第二章 重点题型强化（一） 基本不等式的综合应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

重点题型强化（一） 基本不等式的综合应用 　 第二章　一元二次函数、方程和不等式 1．熟练掌握基本不等式及其变形的应用．　 2. 能构造基本不等式求最值，并求解一些综合问题，培养逻辑推理及数学 运算核心素养． 题型一　利用基本不等式求最值 方法一　巧用“1”的代换求最值 已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，求a＋b的最小值． 例1 解：因为a>0，b>0，且3a＋b＝2ab， 则a＋b的最小值为2＋ . 规律方法 常数代换通常是指“1”的代换，“1”的代换就是指凑出1，使不等式通过变形后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．　　 方法二　分离消元法求最值 例2 规律方法 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，转化为只含一个变量的最值问题．　　 方法三　换元法求最值 例2 规律方法 若题目中条件是含两个分式的求最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分别运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．　　 对点练1.(1)已知x>0，y>0，x＋8y＝xy，则x＋2y的最小值为________． 18 (2)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，x＋2y的最小值为___． 4 题型二　利用基本不等式求参数的值(范围) 已知a>0，b>0，若不等式 恒成立，则实数m的最大值等于 A．10 B．9 C．8 D．7 例3 √ 规律方法 求参数的值或取值范围的一般方法 1．分离参数，转化为求代数式的最值问题． 2．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而求得参数的值或取值范围． 3．注意等号的取舍，防止失误． 对点练2.若两个正实数x，y满足 ＝1，并且x＋2y>4＋2m恒成立，则实 数m的取值范围是_________． {m|m<2} 题型三　利用基本不等式证明不等式 例4 证明：因为a>0，b>0，c>0， 由①＋②＋③，得 又abc＝1，且a，b，c不全相等， 规律方法 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 1．策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逻辑推理，最后转化为所求证的问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“求知”．　　 2.注意事项：(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成基本不等式模型再使用． 对点练3.已知x，y都是正数，求证：(x＋y)·(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 证明：因为x，y都是正数， 所以x2>0，y2>0，x3>0，y3>0， 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3， 当且仅当x＝y时，等号成立． 随堂演练 返回 1．函数y＝ ＋x(x<3)的最大值是 A．－4 B．1 C．5 D．－1 √ 2．(多选)若实数a>0，b>0，ab＝1，则下列不等式中，正确的是 A．a＋b≥2 B． ≥2 C．a2＋b2≥2 D． ≤2 √ √ √ 3．已知x>0，y>0， ＝1，则使不等式x＋y≥m恒成立的实数m的取值范围是____________． {m|m≤16} 4．已知a，b，x，y都是正实数，且 ＝1，x2＋y2＝8，则ab与xy的大小关系是________． 返回 ab≥xy 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 一 元 二 次 函 数 、 方 程 和 不 等 式 返回 所以＋＝1， 则a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝2＋， 当且仅当＝时等号成立， 即a＝，b＝时取等号， 已知实数x，y满足xy＋3x＝3，且0<x<，求＋的最小值． 若a>0，b>0，且＋＝1，求a＋2b的最小值． 6－4 ＋≥ ＋ 已知a>0，b>0，c>0，且abc＝1，a，b，c不全相等，求证：＋＋>＋＋. ＋ ＋ 因为实数a>0，b>0，ab＝1，所以a＋b≥2＝2成立，当且仅当a＝b时等号成立，故A正确；＋≥2＝2成立，故B正确； a2＋b2≥2ab＝2成立，故C正确；＋≥2 ＝2成立，当且仅当a＝b时等号成立，故D不正确．故选ABC. ＋ ＋ $$