1，0，1，2}为同族函数的有(　　) A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 答案：D 解析：由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为y＝x2，值域为{0，1，4}，定义域中0是肯定有的，正、负1至少含有一个，正、负2至少含有一个，要求的同族函数的定义域可以是{0，1，2}，{0，1，－2}，{0，－1，2}，{0，－1，－2}，{0，1，－2，2}，{0，－1，－2，2}，{0，1，－1，－2}，{0，1，－1，2，－2}，共有8种不同的情况．故选D. 16．(15分)试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝(x∈{x|x>0})来描述． 解：直角三角形的面积为6，设一条直角边长为x，另一条直角边长为y，那么y＝.其中，x的取值范围是A＝{x|x>0}，y的取值范围是B＝{y|y>0}．对应关系f把每一个直角三角形的一条直角边长x，对应到唯一确定的另一条直角边长. 学生用书↓第55页 学科网（北京）股份有限公司 $$