2.2 第2课时 基本不等式的应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第2课时　基本不等式的应用 　 第二章　2.2 基本不等式 学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用．　 2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题．　 3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题，培养数学建 模核心素养． 课时测评 2 内容索引 随堂演练 1 题型一　应用基本不等式证明不等式 已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.求证： 例1 证明：　因为a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1， 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 当且仅当a＝b＝c＝ 时，等号成立． 变式探究 (变设问)保持本例条件不变，试证明： ≥9. ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a＝b＝c＝ 时，等号成立． 规律方法 利用基本不等式证明不等式的关键点及注意事项 1．借助基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必有“和式”或“积式”，然后利用不等式的性质与基本不等式进行转化，达到放缩的效果． 2．注意事项：(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立．(2)巧用“1”的代换证明不等式．(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，创造使用基本不等式的条件再使用．　　 因为a，b，c为不全相等的正实数， 所以等号不能取得， 题型二　基本不等式的实际应用 (链教材P47例4)小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的 长度． 解：设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y)m. 法一：由题意可知xy＝16， 所以2(x＋y)≥16， 当且仅当x＝y＝4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 例2 法二：由题意可知xy＝16，故y＝ ， 当且仅当x＝y＝4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 变式探究　(变条件，变设问)如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？ 解：由已知得2(x＋y)＝12，故x＋y＝6，面积为xy，由 ＝3，可得xy≤9， 当且仅当x＝y＝3时，等号成立． 因此，当游乐园为边长为3 m的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2. 规律方法 利用基本不等式解决实际问题的步骤 第一步：理解题意．设变量，并理解变量的实际意义； 第二步：构造定值．利用基本不等式求最值； 第三步：检验．检验等号成立的条件是否满足题意； 第四步：得出结论． 对点练2.某工厂拟建一个平面图为矩形、占地面积为200平方米、高度为1米的三段污水处理池(如图)，由于受地形限制，其长、宽都不超过18米，已知池的外壁的建造费为400元/平方米，池中两道隔墙(与宽边平行)的建造费为248元/平方米，池底的建造费为80元/平方米．设污水处理池的长为x米，总造价为y元． (1)求y的表达式； (2)污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？求 出这个最低总造价． 因此，当污水处理池长18米，宽 米时，其总造价最低，最低总造价为44 800元． 题型三　基本不等式在几何中的应用 (链教材P49T8)如图所示，设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB′交DC于点P，设AB＝x. (1)用x表示DP，并求出x的取值范围； 解：矩形ABCD(AB>BC)的周长为24， 因为AB＝x，所以AD＝ －x＝12－x， 因为AB>BC＝AD，得x>12－x，所以6<x<12， 在△APC中，∠PAC＝∠PCA，所以AP＝PC，从而得DP＝PB′， 所以AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP，在Rt△ADP中，由勾股定理得 (12－x)2＋DP2＝(x－DP)2，所以DP＝12－ (6<x<12)． 例3 (2)求△ADP面积的最大值及此时x的值． 规律方法 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 对点练3.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一 个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D 在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4米， AD＝3米，当BM＝________时，矩形花坛AMPN的面积最小． 4米 课堂小结 返回 知识 (1)基本不等式在生活中的应用．(2)基本不等式在几何中的应用 方法 配凑法 常见误区 生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围 随堂演练 返回 1．∃x>0，使得 ＋x－a≤0，则实数a的取值范围是 A．a>2 B．a≥2 C．a<2 D．a≤2 √ 2．用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为 A．9 cm2 B．16 cm2 C．4 cm2 D．5 cm2 设矩形模型的长和宽分别为x，y，则x>0，y>0，由题意可得2(x＋y)＝ 8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤ ＝4，当且仅 当x＝y＝2时，等号成立，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.故选C. √ 3．某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则 由题意得，A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，则(1＋a)(1＋b)＝(1＋x)2，因为 √ 4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩 形花园(阴影部分)，则矩形花园面积的最大值为_____． 返回 由题意设矩形花园的长为x(x>0)，宽为y(y>0)，矩形花园 的面积为xy，根据题意作图，如图，因为花园是矩形， 则△ADE与△ABC相似，所以 ，又因为AG＝ BC＝40， 400 所以AF＝DE＝x，FG＝y，所以x＋y＝40，由基本不等式x＋y≥2 ，得xy≤400，当且仅当x＝y＝20时，矩形花园面积最大，最大值为400. 课时测评 返回 1．如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上， 另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4， 则围成矩形ABCD所需要篱笆的 A．最小长度为8 B．最小长度为4 C．最大长度为8 D．最大长度为4 设BC＝a，CD＝b，因为矩形的面积为4，所以ab＝4，所以围成矩形ABCD √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行．刘先生在某段时间内共加油两次，期间燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是 A．采用第一种方案合适 B．采用第二种方案合适 C．两种方案一样 D．无法确定 √ 假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．第一种方案的均 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 A．80元 B．120元 C．160元 D．240元 √ 设底面相邻两边的长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝4⇒xy＝4.T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2 ＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y＝2时取等号)，故该容器的最低总造价是160元．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是 A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b)，其全程的平均速度为v，则下列结论正确的是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的运营总利润y(万元)与运营年数x的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是 A．车辆运营年数越多，收入越高 B．车辆在第6年时，总收入最高 C．车辆在前5年的平均收入最高 D．车辆每年都能盈利 √ √ 由题意可知，y＝－x2＋12x－25，是开口向下的二次函数，故A错误； 对称轴x＝6，故B正确； ＋12 ＝2，当且仅当x＝5时，等号成立，故C正确；当x＝1时，y＝－14，故D错误．故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为______． 32 由题意，矩形的长为a，宽为b，且面积为64，即ab＝64，所以矩形的周长为2a＋2b＝2a＋ ＝32，当且仅当a＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．为教室消毒，向室内喷洒某消毒液，已知室内消毒液浓度C(单位： mg/L)随时间t(单位：min)的变化关系为C＝ ，则经过____min后室内消毒液浓度达到最大． 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上、下空白各宽2 dm，左、右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是_____dm2. 56 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a，b，c为正数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．(新情境)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝ 求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(10分)为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙(足够长)划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建一个羊驼养殖场，规定ABCD的每条边长均不超过20米．如图所示，矩形EFGH为羊驼养殖区，且点A，B，E，F四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径．设AB＝x(单位：米)，养殖区域EFGH的面积为S(单位：平 方米)． (1)将S表示为x的函数，并写出x的取值范围；(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当AB为多长时，S取得最大值？并求出此最大值．(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是 A．大于10 g B．大于等于10 g C．小于10 g D．小于等于10 g √ 由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a(a>0)，右臂长为b(b>0)，则a≠b，再设 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(15分)某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(10－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格． (1)求每套丛书利润y与售价x的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 此时销量为10－0.1×80＝2(万套)， 总利润为2×55＝110(万元)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润．(10分) 返回 因为0<x<100，所以100－x>0， 当且仅当 ＝100－x，即x＝90时，等号成立，即每套丛书售价定为90元时，每套丛书的利润最大，最大利润为60元． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 一 元 二 次 函 数 、 方 程 和 不 等 式 返回 ≥8. 所以－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 得≥··＝8， ＋＋ 证明：＋＋ ＝＋＋ ＝3＋＋＋ 对点练1.已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋. 所以2(a＋b＋c)≥2(＋＋)， 即a＋b＋c≥＋＋. 故a＋b＋c>＋＋. 由≥ ，可知x＋y≥2＝8， ≤＝ 解：因为污水处理池的长为x米，所以宽为米． 由题意可得解得≤x≤18. y＝400×1＋248×2××1＋80×200＝800＋16 000. 解：由(1)得y＝800＋16 000≥1 600×＋16 000＝44 800， 当且仅当x＝，即x＝18时，取等号，此时＝，经验证符合 实际． ＝ A．x＝ B．x≤ C．x> D．x≥ ＝ 价为＝≥；第二种方案的均价为＝≤.所以无论油价如何变化，第二种方案都更合适．故选B. A．a<v< B．v＝ C．<v< D．v＝ ＝－x＋12－＝－＋12≤－2 ≥2 ＋≥2(当且仅当a＝c时，等号成立)； 10．(10分)已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3. 证明：左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1 ＝＋＋－3. 所以＋≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)； ＋≥2(当且仅当b＝c时，等号成立)． 从而＋＋≥6(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)． 所以＋＋－3≥3，即＋＋≥3. 11．设x>0，y>0，x＋y＝1，则＋≤a恒成立的a的最小值是 A． B． C．2 D．2 3 所以S＝102－－x，5≤x≤20. 解：因为AB＝x，所以AD＝， EF＝x－2，FG＝－1， 所以S＝(x－2)＝102－－x. 因为0＜x≤20，0＜≤20，解得5≤x≤20， 解：S＝102－－x≤102－2 ＝102－20，当且仅当x＝10时，等号成立，经验证，符合题意， 即当AB＝10米时，S取得最大值，最大值为(102－20)平方米． 解：因为所以0<x<100， y＝x－＝x－－20(0<x<100)， 当x＝80时，y＝80－－20＝55(元)， 解：y＝x－－20， 所以y＝－＋80 ≤－2 ＋80＝60， $$