2.3 第1课时 一元二次不等式及其解法-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第1课时　一元二次不等式及其解法 　 第二章　2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 学习目标 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的 关系．　 2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一 元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．　 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、 方程的联系，体会数形结合的思想方法，培养数学运算核心 素养． 知识点一　一元二次不等式的概念 1 知识点二　二次函数与一元二次方程、不等式 之间的关系 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　一元二次不等式的概念 返回 给出下面四个不等式： (1)x2－x－6>0；(2)x2－x－6≤0； (3)x2－4x＋4≥0；(4)2x2＋x＋5<0. 问题1.以上四个不等式中，每个不等式含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？ 提示：每个不等式含有一个未知数；未知数的最高次数是2. 问题导思 新知构建 定义 只含有一个________，并且未知数的最高次数是___的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，其中a≠0，a，b，c均为常数 未知数 2 下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0； ②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________(填序号)． 例1 由一元二次不等式的定义知，符合要求的有②、④. ②④ 规律方法 一元二次不等式概念中的关键词 1．一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)． 2．二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0. 对点练1.(多选)下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是 A．x＋ <－1 B．x2＋mx－1>0 C．x3＋ ＋1<0 D．x2<1 由于x＋ <－1和x3＋ ＋1<0不满足一元二次不等式的定义，故A、C错 误；选项B、D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故B、D正确．故选BD. √ √ 返回 知识点二　二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系 返回 下表是二次函数y＝x2－x－6的一些对应值表，抛物线是其图象． x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 问题2.根据图表，你能说出一元二次方程x2－x－6＝0的解吗？你能说出一元二次不等式x2－x－6>0与x2－x－6≤0的解集吗？ 提示：x1＝－2或x2＝3；{x|x<－2或x>3}，{x|－2≤x≤3}． 问题导思 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使_______________的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的______． 新知构建 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点就是该函数图象与x轴的交点吗？ 提示：不是．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点是该函数图象与x轴交点的横坐标． 微思考 ax2＋bx＋c＝0 零点 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0) 的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0) 的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集 ________________ ______________ ____ ax2＋bx＋c<0(a>0) 的解集 __________________ ____ ____ {x|x<x1，或x>x2} R {x|x1<x<x2} ∅ ∅ (链教材P52例1、例2、例3)求下列不等式的解集： (1)2x2＋5x－3<0； 解：Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝ ， 作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示． 由图可得原不等式的解集为 . 例2 (2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2＋4x＋1>0； 解：因为Δ＝0，所以方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－ .作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示． 由图可得原不等式的解集为 . (4)－x2＋6x－10>0. 解：原不等式可化为x2－6x＋10<0， 因为Δ＝－4<0， 所以方程x2－6x＋10＝0无实根， 所以原不等式的解集为∅. 规律方法 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 第一步(化标准)：通过对不等式变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正； 第二步(判别式)：对不等式左侧进行因式分解，若不易分解，则计算相应方程的判别式； 第三步(求实根)：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； 第四步(画图象)：根据一元二次方程根的情况画出相应的二次函数的图象； 第五步(写解集)：根据图象写出不等式的解集． 对点练2.求下列不等式的解集： (1)x2＋x<0； 解：不等式x2＋x<0可化为x(x＋1)<0， 解得－1<x<0， 所以不等式的解集为{x|－1<x<0}． (2)4x2－4x＋1>0； 解：易知方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝ .作出函数y＝4x2－4x＋1的图象，如图所示． 由图可得原不等式的解集为 . (3)x2－3x＋2>0. 解：不等式x2－3x＋2>0可化为(x－1)(x－2)>0， 解得x<1，或x>2. 所以不等式的解集为{x|x<1，或x>2}． 返回 综合应用 返回 含参数的一元二次不等式的解法 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.(a<1) 解：①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1； 例3 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}； 规律方法 解含参数的一元二次不等式的步骤 提醒　求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算． 对点练3. 解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a<0. 解：方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a) x－a的图象开口向上，则： 当a<－1时，原不等式的解集为{x|a<x<－1}； 当a＝－1时，原不等式的解集为∅； 当a>－1时，原不等式的解集为{x|－1<x<a}． 返回 课堂小结 知识 (1)一元二次不等式的概念及解法．(2)含参的一元二次不等式的解法 方法 数形结合法、分类讨论法 常见误区 解含参数的二次不等式时找不到分类讨论的标准 随堂演练 返回 1．下列不等式：①x2>0；②－x2－x≤5；③ax2>2；④x3＋5x－6>0； ⑤mx2－5y<0；⑥ax2＋bx＋c>0.其中是一元二次不等式的有 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 根据一元二次不等式的定义，只有①②满足．故选D. √ 2．不等式3x2－2x＋1>0的解集为 C．∅ D．R 因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R.故选D. √ 3．不等式6－x－2x2<0的解集是________________． 4．若0<m<1，则不等式(x－m) <0的解集为___________． 返回 课时测评 返回 1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集是 －2x2＋x＋3<0，即2x2－x－3>0，即(2x－3)(x＋1)>0，所以x<－1，或 x> .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．不等式x(x－2)<0成立的一个充分不必要条件是 A．0<x≤2 B．0<x<2 C．0<x<1 D．x≤0 √ 由x(x－2)<0，解得0<x<2，即不等式x(x－2)<0的解集为{x|0<x<2}．由题意可得不等式x(x－2)<0成立的一个充分不必要条件应为{x|0<x<2}的真子集．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是 √ 不等式(x＋5)(3－2x)≥6可化为2x2＋7x－9≤0，即(x－1)(2x＋9)≤0，解 得－ ≤x≤1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(多选)下列不等式中解集是R的是 A．－x2＋x－1<0 B．4x2＋4x＋1≥0 C．x2－5x＋6>0 D．(a2＋1)x2＋ax－1>0 －x2＋x－1<0⇔x2－x＋1>0，Δ＝1－4<0，所以A中不等式的解集为R；4x2＋4x＋1≥0⇔(2x＋1)2≥0⇔x∈R，B中不等式的解集为R；不等式 x2－5x＋6>0中Δ＝25－4×6＝1>0，所以C中不等式的解集不是R；不等式(a2＋1)x2＋ax－1>0中Δ＝a2－4(a2＋1)×(－1)＝5a2＋4>0，所以D中不等式的解集不是R.故选AB. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)若方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根x1，x2且x1<x2，则 A．当a>0时，不等式ax2＋2x＋1<0的解集为{x|x1<x<x2} B．当a>0时，不等式ax2＋2x＋1<0的解集为{x|x<x1或x>x2} C．若不等式ax2＋2x＋1>0的解集为{x|x1<x<x2}，则x1>0 D．若不等式ax2＋2x＋1>0的解集为{x|x1<x<x2}，则x2>0 √ √ 当a>0时，函数y＝ax2＋2x＋1的图象开口向上，所以不等式ax2＋2x＋1<0的解集为{x|x1<x<x2}，故A正确，B错误；若不等式ax2＋2x＋1>0的解集为{x|x1<x<x2}，则a<0，函数y＝ax2＋2x＋1的图象开口向下．又函数y＝ax2＋2x＋1的图象过定点(0，1)，则x1<0，x2>0，故C错误，D正确．故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．使式子 有意义的实数x的取值范围是____________． {x|－1<x<0} 分析知应使－x2－x>0，即x2＋x<0，所以－1<x<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则集合(∁RS)∪T＝________． 因为T＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1}，S＝{x|x>－2}，则∁RS＝{x|x≤－2}，(∁RS)∪T＝{x|x≤1}． {x|x≤1} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是_____________________． {x|x<5a，或x>－a} 方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a，5a.因为2a＋1<0，所以a<－ ，所以 －a>5a.结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x|x<5a，或x>－a}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)求下列不等式的解集： (1)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)；(4分) 解：由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2， 所以原不等式等价于9x2－12x＋4>0， 解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝ . 结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知， 原不等式的解集为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)0≤x2－2x－3<5.(6分) 解：由x2－2x－3≥0得x≤－1或x≥3； 由x2－2x－3<5得－2<x<4.所以－2<x≤－1，或3≤x<4. 所以原不等式的解集为{x|－2<x≤－1，或3≤x<4}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．(多选)解关于x的不等式：ax2＋(2－4a)x－8>0，下列说法正确的是 A．当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4} B．当a>0时，不等式的解集为 C．当a＝－ 时，不等式的解集为R D．当a＝－1时，不等式的解集为{x|2<x<4} √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 不等式ax2＋(2－4a)x－8>0可化为(ax＋2)(x－4)>0，当a＝0时，不等式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(新定义)在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙ (x－2)<0的实数x的取值范围为 A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－2，或x>1} D．{x|－1<x<2} √ 根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝ (x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是 {x|－2<x<1}．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．若a<0，则关于x的不等式a(x＋1)· <0的解集为 _____________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(10分)已知ax2＋2ax＋1≥0恒成立． (1)求a的取值范围；(4分) 解：因为ax2＋2ax＋1≥0恒成立， ①当a＝0时，1≥0恒成立； ②当a≠0时，则 解得0<a≤1. 综上，a的取值范围为{a|0≤a≤1}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.(6分) 解：由x2－x－a2＋a<0， 得(x－a)[x－(1－a)]<0. 因为0≤a≤1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综上所述，当0≤a< 时，解集为{x|a＜x＜1－a}； 当a＝ 时，解集为∅； 当 <a≤1时，解集为{x|1－a＜x＜a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A⊆{x|1≤x≤3}，则a的取值范围为_______________． 设y＝x2－2ax＋a＋2，因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A⊆{x|1≤x≤3}，所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0，若A＝∅，则Δ＝4a2－4(a＋2)<0，即a2－a－2<0，解得－1<a<2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(15分)解关于x的不等式x2－2ax＋2≤0. 解：因为Δ＝4a2－8，所以当Δ<0，即－ <a< 时，原不等式对应的方程无实根，又二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅； 当Δ＝0，即a＝± 时，原不等式对应的方程有两个相等实根． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 一 元 二 次 函 数 、 方 程 和 不 等 式 返回 综上可知，当a<0时，不等式的解集为； A．{x|x<－1} B． C． D． A． B． C． D． 4．若t>1，则关于x的不等式(t－x)>0的解集是 A． B． C． D． $$