2.3 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

第2课时　二次函数与一元二次方程、不等式的应用 [学习目标]　1.熟练掌握分式不等式的解法．　2.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系．　3.构建一元二次函数模型，解决实际问题，培养数学建模核心素养． 题型一　解分式不等式 解下列不等式：(1)≥0；(2)＞4. 解：(1)不等式≥0等价于 解不等式组得－1≤x＜3. 故原不等式的解集为{x|－1≤x＜3}． (2)不等式＞4等价于－4＞0， 即＞0，整理得＞0. 即解不等式得x＜－1，或x＞3. 故原不等式的解集为{x|x＜－1，或x＞3}． 简单分式不等式的解法 1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． 2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 对点练1.解不等式：(1)<0；(2)≤1. 解：(1)<0⇔(2x＋1)(1－x)<0， 不等式等价于(x－1)>0， 解得x>1，或x<－. 故原不等式的解集为. (2)因为≤1，所以－1≤0， 所以≤0， 则(4－x)(2x－3)≤0且2x≠3， 所以(x－4)≥0且x≠， 从而x<或x≥4. 故原不等式的解集为. 学生用书↓第45页 题型二　二次函数与一元二次方程、 不等式间的关系及应用 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 解：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6，故＝－， 又由a<0知c<0，故不等式cx2＋bx＋a<0， 即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<，或x>， 所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为. [变式探究]　1.(变设问)若本例中条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集． 解：由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0. 所以c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0， 即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0， 解得－<x<－， 故原不等式的解集为. 2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}”变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是”．求不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 解：法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a<0，且－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，所以×2＝<0，－＋2＝－.所以b＝－a，c＝－a， 所以不等式cx2＋bx＋a<0变为x2＋x＋a<0，即2ax2＋5ax－3a>0. 又因为a<0，所以2x2＋5x－3<0， 故所求不等式的解集为. 法二：由已知得a<0 且＋2＝－，×2＝知c>0， 设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝， 其中＝＝－，－＝＝＝－，所以x1＝－3，x2＝. 所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为. 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循： 1．根据解集来判断二次项系数的符号． 2．根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式． 3．约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 对点练2.关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是________． 答案：{m|m<0} 解析：因为不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，所以方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，且解得m<0，所以m的取值范围是{m|m<0}． 题型三　一元二次不等式的实际应用 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解：(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)＝(0.2－0.1x)(1＋0.6x)×1 000(0<x<1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1)． (2)要保证本年度的利润比上年度有所增加， 当且仅当 即解不等式组，得0<x<， 所以为使本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为. 学生用书↓第46页 解不等式应用题的步骤 对点练3.在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，两车驾驶员发现情况不对时，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，且甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系s甲＝0.1x甲＋0.01x，s乙＝0.05x乙＋0.005x.问谁超速行驶应负主要责任？ 解：由题意，列出不等式s甲＝0.1x甲＋0.01x>12， s乙＝0.05x乙＋0.005x>10， 分别求解，得x甲<－40，或x甲>30， x乙<－50，或x乙>40. 由于x>0，从而得x甲>30，x乙>40. 经比较，知乙车超过限速，故乙车驾驶员应负主要责任． 知识 (1)简单的分式不等式的解法．(2)二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用．(3)一元二次不等式的实际应用 方法 转化法、恒等变形法 常见误区 (1)解分式不等式要等价变形．(2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义 1．不等式≥0的解集为(　　) A．{x|0≤x≤1} B．{x|0<x≤1} C．{x|x≤0，或x≥1} D．{x|x<0，或x≥1} 答案：B 解析：原不等式可化为解得故其解集为{x|0<x≤1}．故选B. 2．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1}，那么不等式cx2－ax＋b>0的解集为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1}，所以a<0，且－2和1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实根，所以－2＋1＝－，－2×1＝，即c＝－2a，b＝a，所以不等式cx2－ax＋b>0可化为－2ax2－ax＋a>0，因为a<0，所以2x2＋x－1>0，即(2x－1)(x＋1)>0，解得x>，或x<－1.故选D. 3．若不等式ax2－3x－b<0的解集为{x|－1<x<4}，则＋＝________． 答案： 解析：由题意得x＝－1，x＝4是方程ax2－3x－b＝0的两个根，所以⇒a＝1，b＝4，所以＋＝1＋＝. 4．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量y2与时间t的关系式是y2＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的取值范围为____________． 答案：{t|10≤t≤15，t∈N} 解析：z＝(t＋10)(－t＋35)，依题意有(t＋10)·(－t＋35)≥500，即t2－25t＋150≤0，解得10≤t≤15，t∈N，所以t的取值范围为{t|10≤t≤15，t∈N}． 课时测评15　二次函数与一元二次方程、不等式的应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．不等式≥1的解集是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：≥1⇔≥0，所以(4x－3)(x－2)≤0且x≠2，解得≤x<2，则原不等式的解集为.故选B. 2．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为(　　) A．{x|x>1，或x<－2} B．{x|1<x<2} C．{x|x>2，或x<－1} D．{x|－1<x<2} 答案：C 解析：因为ax－b>0的解集为{x|x>1}，所以a>0，且a＝b.故＝>0，等价于(x＋1)(x－2)>0，所以x>2，或x<－1.故选C. 3．关于x的不等式＜0的解集为M，若0∈M，则实数m的取值范围是(　　) A．m＜0 B．m＞0 C．m≠0 D．不确定 答案：B 解析：因为0∈M，所以代入不等式＜0得：－m＜0，即m＞0.故选B. 4．某服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)的关系为p＝300－2x；生产x件的成本r＝500＋30x元，为使月获利不少于8 600元，则月产量x需满足(　　) A．55≤x≤60 B．60≤x≤65 C．65≤x≤70 D．70≤x≤75 答案：C 解析：由题意可得(300－2x)x－(500＋30x)≥8 600，即x2－135x＋4 550≤0，则(x－65)(x－70)≤0，故65≤x≤70.故选C. 5．若a>0，b>0，则不等式－b<<a的解集为(　　 ) A． B． C． D． 答案：A 解析：原不等式可化为即可得故不等式的解集为.故选A. 6．(多选)若不等式ax2－bx＋c>0的解集是{x|－1<x<2}，则下列选项正确的是(　　) A．b<0且c>0 B．a－b＋c>0 C．a＋b＋c>0 D．不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1} 答案：ABD 解析：对于A，依题意知a<0，－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝，－1×2＝，所以b＝a，c＝－2a，所以b<0，c>0，所以A正确；对于B，由题意可知当x＝1时不等式成立，a－b＋c>0，所以B正确；对于C，当x＝－1时ax2－bx＋c＝0，即a＋b＋c＝0，所以C错误；对于D，由题得ax2＋bx＋c＞0可化为ax2＋ax－2a>0，因为a<0，所以x2＋x－2<0，所以－2<x<1，所以不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，所以D正确．故选ABD. 7．不等式≥0的解集是{x|－1≤x＜5}，则a的值为________． 答案：5 解析：由于原不等式等价于因此结合不等式解集知a＝5. 8．(新设问)写出一个一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件________． 答案：a＜－1(答案不唯一) 解析：因为ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正实数根和一个负实数根，设为x1，x2，所以Δ＝4－4a>0，x1x2＜0，即a＜0，故只需写出一个比a＜0范围小的范围即可． 9．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则ax2－bx＋c>0的解集为________． 答案： 解析：由题意知，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a<0，故解得所以不等式ax2－bx＋c>0，即为2x2－5x＋2<0，解得<x<2，即不等式ax2－bx＋c>0的解集为. 10．(10分)已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为. (1)求a，c的值；(4分) (2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.(6分) 解：(1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和， 由根与系数的关系，得 解得a＝－6，c＝－1. (2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0， 即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1， 所以所求不等式的解集为. (11—13每小题5分，共15分) 11．如果关于x的不等式＞0的解集是{x|－1＜x＜3}，则不等式＜0的解集是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为＞0等价于(ax－1)(x＋b)＞0，而(ax－1)(x＋b)＝0的两根为，－b，因为不等式解集为{x|－1＜x＜3}，故可得a＜0，且＝－1，－b＝3，则a＝－1，b＝－3，则＜0即＜0，等价于(2x＋3)(2x－1)＞0，故所求不等式的解集为.故选B. 12．(新定义)已知定义在R上的运算“⊗”：x⊗y＝x(1－y)，关于x的不等式(x－a)⊗(x＋a)＞0，当a＝2时，不等式的解集为________________． 答案：{x|－1＜x＜2} 解析：当a＝2时，不等式(x－a) ⊗(x＋a)＞0即为(x－2)(1－x－2)＞0，即(x－2)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜2. 13．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x的最小值为________． 答案：20 解析：由题意得七月份的销售额为500(1＋x%)万元，八月份的销售额为500(1＋x%)2万元，所以3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，即25(1＋x%)2＋25(1＋x%)－66≥0，解得1＋x%≤－(舍去)，或1＋x%≥，即x%≥20%，所以x的最小值为20. 14．(10分)某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入(单位：万元)的函数为R＝5x－x2(0≤x≤5)，其中x是产品生产并售出的数量(单位：百台)． (1)把利润表示为产量的函数；(4分) (2)产量为多少时，企业才不亏本(不赔钱)．(6分) 解：(1)设利润为y万元，当0≤x≤5时，y＝5x－x2－0.25x－0.5＝－x2＋x－， 当x>5时，y＝5×5－×52－0.25x－0.5＝12－x，故y＝ (2)要使企业不亏本，则y≥0. 即或解得0.11≤x≤5或5<x≤48，即0.11≤x≤48. 即年产量在11台到4 800台之间时，企业不亏本． 15．(5分)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是(　　 ) A．13 B．18 C．21 D．26 答案：C 解析：设y＝x2－6x＋a，如图，其图象为开口向上，对称轴为x＝3的抛物线，根据题意可得Δ＝36－4a＞0，解得a＜9，因为y≤0的解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得解得5＜a≤8，又a∈Z，所以a＝6，7，8，所以符合题意的a的值之和为6＋7＋8＝21.故选C. 16．(15分)某台风中心B位于海港城市A南偏东60°的方向，与A市相距400 km.该台风中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受台风影响，大约受影响多长时间？ 解：如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系． 因为AB＝400，∠BAx＝30°， 所以台风中心B的坐标为(200，－200)，x h后台风中心B到达点P(200，40x－200)处． 由已知，A市受台风影响时，有AP≤350， 即(200)2＋(40x－200)2≤3502， 整理得16x2－160x＋375≤0， 解这个不等式得3.75≤x≤6.25， A市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h)． 故在3.75 h后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5 h. 学生用书↓第47页 学科网（北京）股份有限公司 $$