第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末综合提升-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

章末综合提升 探究点一　不等式及其性质 (1)若a>b，x>y，则下列不等式正确的是(　　) A．a＋x<b＋y B．ax>by C．|a|x≥|a|y D．(a－b)x<(a－b)y (2)已知0<a<，且M＝－，N＝－，则M，N的大小关系是(　　) A．M>N B．M<N C．M＝N D．不能确定 答案：(1)C　(2)A 解析：(1)因为当a≠0时，|a|>0，由x>y，得|a|x>|a|y；由a＝0时，|a|x＝|a|y.因此|a|x≥|a|y.选项A、B、D均不满足不等式性质，不正确．故选C. (2)因为0<a<，所以1＋a>0，1＋b>0，ab<1.M－N＝－－＝＋＝>0，所以M>N.故选A. 1．作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般是通分、分解因式、配方等． 2．运用不等式的性质时，要注意不等式成立的条件及其是否具有可逆性．判断不等式是否成立时，常利用特殊值法求解客观题． 对点练1.(1)若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是(　　) A．＜b B．a2＞b2 C．＞ D．a|c|＞b|c| (2)已知2<a<3，且－2<b<－1，则的取值范围是________． 答案：(1)C　(2)<<2 解析：(1)取a＝1，b＝－1，排除选项A、B；取c＝0，排除选项D；显然＞0，所以>成立．故选C. (2)因为－2<b<－1，所以1<b2<4.因为2<a<3，所以<<，所以<<2. 学生用书↓第50页 探究点二　基本不等式的应用 (1)若－4<x<1，则(　　) A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值－1 D．有最大值－1 (2)已知x>0，y>0，且＋＝，则x＋y的最小值为________． 答案：(1)D　(2)5 解析：(1)＝，又因为－4<x<1，所以x－1<0，所以－(x－1)>0，所以－≤－1，当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．所以当x＝0时，取到最大值－1.故选D. (2)由题意得，2＝1，所以x＋y＝(x＋3)＋y－3＝2[(x＋3)＋y]－3＝2＋＋＋2－3＝＋＋1≥2 ＋1＝5，当且仅当＝，且＋＝，即x＝1，y＝4时等号成立，所以x＋y的最小值为5. 利用基本不等式求最值的三种解题技巧 1．凑项：通过变换项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值，再利用基本不等式求最值．　　 2．凑系数：无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，再利用基本不等式求最值． 3．换元：分式求最值，通常直接将分子配凑后把式子转化为多项式(或将分母换元后把式子转化为多项式)，再利用基本不等式求最值． 对点练2.(1)若x>0，则x＋－的最小值是________； (2)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为________． 答案：(1)0　(2)4 解析：(1)x＋－＝x＋＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立，故x＋－的最小值是0. (2)因为2xy＝x·(2y)≤，所以8＝x＋2y＋2xy≤x＋2y＋，即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0.因为x>0，y>0，所以x＋2y≥4，当且仅当x＝2，y＝1时取等号，即x＋2y的最小值是4. 探究点三　一元二次不等式的解法 解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0. 解：原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0， 讨论a＋1与2(a－1)的大小： (1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，x>a＋1或x<2(a－1)． (2)当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，x≠4. (3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，x>2(a－1)，或x<a＋1. 综上：当a<3时，解集为{x|x>a＋1，或x<2(a－1)}， 当a＝3时，解集为{x|x≠4}， 当a>3时，解集为{x|x>2(a－1)，或x<a＋1}． 一元二次不等式的解法 1．解一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集． 2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 对点练3.(2024·江苏南京高一期末)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}． (1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0； (2)若关于x的一元二次不等式kx2－ax＋k≤0的解集为R，求实数k的取值范围． 解：(1)由题知，－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根， 所以解得a＝3， 所以不等式2x2＋(2－a)x－a>0为2x2－x－3>0，即(2x－3)(x＋1)>0， 所以x<－1或x>， 故原不等式的解集为{x|x<－1，或x>}． (2)一元二次不等式kx2－ax＋k≤0可化为kx2－3x＋k≤0， 因为其解集为R， 所以解得k≤－， 所以实数k的取值范围为. 探究点四　不等式恒成立问题 已知函数y＝x2＋ax＋3. (1)当x∈R时，y≥a恒成立，求a的取值范围； (2)当a∈[4，6]时，y≥0恒成立，求x的取值范围． 解：(1)当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立， 则Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2， 故a的取值范围为{a|－6≤a≤2}． (2)将y＝xa＋x2＋3看作关于a的一次函数， 当a∈[4，6]时，y≥0恒成立，只需在a＝4和a＝6时y≥0即可， 即⇒ 解得x≤－3－，或x≥－3＋， 故x的取值范围是{x|x≤－3－，或x≥－3＋}． 解决不等式恒成立、能成立问题的方法 1．利用一元二次不等式判别式与图形相结合． 2．分离参数法． 3．转化为最大(小)值问题． 对点练4.已知x>0，y>0，且＋＝2，若x＋2y>m2－3m－1恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．m≤－1，或m≥4 B．m≤－4，或m≥1 C．－1<m<4 D．－4<m<1 答案：C 解析：由＋＝2得2y＋x＋1＝2(x＋1)y，所以x＋1＝2xy，所以2y＝1＋，所以x＋2y＝x＋＋1≥2 ＋1＝3，当且仅当x＝1，y＝1时，等号成立，所以(x＋2y)min＝3，所以x＋2y>m2－3m－1恒成立，可化为3>m2－3m－1，即m2－3m－4<0，解得－1<m<4.故选C. 学生用书↓第51页 探究点五　构建数学模型解决实际问题 现要围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)． (1)用x表示y； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 解：(1)设矩形的另一边长为a m， 则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360，由已知得xa＝360，得a＝. 所以y＝225x＋－360＝225x＋－360(x>0)． (2)因为x>0， 所以225x＋≥2＝10 800， 所以y＝225x＋－360≥10 440，当且仅当225x＝，即x＝24时，等号成立． 故当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元． 解决实际问题的关注点 1．审题要准，初步建模． 2．设出变量，列出函数关系式． 3．根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题． 对点练5.国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%. 解：设税率调低后，国家此项税收总收入为y元， 则y＝2 400m(1＋2x%)(8－x)%＝m(1＋0.02x)(8－x)＝24m(8－x)＝m(50＋x)(8－x)＝m(－x2－42x＋400)＝－m(x2＋42x－400)(0<x≤8)． 依题意得y≥2 400m×8%×78%， 即－m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%， 整理得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2. 根据x的实际意义，所以0<x≤2. 故x的取值范围是{x|0<x≤2}． (多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 答案：BC 解析：因为x2＋y2－xy＝(x＋y)2－3xy＝1，且xy≤，所以(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－(x＋y)2＝(x＋y)2，故(x＋y)2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；由xy≤得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－，即x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立．故C正确，D错误．故选BC. (2020·江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________． 答案： 解析：由5x2y2＋y4＝1知y≠0，所以x2＝，所以x2＋y2＝＋y2＝＝＋≥2＝，当且仅当＝，即y2＝，x2＝时取“＝”．故x2＋y2的最小值为. (2020·天津卷)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________． 答案：4 解析：＋＋＝＋＝＋≥2 ＝4，当且仅当＝，即(a＋b)2＝16，亦即a＋b＝4时取等号．又因为ab＝1，所以或时取等号，所以＋＋的最小值为4. (2019·天津卷)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________． 答案：4 解析：因为x＋2y＝5，x>0，y>0，所以＝＝＝2＋≥2 ＝4，当且仅当即或时，原式取得最小值4. 单元检测卷(二)　一元二次函数、方程和不等式 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分， 共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知a＋b>0，b<0，则(　　) A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b 答案：C 解析：因为a＋b>0，b<0，所以0<－b<a，0>b>－a，所以由不等式的性质得，a>－b>b>－a.故选C. 2．已知a＝2x2＋3x＋7，b＝x2－x＋2，则(　　) A．a＝b B．a>b C．a≤b D．a<b 答案：B 解析：因为a－b＝2x2＋3x＋7－(x2－x＋2)＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0，所以a>b.故选B. 3．已知－1≤a≤3，2≤b≤4，则2a－b的取值范围是(　　 ) A．－6≤2a－b≤4 B．0≤2a－b≤10 C．－4≤2a－b≤2 D．－5≤2a－b≤1 答案：A 解析：因为－1≤a≤3，2≤b≤4，可得－2≤2a≤6，－4≤－b≤－2，所以－2－4≤2a－b≤6－2，即－6≤2a－b≤4.故选A. 4．若x>y>1，则下列四个数中最小的数是(　　 ) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为x>y>1，所以>＝1，＝>＝1，>1，<＝1，所以四个数中最小的数是.故选D. 5．已知关于x的不等式x2－4x≥m，对任意0≤x≤1恒成立，则m可取(　　) A．－1 B．－4 C．0 D．－2 答案：B 解析：令y＝x2－4x＝(x－2)2－4，又0≤x≤1，所以当x＝1时，y有最小值－3，所以m≤－3.故选B. 6．若不等式ax2＋2ax－1<0的解集为R，则a的取值范围是(　　) A．－1<a<0 B．－1≤a<0 C．－1≤a≤0 D．－1<a≤0 答案：D 解析：①当a＝0时，－1<0成立；②当a≠0时，若不等式ax2＋2ax－1<0的解集为R，则不等式ax2＋2ax－1<0在R上恒成立，则解得－1<a<0.综上，实数a的取值范围是－1<a≤0.故选D. 7．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件，那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为(　　) A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间 答案：C 解析：设售价定为每件x元，利润为y，则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，依题意有(x－8)[100－10(x－10)]＞320，即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16，所以每件售价应定为12元到16元之间．故选C. 8．已知x>0，y>0，且＋＝1，若2x＋y>m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，9) B．[7，＋∞) C．[9，＋∞) D．(－∞，7) 答案：A 解析：因为x>0，y>0，且＋＝1，则(2x＋y)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当x＝y＝3时，等号成立，即2x＋y的最小值为9，因为2x＋y>m恒成立，则m<9.故选A. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．若正实数x，y满足x＞y，则下列结论中正确的有(　　) A．xy＜y2　 B．x2＞y2 C．＞1 D．＜ 答案：BCD 解析：因为x，y为正实数且x＞y，所以xy＞y2，故A错误；因为x，y为正实数且x＞y，所以x－y＞0，x＋y＞0，所以(x－y)(x＋y)＝x2－y2＞0，即x2＞y2，故B正确；因为x，y为正实数且x＞y，所以·x＞·y，即＞1，故C正确；因为x，y为正实数且x＞y，所以x＞x－y＞0，所以＞，即＜，故D正确．故选BCD. 10．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是，则下列对于系数a，b，c的结论中，正确的是(　　) A．a<0 B．c>0 C．a＋b＋c>0 D．a－b＋c>0 答案：ABC 解析：由题意知⇒对于A，a<0，即A项正确；对于B，c＝－a>0，即B项正确；对于C，a＋b＋c＝a－a－a＝－a>0，即C项正确；对于D，a－b＋c＝a＋a－a＝a<0，即D项错误．故选ABC. 11．(2024·江苏南京高一期末)已知正数x，y满足x＋y＝2，则下列选项正确的是(　　) A．＋的最小值是4 B．－y最小值为－1 C．x2＋y2的最小值是2 D．x(y＋1)的最大值是 答案：CD 解析：对于A，因为x>0，y>0，且x＋y＝2，所以＋＝(x＋y)＝≥＝2，当且仅当＝，即x＝y＝1时，等号成立，所以＋的最小值为2，故A错误；对于B，因为x>0，y>0，且x＋y＝2，所以y＝2－x，所以－y＝＋x－2＝＋x＋1－3≥2－3＝－1，当且仅当＝x＋1，即x＝0时，等号成立，显然x＝0不成立，所以－y的最小值取不到－1，故B错误；对于C，由2≤得，x2＋y2≥2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，即x2＋y2的最小值是2，故C正确；对于D，x(y＋1)≤＝，当且仅当x＝y＋1且x＋y＝2，即x＝，y＝时，等号成立，即x(y＋1)的最大值是，故D正确．故选CD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上．) 12．设x＞0，则的最小值为________． 答案：2－1 解析：由x＞0，可得x＋1＞1. 令t＝x＋1(t＞1)，则x＝t－1，则＝＝t＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当t＝，即x＝－1时，等号成立． 13．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|1<x<2}，则不等式>1的解集为________． 答案： 解析：因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|1<x<2}，所以1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a<0，由根与系数的关系可得⇒则不等式>1可化为>1，即>1⇒>0，即(4x－2)(3x－2)<0，解得<x<，所以不等式的解集为. 14．某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是________(假设每件衬衫的售价是m)． 答案：45≤m≤65 解析：设每件衬衫提价x元，则每件衬衫的售价为m＝(40＋x)元，则每天出售衬衫的净收入为(40＋x－30)(40－x)＝(－x2＋30x＋400)元，由题可知，－x2＋30x＋400≥525，整理得(x－25)(x－5)≤0，解得5≤x≤25，所以45≤40＋x≤65，即45≤m≤65. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分13分)解下列不等式： (1)x(3－x)≤x(x＋2)－1；(5分) (2)＞1.(8分) 解：(1)原不等式可化为2x2－x－1≥0， 所以(2x＋1)(x－1)≥0， 故原不等式的解集为. (2)原不等式可化为－1＞0， 所以＞0，所以＞0，则x＜－2. 故原不等式的解集为{x|x＜－2}． 16．(本小题满分15分)(1)已知a<b<c<0，求证：>；(5分) (2)当a>1时，比较a2＋与a＋的大小，并说明理由．(10分) 解：(1)证明：－＝ ＝， 由a<b<c<0，得a－b<0，a－c<0，b－c<0，即>0，故>. (2)a2＋>a＋，理由如下： a2＋－＝a2＋－a－＝a(a－1)－＝(a－1)·＝(a－1)2·， 因为a>1，所以(a－1)2·>0， 所以a2＋>a＋. 17．(本小题满分15分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)只能同时满足下列三个条件中的两个：①y<0的解集为{x|－1<x<3}；②a＝－1；③y的最小值为－4. (1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求a，b，c的值；(5分) (2)求关于x的不等式y≥(m－2)x＋2m2－3(m∈R)的解集．(10分) 解：(1)假设条件①②符合题意． 因为a＝－1，二次函数图象开口向下， 所以y<0的解集不可能为{x|－1<x<3}，不满足题意． 假设条件②③符合题意． 由a＝－1，知二次函数图象开口向下，y无最小值，不满足题意． 所以满足题意的条件为①③. 因为不等式y<0的解集为{x|－1<x<3}， 所以－1，3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根， 所以－1＋3＝2＝－，－1×3＝， 即b＝－2a，c＝－3a. 所以函数y＝ax2＋bx＋c在x＝－＝1处取得最小值， 所以a＋b＋c＝－4a＝－4，即a＝1， 所以b＝－2，c＝－3. (2)由(1)知y＝x2－2x－3，则y≥(m－2)x＋2m2－3，即x2－mx－2m2≥0， 即(x＋m)(x－2m)≥0. 所以当m<0时，不等式的解集为{x|x≤2m，或x≥－m}； 当m＝0时，不等式的解集为R； 当m>0时，不等式的解集为{x|x≥2m，或x≤－m}． 综上，当m<0时，不等式的解集为{x|x≤2m，或x≥－m}； 当m＝0时，不等式的解集为R； 当m>0时，不等式的解集为{x|x≥2m，或x≤－m}． 18．(本小题满分17分)某服装厂拟在2024年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)m万件与年促销费用x(0≤x≤10)万元满足m＝3－.已知2024年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的促销价规定为每件产品年平均成本的2倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)． (1)将2024年该产品的利润y元表示为年促销费用x万元的函数；(7分) (2)该服装厂2024年的促销费用投入多少万元时，利润最大？(10分) 解：(1)由题意知每件产品的销售价格为2×，所以y＝m×－(8＋16m＋x)＝8＋16m－x＝8＋16×－x＝56－－x， 即y＝56－－x(0≤x≤10)． (2)由题知y＝56－－x＝57－≤57－2 ＝49，当且仅当＝x＋1，即x＝3时等号成立． 故该服装厂2024年的促销费用投入3万元时，利润最大． 19．(本小题满分17分)定义：函数y＝ax2－(2a－1)x＋2满足y≥kx(k为常数)成立的x的取值范围所构成的集合称为函数y的“k倍集合”． (1)若函数y的“1倍集合”为R，求实数a的取值范围；(7分) (2)若a>0，求函数y的“2倍集合”．(10分) 解：(1)因为函数y的“1倍集合”为R， 所以y≥x对x∈R恒成立， 即ax2－2ax＋2≥0对x∈R恒成立． 当a＝0时，上式显然成立； 当a≠0时，由题意得 解得0<a≤2， 综上，实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}． (2)由已知可得y≥2x，即ax2－(2a－1)x＋2≥2x， 所以ax2－(2a＋1)x＋2≥0， 所以(ax－1)(x－2)≥0， 因为a>0，所以当a>时，<2，原不等式的解集为； 当a＝时，＝2，原不等式的解集为R； 当0<a<时，>2，原不等式的解集为. 综上所述，当a>时，函数y的“2倍集合”为， 当a＝时，函数y的“2倍集合”为R， 当0<a<时，函数y的“2倍集合”为. 学生用书↓第52页 学科网（北京）股份有限公司 $$