2.3 第1课时 一元二次不等式及其解法-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　一元二次不等式及其解法 [学习目标]　1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系．　2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．　3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数形结合的思想方法，培养数学运算核心素养． 知识点一　一元二次不等式的概念 给出下面四个不等式： (1)x2－x－6>0；(2)x2－x－6≤0； (3)x2－4x＋4≥0；(4)2x2＋x＋5<0. 问题1.以上四个不等式中，每个不等式含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？ 提示：每个不等式含有一个未知数；未知数的最高次数是2. 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，其中a≠0，a，b，c均为常数 下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0； ②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________(填序号)． 答案：②④ 解析：由一元二次不等式的定义知，符合要求的有②、④. 一元二次不等式概念中的关键词 1．一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)． 2．二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0. 对点练1.(多选)下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是(　　) A．x＋<－1 B．x2＋mx－1>0 C．x3＋＋1<0 D．x2<1 答案：BD 解析：由于x＋<－1和x3＋＋1<0不满足一元二次不等式的定义，故A、C错误；选项B、D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故B、D正确．故选BD. 知识点二　二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系 下表是二次函数y＝x2－x－6的一些对应值表，抛物线是其图象． x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 问题2.根据图表，你能说出一元二次方程x2－x－6＝0的解吗？你能说出一元二次不等式x2－x－6>0与x2－x－6≤0的解集吗？ 提示：x1＝－2或x2＝3；{x|x<－2或x>3}，{x|－2≤x≤3}． 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 学生用书↓第43页 [微思考]　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点就是该函数图象与x轴的交点吗？ 提示：不是．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点是该函数图象与x轴交点的横坐标． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0) 的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0) 的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0) 的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ (链教材P52例1、例2、例3)求下列不等式的解集： (1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2＋4x＋1>0； (4)－x2＋6x－10>0. 解：(1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝， 作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示． 由图可得原不等式的解集为. (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝， 作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为. (3)因为Δ＝0，所以方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示． 由图可得原不等式的解集为. (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0， 因为Δ＝－4<0， 所以方程x2－6x＋10＝0无实根， 所以原不等式的解集为∅. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 第一步(化标准)：通过对不等式变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正； 第二步(判别式)：对不等式左侧进行因式分解，若不易分解，则计算相应方程的判别式； 第三步(求实根)：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； 第四步(画图象)：根据一元二次方程根的情况画出相应的二次函数的图象； 第五步(写解集)：根据图象写出不等式的解集． 对点练2.求下列不等式的解集： (1)x2＋x<0； (2)4x2－4x＋1>0； (3)x2－3x＋2>0. 解：(1)不等式x2＋x<0可化为x(x＋1)<0， 解得－1<x<0， 所以不等式的解集为{x|－1<x<0}． (2)易知方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝.作出函数y＝4x2－4x＋1的图象，如图所示． 由图可得原不等式的解集为. (3)不等式x2－3x＋2>0可化为(x－1)(x－2)>0， 解得x<1，或x>2. 所以不等式的解集为{x|x<1，或x>2}． 含参数的一元二次不等式的解法 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.(a<1) 解：①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1； ②当a<0时，原不等式化为(x－1)>0，解得x<，或x>1； ③当0<a<1时，即>1，解得1<x<. 综上可知，当a<0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，不等式的解集为. 解含参数的一元二次不等式的步骤 [提醒]　求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算． 学生用书↓第44页 对点练3.解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a<0. 解：方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则： 当a<－1时，原不等式的解集为{x|a<x<－1}； 当a＝－1时，原不等式的解集为∅； 当a>－1时，原不等式的解集为{x|－1<x<a}． 知识 (1)一元二次不等式的概念及解法．(2)含参的一元二次不等式的解法 方法 数形结合法、分类讨论法 常见误区 解含参数的二次不等式时找不到分类讨论的标准 1．下列不等式：①x2>0；②－x2－x≤5；③ax2>2；④x3＋5x－6>0；⑤mx2－5y<0；⑥ax2＋bx＋c>0.其中是一元二次不等式的有(　　) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 答案：D 解析：根据一元二次不等式的定义，只有①②满足．故选D. 2．不等式3x2－2x＋1>0的解集为(　　) A． B． C．∅ D．R 答案：D 解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R.故选D. 3．不等式6－x－2x2<0的解集是________________． 答案： 解析：不等式可变形为2x2＋x－6>0，又方程2x2＋x－6＝0的两根为x1＝，x2＝－2，所以不等式的解集为. 4．若0<m<1，则不等式(x－m)<0的解集为________． 答案： 解析：因为0<m<1，所以>1>m，故原不等式的解集为. 课时测评14　一元二次不等式及其解法 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集是(　　) A．{x|x<－1} B． C． D． 答案：D 解析：－2x2＋x＋3<0，即2x2－x－3>0，即(2x－3)(x＋1)>0，所以x<－1，或x>.故选D. 2．不等式x(x－2)<0成立的一个充分不必要条件是(　　) A．0<x≤2 B．0<x<2 C．0<x<1 D．x≤0 答案：C 解析：由x(x－2)<0，解得0<x<2，即不等式x(x－2)<0的解集为{x|0<x<2}．由题意可得不等式x(x－2)<0成立的一个充分不必要条件应为{x|0<x<2}的真子集．故选C. 3．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：不等式(x＋5)(3－2x)≥6可化为2x2＋7x－9≤0，即(x－1)(2x＋9)≤0，解得－≤x≤1.故选A. 4．若t>1，则关于x的不等式(t－x)>0的解集是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：因为t>1，所以0<<1，即<t，所以(t－x)>0⇒(x－t)<0，解得<x<t.故选A. 5．(多选)下列不等式中解集是R的是(　　) A．－x2＋x－1<0 B．4x2＋4x＋1≥0 C．x2－5x＋6>0 D．(a2＋1)x2＋ax－1>0 答案：AB 解析：－x2＋x－1<0⇔x2－x＋1>0，Δ＝1－4<0，所以A中不等式的解集为R；4x2＋4x＋1≥0⇔(2x＋1)2≥0⇔x∈R，B中不等式的解集为R；不等式x2－5x＋6>0中Δ＝25－4×6＝1>0，所以C中不等式的解集不是R；不等式(a2＋1)x2＋ax－1>0中Δ＝a2－4(a2＋1)×(－1)＝5a2＋4>0，所以D中不等式的解集不是R.故选AB. 6．(多选)若方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根x1，x2且x1<x2，则(　　) A．当a>0时，不等式ax2＋2x＋1<0的解集为{x|x1<x<x2} B．当a>0时，不等式ax2＋2x＋1<0的解集为{x|x<x1或x>x2} C．若不等式ax2＋2x＋1>0的解集为{x|x1<x<x2}，则x1>0 D．若不等式ax2＋2x＋1>0的解集为{x|x1<x<x2}，则x2>0 答案：AD 解析：当a>0时，函数y＝ax2＋2x＋1的图象开口向上，所以不等式ax2＋2x＋1<0的解集为{x|x1<x<x2}，故A正确，B错误；若不等式ax2＋2x＋1>0的解集为{x|x1<x<x2}，则a<0，函数y＝ax2＋2x＋1的图象开口向下．又函数y＝ax2＋2x＋1的图象过定点(0，1)，则x1<0，x2>0，故C错误，D正确．故选AD. 7．使式子有意义的实数x的取值范围是________． 答案：{x|－1<x<0} 解析：分析知应使－x2－x>0，即x2＋x<0，所以－1<x<0. 8．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则集合(∁RS)∪T＝________． 答案：{x|x≤1} 解析：因为T＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1}，S＝{x|x>－2}，则∁RS＝{x|x≤－2}，(∁RS)∪T＝{x|x≤1}． 9．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是________________． 答案：{x|x<5a，或x>－a} 解析：方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a，5a.因为2a＋1<0，所以a<－，所以－a>5a.结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x|x<5a，或x>－a}． 10．(10分)求下列不等式的解集： (1)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)；(4分) (2)0≤x2－2x－3<5.(6分) 解：(1)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2， 所以原不等式等价于9x2－12x＋4>0， 解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝. 结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知， 原不等式的解集为. (2)由x2－2x－3≥0得x≤－1或x≥3； 由x2－2x－3<5得－2<x<4.所以－2<x≤－1，或3≤x<4. 所以原不等式的解集为{x|－2<x≤－1，或3≤x<4}． (11—13每小题5分，共15分) 11．(多选)解关于x的不等式：ax2＋(2－4a)x－8>0，下列说法正确的是(　　) A．当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4} B．当a>0时，不等式的解集为 C．当a＝－时，不等式的解集为R D．当a＝－1时，不等式的解集为{x|2<x<4} 答案：ABD 解析：不等式ax2＋(2－4a)x－8>0可化为(ax＋2)(x－4)>0，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}，故A正确；当a>0时，不等式的解集为，故B正确；当a＝－时，不等式为x2－4x＋8<0，Δ＝(－4)2－4××8＝0，不等式的解集为空集，故C错误；当a＝－1时，不等式为x2－6x＋8<0，不等式的解集为{x|2<x<4}，故D正确．故选ABD. 12．(新定义)在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　) A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－2，或x>1} D．{x|－1<x<2} 答案：B 解析：根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是{x|－2<x<1}．故选B. 13．若a<0，则关于x的不等式a(x＋1)·<0的解集为________________． 答案： 解析：因为a<0，所以原不等式等价于(x＋1)·>0，方程(x＋1)＝0的两根为－1，－，显然－>0>－1，所以原不等式的解集为. 14．(10分)已知ax2＋2ax＋1≥0恒成立． (1)求a的取值范围；(4分) (2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.(6分) 解：(1)因为ax2＋2ax＋1≥0恒成立， ①当a＝0时，1≥0恒成立； ②当a≠0时，则 解得0<a≤1. 综上，a的取值范围为{a|0≤a≤1}． (2)由x2－x－a2＋a<0， 得(x－a)[x－(1－a)]<0. 因为0≤a≤1， 所以①当1－a>a，即0≤a<时，a<x<1－a； ②当1－a＝a，即a＝时，<0，不等式无解； ③当1－a<a，即<a≤1时，1－a<x<a. 综上所述，当0≤a<时，解集为{x|a＜x＜1－a}； 当a＝时，解集为∅； 当<a≤1时，解集为{x|1－a＜x＜a}． 15．(5分)设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A⊆{x|1≤x≤3}，则a的取值范围为__________． 答案： 解析：设y＝x2－2ax＋a＋2，因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A⊆{x|1≤x≤3}，所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0，若A＝∅，则Δ＝4a2－4(a＋2)<0，即a2－a－2<0，解得－1<a<2；若A≠∅，则 即所以2≤a≤.综上，a的取值范围为－1<a≤. 16．(15分)解关于x的不等式x2－2ax＋2≤0. 解：因为Δ＝4a2－8，所以当Δ<0，即－<a<时，原不等式对应的方程无实根，又二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅； 当Δ＝0，即a＝±时，原不等式对应的方程有两个相等实根． 当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}， 当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}； 当Δ>0，即a>或a<－时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1<x2， 所以原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}． 综上所述，当－<a<时，原不等式的解集为∅； 当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}； 当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}； 当a>或a<－时，原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}． 学科网（北京）股份有限公司 $$